10.(9分)如图,在$△ ABC$中,AD垂直平分边BC,点E在BC的延长线上,且满足$AB+BD=DE$.求证:点C在线段AE的垂直平分线上.

10. 证明:
∵AD垂直平分边BC,
∴BD=CD,AB=AC.
∵AB+BD=DE,
∴AC+CD=DE.
∵DE=CD+CE,
∴AC=CE.
∴点C在线段AE的垂直平分线上.

【分析】
要证明点C在线段AE的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理，只需证明AC=CE即可。首先利用AD垂直平分BC的条件，根据线段垂直平分线的性质可得到AB=AC、BD=CD；再结合AB+BD=DE的条件，通过等量代换将AB替换为AC、BD替换为CD，可得AC+CD=DE；最后结合DE=CD+CE的线段和关系，即可推导出AC=CE，完成证明。
【解析】
证明：
∵AD垂直平分边BC，
∴BD=CD，AB=AC。
∵AB+BD=DE，
∴AC+CD=DE。
∵DE=CD+CE，
∴AC=CE。
∴点C在线段AE的垂直平分线上。
【答案】
证明：
∵AD垂直平分边BC，
∴BD=CD，AB=AC。
∵AB+BD=DE，
∴AC+CD=DE。
∵DE=CD+CE，
∴AC=CE。
∴点C在线段AE的垂直平分线上。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查线段垂直平分线性质与判定的综合运用，解题的核心是明确“证明点在线段的垂直平分线上等价于证明该点到线段两端点距离相等”，通过已知条件完成线段的等量转化即可得到结论，能够帮助学生加深对垂直平分线相关定理的理解。
【难度系数】
0.8

11.(10分)如图,在$△ ABC$中,$AD⊥ BC$于点D,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且$BD=DE$,连接AE.
(1)求证:$AB=CE$;
(2)若$△ ABC$的周长为18 cm,$AC=8$ cm,求CD的长.

11. (1)证明:
∵EF垂直平分AC,
∴AE=CE.
∵AD⊥BC,BD=DE,
∴AD垂直平分BE.
∴AB=AE.
∴AB=CE.
(2)解:
∵△ABC的周长为18 cm,AC=8 cm,
∴AB+BC=18-8=10(cm),即AB+BD+DE+CE=10 cm.
∵AB=CE,BD=DE,
∴CD=DE+CE=$\frac{1}{2}$(AB+BC)=5 cm.

【分析】
(1) 要证$AB=CE$，可通过中间量$AE$等量代换推导：首先由$EF$垂直平分$AC$，根据线段垂直平分线的性质可得$AE=CE$；再结合$AD⊥ BC$且$BD=DE$，可知$AD$是$BE$的垂直平分线，同理可得$AB=AE$，即可推出$AB=CE$。
(2) 求$CD$的长时，先根据三角形周长和已知的$AC$长度求出$AB+BC$的和；再结合第一问结论$AB=CE$和已知$BD=DE$，将$CD=DE+CE$转化为与$AB+BC$相关的表达式，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵$EF$垂直平分$AC$，
∴$AE=CE$。
∵$AD⊥ BC$，$BD=DE$，
∴$AD$垂直平分$BE$，
∴$AB=AE$。
∴$AB=CE$。
(2) 解：
∵$△ ABC$的周长为$18\ \mathrm{cm}$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，
∴$AB+BC=18-8=10(\mathrm{cm})$，即$AB+BD+DE+CE=10\ \mathrm{cm}$。
∵$AB=CE$，$BD=DE$，
∴$CD=DE+CE=\frac{1}{2}(AB+BD+DE+CE)=\frac{1}{2}×10=5(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) 证明如上；
(2) $CD$的长为$5\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 三角形周长计算
3. 等量代换
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题，解题核心是利用垂直平分线的性质得到相等线段，通过等量转化建立已知条件和所求量的关系，属于基础常考题型，能有效考查对基础性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7

12.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB上一点,BD=BC,过点D作AB的垂线,交AC于点E,连接CD,BE,CD交BE于点F.求证:BE垂直平分CD.

12. 证明:
∵ED⊥AB,∠ACB=90°,
∴∠EDB=90°=∠ACB.在Rt△BDE和Rt△BCE中,$\begin{cases}BE=BE,\\BD=BC,\end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL).
∴ED=EC.
∴点E在线段CD的垂直平分线上.
∵BD=BC,
∴点B在线段CD的垂直平分线上.
∴BE垂直平分CD.

【分析】
要证明BE垂直平分CD，可依据线段垂直平分线的判定思路：若一条直线上有两个点到某线段两端点的距离相等，则这条直线就是该线段的垂直平分线。首先由已知条件BD=BC，可直接得出点B在CD的垂直平分线上；接下来需证明点E也在CD的垂直平分线上，即证ED=EC，观察可知ED、EC分别属于Rt△BDE和Rt△BCE，两个三角形有公共斜边BE，且已知BD=BC，可通过HL定理证明两直角三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到ED=EC，即可证明点E在CD的垂直平分线上，结合两点确定一条直线，最终推出BE垂直平分CD。
【解析】
证明：
∵ED⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠EDB=90°=∠ACB。
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
$\begin{cases} BE=BE \\ BD=BC \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL）。
∴ED=EC。
∴点E在线段CD的垂直平分线上。
∵BD=BC，
∴点B在线段CD的垂直平分线上。
∴BE垂直平分CD。
【答案】
证明：
∵ED⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠EDB=90°=∠ACB。
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
$\begin{cases} BE=BE \\ BD=BC \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL）。
∴ED=EC。
∴点E在线段CD的垂直平分线上。
∵BD=BC，
∴点B在线段CD的垂直平分线上。
∴BE垂直平分CD。
【知识点】
HL判定直角三角形全等；线段垂直平分线的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础类几何证明题，重点考查对直角三角形全等判定、线段垂直平分线判定的掌握程度，解题关键是通过证明三角形全等得到边相等，结合线段垂直平分线的判定定理完成推导，能帮助学生巩固“两点确定一条垂直平分线”的应用逻辑。
【难度系数】
0.7

13.(12分)如图,已知在$△ ABC$中,AB的垂直平分线$l_1$交BC于点D,AC的垂直平分线$l_2$交BC于点E,$l_1$与$l_2$相交于点O,连接OA,OB,OC,AD,AE.若$△ ADE$的周长为8,$△ OBC$的周长为18.
(1)求线段BC的长.
(2)点O是否在BC的垂直平分线上?请说明理由.
(3)求线段OA的长.

13. 解:(1)
∵$l_1$是AB的垂直平分线,
∴DA=DB.
∵$l_2$是AC的垂直平分线,
∴EA=EC.
∵△ADE的周长为8,
∴BC=DB+DE+EC=DA+DE+EA=8.
(2)点O在BC的垂直平分线上.理由如下:
∵$l_1$是AB边的垂直平分线,
∴OA=OB.
∵$l_2$是AC边的垂直平分线,
∴OA=OC.
∴OB=OC.
∴点O在BC的垂直平分线上.
(3)
∵△OBC的周长为18,
∴OB+OC+BC=18.
∵BC=8,OB=OC,
∴OB=OC=5.
∵OA=OB,
∴OA=5.

【分析】
(1) 解题时先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得DA=DB、EA=EC，将△ADE的周长的三条边等量替换为DB、DE、EC，刚好构成线段BC，即可直接求出BC的长度。
(2) 判断点是否在某线段的垂直平分线上，只需证明该点到线段两个端点的距离相等。结合垂直平分线的性质可得OA=OB、OA=OC，推导得到OB=OC，即可判断点O的位置。
(3) 结合△OBC的周长、已求出的BC长，以及OB=OC的结论，先计算出OB的长度，再根据OA=OB即可求出OA的长。
【解析】
(1)
∵$l_1$是AB的垂直平分线，
∴$DA=DB$。
∵$l_2$是AC的垂直平分线，
∴$EA=EC$。
∵△ADE的周长为8，即$AD+DE+AE=8$，
∴$BC=DB+DE+EC=DA+DE+EA=8$。
(2) 点O在BC的垂直平分线上，理由如下：
∵$l_1$是AB边的垂直平分线，
∴$OA=OB$。
∵$l_2$是AC边的垂直平分线，
∴$OA=OC$。
∴$OB=OC$，
∴点O在BC的垂直平分线上。
(3)
∵△OBC的周长为18，
∴$OB+OC+BC=18$。
∵$BC=8$，且$OB=OC$，
∴$2OB+8=18$，解得$OB=OC=5$。
又
∵$OA=OB$，
∴$OA=5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BC=8}$
(2) 点O在BC的垂直平分线上，理由见解析
(3) $\boldsymbol{OA=5}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线的基础常考题，解题核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量代换，要注意区分垂直平分线性质和判定的适用场景，理清线段关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7