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10. (2026 天津南开区期末)计算:
(1) $(+7)×(-\dfrac{20}{3})-(+19)×(-\dfrac{20}{3})-12÷\dfrac{3}{20}$;
(2) $-\left|\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{7}{5})\right|+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{5})-(1-2)^2÷\dfrac{1}{5}$.
(1) $(+7)×(-\dfrac{20}{3})-(+19)×(-\dfrac{20}{3})-12÷\dfrac{3}{20}$;
(2) $-\left|\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{7}{5})\right|+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{5})-(1-2)^2÷\dfrac{1}{5}$.
答案
10. 解:(1) 原式$=-7×\frac{20}{3}+19×\frac{20}{3}-12×\frac{20}{3}$
$=\frac{20}{3}×(-7+19-12)$
$=\frac{20}{3}×0$
$=0.$
(2) 原式$=-\frac{7}{10}+(-\frac{3}{10})-1×5$
$=-\frac{7}{10}+(-\frac{3}{10})-5$
$=-1-5$
$=-6.$
$=\frac{20}{3}×(-7+19-12)$
$=\frac{20}{3}×0$
$=0.$
(2) 原式$=-\frac{7}{10}+(-\frac{3}{10})-1×5$
$=-\frac{7}{10}+(-\frac{3}{10})-5$
$=-1-5$
$=-6.$
解析
【分析】
（1）先将式子中的除法转化为乘法，可观察到三项都含有公因式$\frac{20}{3}$，逆用乘法分配律提取公因式即可简化计算，无需分别计算乘积再加减，同时注意运算过程中符号的变化。
（2）按照有理数混合运算的顺序计算：先算绝对值、乘方和括号内的运算，再算乘除，最后算加减，计算时重点关注每一步的符号处理，避免符号错误。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法：除以$\frac{3}{20}$等价于乘以$\frac{20}{3}$，对原式变形后逆用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-7×\frac{20}{3}+19×\frac{20}{3}-12×\frac{20}{3}\\&=\frac{20}{3}×(-7+19-12)\\&=\frac{20}{3}×0\\&=0\end{aligned}$
(2) 按运算顺序分步计算：先算绝对值、括号内运算和乘方，再算除法，最后算加减：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-\left|-\frac{7}{10}\right|+(-\frac{3}{10})-(-1)^2÷\frac{1}{5}\\&=-\frac{7}{10}-\frac{3}{10}-1×5\\&=-1-5\\&=-6\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{-6}$
【知识点】
有理数混合运算；乘法分配律；绝对值运算
【点评】
本题考查有理数运算的基础能力，第一题灵活运用乘法分配律可大幅降低计算量，第二题需严格遵循运算顺序，注意符号的判断，熟练掌握运算法则是解题的核心。
【难度系数】
0.7
（1）先将式子中的除法转化为乘法，可观察到三项都含有公因式$\frac{20}{3}$，逆用乘法分配律提取公因式即可简化计算，无需分别计算乘积再加减，同时注意运算过程中符号的变化。
（2）按照有理数混合运算的顺序计算：先算绝对值、乘方和括号内的运算，再算乘除，最后算加减，计算时重点关注每一步的符号处理，避免符号错误。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法：除以$\frac{3}{20}$等价于乘以$\frac{20}{3}$，对原式变形后逆用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-7×\frac{20}{3}+19×\frac{20}{3}-12×\frac{20}{3}\\&=\frac{20}{3}×(-7+19-12)\\&=\frac{20}{3}×0\\&=0\end{aligned}$
(2) 按运算顺序分步计算：先算绝对值、括号内运算和乘方，再算除法，最后算加减：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-\left|-\frac{7}{10}\right|+(-\frac{3}{10})-(-1)^2÷\frac{1}{5}\\&=-\frac{7}{10}-\frac{3}{10}-1×5\\&=-1-5\\&=-6\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{-6}$
【知识点】
有理数混合运算；乘法分配律；绝对值运算
【点评】
本题考查有理数运算的基础能力，第一题灵活运用乘法分配律可大幅降低计算量，第二题需严格遵循运算顺序，注意符号的判断，熟练掌握运算法则是解题的核心。
【难度系数】
0.7
11.(2025山东烟台中考)$|-3|$的倒数是 (
A.3
B.$\frac{1}{3}$
C.$-3$
D.$-\frac{1}{3}$
B
)A.3
B.$\frac{1}{3}$
C.$-3$
D.$-\frac{1}{3}$
答案
11. B
解析
【分析】
这道题需要分两步求解，首先要先算出$|-3|$的结果，再求这个结果的倒数。第一步回忆绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，先算出$|-3|$的值；第二步回忆倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，用1除以第一步得到的结果就能求出对应的倒数，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
首先计算绝对值：根据负数的绝对值等于它的相反数，可得$|-3|=3$；
接下来求3的倒数：根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，因为$3×\frac{1}{3}=1$，因此3的倒数是$\frac{1}{3}$，所以$|-3|$的倒数是$\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的性质，倒数的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，主要考查对绝对值和倒数两个基础概念的掌握情况，解题时要注意先计算绝对值，再求倒数，避免跳过计算绝对值直接求-3的倒数的低级错误。
【难度系数】
0.9
这道题需要分两步求解，首先要先算出$|-3|$的结果，再求这个结果的倒数。第一步回忆绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，先算出$|-3|$的值；第二步回忆倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，用1除以第一步得到的结果就能求出对应的倒数，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
首先计算绝对值：根据负数的绝对值等于它的相反数，可得$|-3|=3$；
接下来求3的倒数：根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，因为$3×\frac{1}{3}=1$，因此3的倒数是$\frac{1}{3}$，所以$|-3|$的倒数是$\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的性质，倒数的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，主要考查对绝对值和倒数两个基础概念的掌握情况，解题时要注意先计算绝对值，再求倒数，避免跳过计算绝对值直接求-3的倒数的低级错误。
【难度系数】
0.9
12.(2025广东中考)依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案(2024—2026年)》，预计2026年广东省低空经济规模超过3000亿元. 数据3000亿用科学记数法表示为 (
A.$3×10^9$
B.$3×10^{10}$
C.$30×10^{10}$
D.$3×10^{11}$
D
)A.$3×10^9$
B.$3×10^{10}$
C.$30×10^{10}$
D.$3×10^{11}$
答案
12. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆科学记数法的定义：科学记数法是把一个数表示为$a × 10^n$的形式，其中要求$1≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。解题分两步：第一步先把“3000亿”换算为统一的数字形式，第二步根据科学记数法的规则确定$a$和$n$的值，再对照选项选出正确答案。确定$n$的方法：当原数绝对值≥10时，$n$等于原数的整数位数减1。
【解析】
解：首先进行单位换算，1亿$=100000000=10^8$，
则3000亿$=3000 × 10^8 = 3 × 10^3 × 10^8 = 3 × 10^{11}$。
也可直接写出3000亿的完整数字：300000000000，该数共有12位整数，根据规则得$a=3$，$n=12-1=11$，即表示为$3 × 10^{11}$，选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法；计数单位换算
【点评】
本题考查科学记数法的实际应用，解题核心是准确把握科学记数法中$a$的取值范围和$n$的计算方法，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先回忆科学记数法的定义：科学记数法是把一个数表示为$a × 10^n$的形式，其中要求$1≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。解题分两步：第一步先把“3000亿”换算为统一的数字形式，第二步根据科学记数法的规则确定$a$和$n$的值，再对照选项选出正确答案。确定$n$的方法：当原数绝对值≥10时，$n$等于原数的整数位数减1。
【解析】
解：首先进行单位换算，1亿$=100000000=10^8$，
则3000亿$=3000 × 10^8 = 3 × 10^3 × 10^8 = 3 × 10^{11}$。
也可直接写出3000亿的完整数字：300000000000，该数共有12位整数，根据规则得$a=3$，$n=12-1=11$，即表示为$3 × 10^{11}$，选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法；计数单位换算
【点评】
本题考查科学记数法的实际应用，解题核心是准确把握科学记数法中$a$的取值范围和$n$的计算方法，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.85
13. (2025山东威海中考)二进制数的组成数字为0,1. 十进制数22化为二进制数：
$22=1× 2^4 + 0× 2^3 + 1× 2^2 + 1× 2^1 + 0× 2^0 = (10110)_2$.
传统三进制数的组成数字为0,1,2. 十进制数22化为三进制数：
$22=2× 3^2 + 1× 3^1 + 1× 3^0 = (211)_3$.
将$(1011)_2$化为三进制数为 (
A. $(102)_3$
B. $(101)_3$
C. $(110)_3$
D. $(12)_3$
$22=1× 2^4 + 0× 2^3 + 1× 2^2 + 1× 2^1 + 0× 2^0 = (10110)_2$.
传统三进制数的组成数字为0,1,2. 十进制数22化为三进制数：
$22=2× 3^2 + 1× 3^1 + 1× 3^0 = (211)_3$.
将$(1011)_2$化为三进制数为 (
A
)A. $(102)_3$
B. $(101)_3$
C. $(110)_3$
D. $(12)_3$
答案
13. A
解析
【分析】
解题分为两个步骤：第一步先将二进制数$(1011)_2$转化为十进制数，参照题目给出的进制转换规则，用每个数位上的数字乘对应数位的2的幂次（从右往左，最低位对应$2^0$，数位每左移一位幂次加1），求和得到十进制数。第二步将得到的十进制数转化为三进制数，找到不超过该十进制数的最大3的幂次，依次计算各次幂的系数，按高次到低次排列系数即可得到三进制数。
【解析】
第一步：将$(1011)_2$转化为十进制数：
$\begin{aligned}(1011)_2&=1×2^3 + 0×2^2 +1×2^1 +1×2^0\\&=1×8 + 0×4 +1×2 +1×1\\&=8+0+2+1\\&=11\end{aligned}$
第二步：将十进制数11转化为三进制数：
不超过11的最大3的幂次为$3^2=9$：
$11 = 1×9 + 2$，所以$3^2$对应的系数是1，余数为2；
余数2小于$3^1=3$，所以$3^1$对应的系数是0；
剩余的2就是$3^0$对应的系数2；
因此$11=1×3^2 +0×3^1 +2×3^0=(102)_3$。
【答案】
A
【知识点】
进制互化，乘方运算
【点评】
本题是结合新定义的运算类题目，给出了不同进制数和十进制互转的示例，主要考查对新规则的理解能力和基础的乘方、加减运算能力，只要按照规则分步计算即可正确求解。
【难度系数】
0.7
解题分为两个步骤：第一步先将二进制数$(1011)_2$转化为十进制数，参照题目给出的进制转换规则，用每个数位上的数字乘对应数位的2的幂次（从右往左，最低位对应$2^0$，数位每左移一位幂次加1），求和得到十进制数。第二步将得到的十进制数转化为三进制数，找到不超过该十进制数的最大3的幂次，依次计算各次幂的系数，按高次到低次排列系数即可得到三进制数。
【解析】
第一步：将$(1011)_2$转化为十进制数：
$\begin{aligned}(1011)_2&=1×2^3 + 0×2^2 +1×2^1 +1×2^0\\&=1×8 + 0×4 +1×2 +1×1\\&=8+0+2+1\\&=11\end{aligned}$
第二步：将十进制数11转化为三进制数：
不超过11的最大3的幂次为$3^2=9$：
$11 = 1×9 + 2$，所以$3^2$对应的系数是1，余数为2；
余数2小于$3^1=3$，所以$3^1$对应的系数是0；
剩余的2就是$3^0$对应的系数2；
因此$11=1×3^2 +0×3^1 +2×3^0=(102)_3$。
【答案】
A
【知识点】
进制互化，乘方运算
【点评】
本题是结合新定义的运算类题目，给出了不同进制数和十进制互转的示例，主要考查对新规则的理解能力和基础的乘方、加减运算能力，只要按照规则分步计算即可正确求解。
【难度系数】
0.7
14. (2025 山东滨州中考)若☆×$(-\dfrac{5}{9})$=1，则“☆”表示的数是
$-\frac{9}{5}$
。答案
14. $-\frac{9}{5}$
解析
【分析】
这道题已知两个数的乘积为1，其中一个因数是$-\dfrac{5}{9}$，要求另一个因数“☆”，有两种常见解题思路：一是根据乘法各部分之间的关系“因数=积÷另一个因数”，通过有理数除法计算结果；二是利用倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，直接求$-\dfrac{5}{9}$的倒数即可得到答案。
【解析】
方法一：根据乘法各部分关系求解
因为因数=积÷另一个因数，所以：
$\begin{aligned}☆&=1÷(-\dfrac{5}{9})\\&=1×(-\dfrac{9}{5})\\&=-\dfrac{9}{5}\end{aligned}$
方法二：根据倒数的定义求解
乘积为1的两个数互为倒数，所以☆是$-\dfrac{5}{9}$的倒数，$-\dfrac{5}{9}$的倒数为$-\dfrac{9}{5}$，即$☆=-\dfrac{9}{5}$。
【答案】
$-\dfrac{9}{5}$
【知识点】
倒数的定义；有理数的除法运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对倒数概念的理解和有理数除法的运算能力，熟练掌握倒数的性质可以直接快速得出结果。
【难度系数】
0.9
这道题已知两个数的乘积为1，其中一个因数是$-\dfrac{5}{9}$，要求另一个因数“☆”，有两种常见解题思路：一是根据乘法各部分之间的关系“因数=积÷另一个因数”，通过有理数除法计算结果；二是利用倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，直接求$-\dfrac{5}{9}$的倒数即可得到答案。
【解析】
方法一：根据乘法各部分关系求解
因为因数=积÷另一个因数，所以：
$\begin{aligned}☆&=1÷(-\dfrac{5}{9})\\&=1×(-\dfrac{9}{5})\\&=-\dfrac{9}{5}\end{aligned}$
方法二：根据倒数的定义求解
乘积为1的两个数互为倒数，所以☆是$-\dfrac{5}{9}$的倒数，$-\dfrac{5}{9}$的倒数为$-\dfrac{9}{5}$，即$☆=-\dfrac{9}{5}$。
【答案】
$-\dfrac{9}{5}$
【知识点】
倒数的定义；有理数的除法运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对倒数概念的理解和有理数除法的运算能力，熟练掌握倒数的性质可以直接快速得出结果。
【难度系数】
0.9
15.(2025四川成都中考)任意输入一个数x，按下列程序进行计算.若输出的结果是15，则x的值为
3
.答案
15. 3
解析
【分析】
首先明确程序的运算顺序：输入x后，先计算x与6的乘积，再用乘积减去3得到最终输出结果。已知输出结果为15，我们可以根据这个运算逻辑列出对应的一元一次方程，再按照一元一次方程的求解步骤计算x的值即可。
【解析】
根据程序的运算规则可列方程：
$6x - 3 = 15$
移项得：$6x = 15 + 3$
合并同类项得：$6x = 18$
系数化为1得：$x = 3$
【答案】
3
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程
【点评】
本题是程序运算和一元一次方程的结合题型，解题核心是理清程序的先后运算顺序，正确列出方程，属于基础类题目，熟练掌握一元一次方程的解法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
首先明确程序的运算顺序：输入x后，先计算x与6的乘积，再用乘积减去3得到最终输出结果。已知输出结果为15，我们可以根据这个运算逻辑列出对应的一元一次方程，再按照一元一次方程的求解步骤计算x的值即可。
【解析】
根据程序的运算规则可列方程：
$6x - 3 = 15$
移项得：$6x = 15 + 3$
合并同类项得：$6x = 18$
系数化为1得：$x = 3$
【答案】
3
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程
【点评】
本题是程序运算和一元一次方程的结合题型，解题核心是理清程序的先后运算顺序，正确列出方程，属于基础类题目，熟练掌握一元一次方程的解法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
16.(2025河北中考)一道习题及其错误的解答过程如下：
请指出在第几步开始出现错误,并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程。
请指出在第几步开始出现错误,并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程。
答案
16. 解:在第一步开始出现错误.
正确的解答过程如下:
原式$=(-6)×\frac{1}{2}+(-6)×\frac{2}{3}-(-6)×\frac{5}{6}$
$=-3-4+5$
$=-2.$
正确的解答过程如下:
原式$=(-6)×\frac{1}{2}+(-6)×\frac{2}{3}-(-6)×\frac{5}{6}$
$=-3-4+5$
$=-2.$
解析
【分析】
本题考查有理数乘法分配律的应用，首先观察原式为一个数乘多个数的和差形式，适合用乘法分配律简化计算。排查错误步骤时可发现：原解答第一步运用分配律时没有正确携带乘数的负号，将$-6$乘$\frac{2}{3}$错误写为$+6$乘$\frac{2}{3}$，将$-6$乘$(-\frac{5}{6})$错误写为$-6$乘$\frac{5}{6}$，符号处理错误，因此从第一步就开始出错。正确解题思路为：运用乘法分配律时，将$-6$分别与括号内的每一项相乘，按照“同号得正，异号得负”的规则确定每一项乘积的符号，再计算各项乘积，最后做有理数加减运算得到结果。
【解析】
解：在第一步开始出现错误。
正确的解答过程如下：
$\begin{aligned}原式&=(-6)×\frac{1}{2}+(-6)×\frac{2}{3}-(-6)×\frac{5}{6}\\&=-3-4+5\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
第一步开始出现错误，正确计算结果为$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
乘法分配律、有理数乘法运算、有理数加减运算
【点评】
本题属于有理数运算的基础题型，核心易错点是运用乘法分配律时忽略乘数的符号，导致项的符号计算错误。计算时要牢记分配律中“括号内每一项都要和乘数相乘，符号共同参与运算”的规则，即可有效避免此类错误。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数乘法分配律的应用，首先观察原式为一个数乘多个数的和差形式，适合用乘法分配律简化计算。排查错误步骤时可发现：原解答第一步运用分配律时没有正确携带乘数的负号，将$-6$乘$\frac{2}{3}$错误写为$+6$乘$\frac{2}{3}$，将$-6$乘$(-\frac{5}{6})$错误写为$-6$乘$\frac{5}{6}$，符号处理错误，因此从第一步就开始出错。正确解题思路为：运用乘法分配律时，将$-6$分别与括号内的每一项相乘，按照“同号得正，异号得负”的规则确定每一项乘积的符号，再计算各项乘积，最后做有理数加减运算得到结果。
【解析】
解：在第一步开始出现错误。
正确的解答过程如下：
$\begin{aligned}原式&=(-6)×\frac{1}{2}+(-6)×\frac{2}{3}-(-6)×\frac{5}{6}\\&=-3-4+5\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
第一步开始出现错误，正确计算结果为$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
乘法分配律、有理数乘法运算、有理数加减运算
【点评】
本题属于有理数运算的基础题型，核心易错点是运用乘法分配律时忽略乘数的符号，导致项的符号计算错误。计算时要牢记分配律中“括号内每一项都要和乘数相乘，符号共同参与运算”的规则，即可有效避免此类错误。
【难度系数】
0.7
