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1.(5分)如图，P为线段AB的垂直平分线上的一点，若PB=3 cm，则PA的长为 (
A.6 cm
B.5 cm
C.4 cm
D.3 cm
D
)A.6 cm
B.5 cm
C.4 cm
D.3 cm
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先提取题干条件：点P在线段AB的垂直平分线上，此时应联想到线段垂直平分线的核心性质：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。结合已知PB的长度，就能直接推出PA的长度，再对应选项选择即可。
【解析】
解：根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴PA=PB
又
∵已知PB=3cm
∴PA=3cm，故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础类题目，直接考查线段垂直平分线性质的应用，牢记相关性质就可以快速得到正确答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先提取题干条件：点P在线段AB的垂直平分线上，此时应联想到线段垂直平分线的核心性质：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。结合已知PB的长度，就能直接推出PA的长度，再对应选项选择即可。
【解析】
解：根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴PA=PB
又
∵已知PB=3cm
∴PA=3cm，故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础类题目，直接考查线段垂直平分线性质的应用，牢记相关性质就可以快速得到正确答案。
【难度系数】
0.9
2.(5分)如图，在$△ ABC$中，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,连接AE.若$BC=8$，$EC=2$，则AE的长是（
A.10
B.8
C.6
D.4
C
）A.10
B.8
C.6
D.4
答案
2. C
解析
【分析】
首先从题干提取关键信息：DE是AB的垂直平分线，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得点E到A、B的距离相等，即AE=BE，将求AE的长度转化为求BE的长度。再结合已知BC、EC的长度，用BC减去EC即可得到BE的长度，进而求出AE的长度。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：AE = BE
已知BC=8，EC=2，
∴BE = BC - EC = 8 - 2 = 6
∴AE = BE = 6
故选：C
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是利用性质将未知线段转化为可通过已知条件计算的线段，计算量小，掌握对应性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
首先从题干提取关键信息：DE是AB的垂直平分线，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得点E到A、B的距离相等，即AE=BE，将求AE的长度转化为求BE的长度。再结合已知BC、EC的长度，用BC减去EC即可得到BE的长度，进而求出AE的长度。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：AE = BE
已知BC=8，EC=2，
∴BE = BC - EC = 8 - 2 = 6
∴AE = BE = 6
故选：C
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是利用性质将未知线段转化为可通过已知条件计算的线段，计算量小，掌握对应性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3.(5分)如图,点E,F,G,Q,H在同一条直线上,且EF=GH,我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线.下列说法正确的是(
A.l是线段EH的垂直平分线
B.l是线段EQ的垂直平分线
C.l是线段FH的垂直平分线
D.EH是l的垂直平分线
(第3题图)
(第5题图)
A
)A.l是线段EH的垂直平分线
B.l是线段EQ的垂直平分线
C.l是线段FH的垂直平分线
D.EH是l的垂直平分线
(第3题图)
(第5题图)
答案
3. A
解析
【分析】
要判断直线l是否为某条线段的垂直平分线，需同时满足两个条件：①l与该线段所在直线垂直；②l经过该线段的中点。首先由已知l是FG的垂直平分线，可得l垂直于EH（E、F、G、Q、H共线，FG在EH上），且l与EH的交点O是FG中点，即FO=OG，再结合EF=GH的条件推导各选项线段的中点是否为O即可。
【解析】
设直线l与直线EH的交点为O：
1. 因为直线l是线段FG的垂直平分线，所以$l⊥ EH$，且$FO=OG$。
2. 已知$EF=GH$，根据等式的性质可得$EF+FO=GH+OG$，即$EO=OH$。
3. 结合$l⊥ EH$且$EO=OH$，可知l是线段EH的垂直平分线，故A正确。
其余选项验证：
B选项：点Q在G、H之间，$OQ＜OH=EO$，即$EO≠ OQ$，l不平分EQ，B错误；
C选项：$OH=OG+GH=FO+EF$，显然$FO≠ OH$，l不平分FH，C错误；
D选项：垂直平分线是针对线段的定义，直线l无限延伸，不存在被平分的说法，D错误。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的判定，线段的和差计算
【点评】
本题核心是考查线段垂直平分线的判定，解题时需紧扣“垂直+平分”两个判定条件，结合已知线段相等的关系推导线段中点位置即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要判断直线l是否为某条线段的垂直平分线，需同时满足两个条件：①l与该线段所在直线垂直；②l经过该线段的中点。首先由已知l是FG的垂直平分线，可得l垂直于EH（E、F、G、Q、H共线，FG在EH上），且l与EH的交点O是FG中点，即FO=OG，再结合EF=GH的条件推导各选项线段的中点是否为O即可。
【解析】
设直线l与直线EH的交点为O：
1. 因为直线l是线段FG的垂直平分线，所以$l⊥ EH$，且$FO=OG$。
2. 已知$EF=GH$，根据等式的性质可得$EF+FO=GH+OG$，即$EO=OH$。
3. 结合$l⊥ EH$且$EO=OH$，可知l是线段EH的垂直平分线，故A正确。
其余选项验证：
B选项：点Q在G、H之间，$OQ＜OH=EO$，即$EO≠ OQ$，l不平分EQ，B错误；
C选项：$OH=OG+GH=FO+EF$，显然$FO≠ OH$，l不平分FH，C错误；
D选项：垂直平分线是针对线段的定义，直线l无限延伸，不存在被平分的说法，D错误。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的判定，线段的和差计算
【点评】
本题核心是考查线段垂直平分线的判定，解题时需紧扣“垂直+平分”两个判定条件，结合已知线段相等的关系推导线段中点位置即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4.(5分) 日常生活情境 在联欢会上,有三名选手站在△ABC三个顶点的位置上,他们在玩抢凳子的游戏.要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜.为使游戏公平,则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的 (
A.三边中线的交点处
B.三条角平分线的交点处
C.三边垂直平分线的交点处
D.三边上高的交点处
C
)A.三边中线的交点处
B.三条角平分线的交点处
C.三边垂直平分线的交点处
D.三边上高的交点处
答案
4. C
解析
【分析】
要使游戏公平，需保证凳子到△ABC三个顶点的距离相等，解题时先明确游戏公平的核心条件，再逐一分析各选项中三角形特殊点的性质，判断哪个点满足到三个顶点距离相等的要求即可。
【解析】
游戏公平的前提是凳子到三名选手所在的A、B、C三个顶点的距离相等，我们逐个分析选项：
A. 三边中线的交点是三角形的重心，性质是将每条中线分为长度比为2:1的两段，不满足到三个顶点距离相等，不符合要求；
B. 三条角平分线的交点是三角形的内心，性质是到三角形三边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，不符合要求；
C. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此外心到△ABC三个顶点的距离相等，符合公平要求；
D. 三边上高的交点是三角形的垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.三角形特殊点的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何基础概念，解题关键是准确区分三角形不同特殊点的核心性质，只要记清各类特殊点的特点就能快速作答。
【难度系数】
0.8
要使游戏公平，需保证凳子到△ABC三个顶点的距离相等，解题时先明确游戏公平的核心条件，再逐一分析各选项中三角形特殊点的性质，判断哪个点满足到三个顶点距离相等的要求即可。
【解析】
游戏公平的前提是凳子到三名选手所在的A、B、C三个顶点的距离相等，我们逐个分析选项：
A. 三边中线的交点是三角形的重心，性质是将每条中线分为长度比为2:1的两段，不满足到三个顶点距离相等，不符合要求；
B. 三条角平分线的交点是三角形的内心，性质是到三角形三边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，不符合要求；
C. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此外心到△ABC三个顶点的距离相等，符合公平要求；
D. 三边上高的交点是三角形的垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.三角形特殊点的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何基础概念，解题关键是准确区分三角形不同特殊点的核心性质，只要记清各类特殊点的特点就能快速作答。
【难度系数】
0.8
5.(5分)(凉山中考)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$DE$垂直平分$AB$,交$BC$于点$D$,连接$AD$.若$△ ACD$的周长为$50\ \mathrm{cm}$,则$AC+BC$的长为 (
A.25 cm
B.45 cm
C.50 cm
D.55 cm
C
)A.25 cm
B.45 cm
C.50 cm
D.55 cm
答案
5. C
解析
【分析】
首先看到题目中“DE垂直平分AB”的条件，可联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此能推出AD=BD。再观察△ACD的周长构成：AC+CD+AD，将其中的AD替换为相等的BD后，周长式子就转化为AC+CD+BD，而CD与BD的和刚好是BC的长度，因此可直接得到AC+BC的长度等于△ACD的周长。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AB，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$AD=BD$，
∵$△ ACD$的周长为$50\ \mathrm{cm}$，
∴$AC + CD + AD = 50\ \mathrm{cm}$，
将$AD$替换为$BD$，得：$AC + CD + BD = 50\ \mathrm{cm}$，
又
∵$CD + BD = BC$，
∴$AC + BC = 50\ \mathrm{cm}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等量代换
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的典型基础考题，解题核心是利用性质完成线段的等量转化，将未知线段和与已知的三角形周长建立关联，熟练掌握性质就能快速解题。
【难度系数】
0.85
首先看到题目中“DE垂直平分AB”的条件，可联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此能推出AD=BD。再观察△ACD的周长构成：AC+CD+AD，将其中的AD替换为相等的BD后，周长式子就转化为AC+CD+BD，而CD与BD的和刚好是BC的长度，因此可直接得到AC+BC的长度等于△ACD的周长。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AB，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$AD=BD$，
∵$△ ACD$的周长为$50\ \mathrm{cm}$，
∴$AC + CD + AD = 50\ \mathrm{cm}$，
将$AD$替换为$BD$，得：$AC + CD + BD = 50\ \mathrm{cm}$，
又
∵$CD + BD = BC$，
∴$AC + BC = 50\ \mathrm{cm}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等量代换
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的典型基础考题，解题核心是利用性质完成线段的等量转化，将未知线段和与已知的三角形周长建立关联，熟练掌握性质就能快速解题。
【难度系数】
0.85
6.(6分)“如果m,n(m,n为任意实数)互为相反数,那么$m+n=0$”的逆命题是
如果m+n=0(m,n为任意实数),那么m,n互为相反数
，该逆命题是真
(填“真”或“假”)命题。答案
6. 如果m+n=0(m,n为任意实数),那么m,n互为相反数 真
解析
【分析】
解决本题首先要明确逆命题的改写规则：逆命题是将原命题的题设（条件）和结论互换位置得到的命题。第一步先拆分原命题的题设和结论，原命题的题设为“m,n为任意实数，且m,n互为相反数”，结论为“m+n=0”，将二者互换即可得到逆命题；第二步再结合相反数的定义判断逆命题的真假即可。
【解析】
1. 拆分原命题的条件和结论：
原命题条件：m,n为任意实数，且m,n互为相反数；
原命题结论：$m+n=0$。
2. 互换条件和结论得到逆命题：如果$m+n=0$（m,n为任意实数），那么m,n互为相反数。
3. 判断逆命题真假：根据相反数的定义，若两个实数的和为0，则这两个数互为相反数，因此该逆命题符合定义，是真命题。
【答案】
如果m+n=0(m,n为任意实数),那么m,n互为相反数 真
【知识点】
逆命题的改写，命题真假判断，相反数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，只要掌握逆命题的改写方法，牢记相反数的核心定义就能顺利解题，平时学习要重视基础概念的理解和记忆。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确逆命题的改写规则：逆命题是将原命题的题设（条件）和结论互换位置得到的命题。第一步先拆分原命题的题设和结论，原命题的题设为“m,n为任意实数，且m,n互为相反数”，结论为“m+n=0”，将二者互换即可得到逆命题；第二步再结合相反数的定义判断逆命题的真假即可。
【解析】
1. 拆分原命题的条件和结论：
原命题条件：m,n为任意实数，且m,n互为相反数；
原命题结论：$m+n=0$。
2. 互换条件和结论得到逆命题：如果$m+n=0$（m,n为任意实数），那么m,n互为相反数。
3. 判断逆命题真假：根据相反数的定义，若两个实数的和为0，则这两个数互为相反数，因此该逆命题符合定义，是真命题。
【答案】
如果m+n=0(m,n为任意实数),那么m,n互为相反数 真
【知识点】
逆命题的改写，命题真假判断，相反数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，只要掌握逆命题的改写方法，牢记相反数的核心定义就能顺利解题，平时学习要重视基础概念的理解和记忆。
【难度系数】
0.8
7.(5分)如图,在△ABC中,边AC的垂直平分线交边AB于点D,连接CD.若∠A=50°,则∠BDC的大小为
100°
.答案
7. 100°
解析
【分析】
解题时首先抓住题干中的关键条件“AC的垂直平分线交AB于D”，回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可推出AD=CD，进而得到△ADC为等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠A=∠ACD；再观察∠BDC的位置，它是△ADC的外角，利用三角形外角的性质即可计算出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵DE是线段AC的垂直平分线，点D在DE上，
∴AD = CD，
∴∠ACD = ∠A = 50°，
∵∠BDC是△ADC的外角，
∴∠BDC = ∠A + ∠ACD = 50° + 50° = 100°。
【答案】
100°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是对相关几何性质的直接应用，只要熟练掌握线段垂直平分线、等腰三角形和三角形外角的性质，就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住题干中的关键条件“AC的垂直平分线交AB于D”，回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可推出AD=CD，进而得到△ADC为等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠A=∠ACD；再观察∠BDC的位置，它是△ADC的外角，利用三角形外角的性质即可计算出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵DE是线段AC的垂直平分线，点D在DE上，
∴AD = CD，
∴∠ACD = ∠A = 50°，
∵∠BDC是△ADC的外角，
∴∠BDC = ∠A + ∠ACD = 50° + 50° = 100°。
【答案】
100°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是对相关几何性质的直接应用，只要熟练掌握线段垂直平分线、等腰三角形和三角形外角的性质，就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.8
8.(5分)如图,在四边形ABCD中,DE垂直平分AB,DF垂直平分BC.若AD=7,则CD的长为
7
.答案
8. 7
解析
【分析】
解题时先观察图形中的垂直平分线条件，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。我们可以通过连接辅助线BD，先利用DE是AB的垂直平分线得到AD和BD的等量关系，再利用DF是BC的垂直平分线得到BD和CD的等量关系，最后通过等量代换即可求出CD的长度。
【解析】
连接BD，
∵ DE垂直平分AB，点D在DE上，
∴ 根据线段垂直平分线的性质可得：AD = BD，
又
∵ AD = 7，
∴ BD = 7，
∵ DF垂直平分BC，点D在DF上，
∴ 同理可得：BD = CD，
∴ CD = BD = 7。
【答案】
7
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.等量代换
【点评】
本题属于基础题，主要考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是合理添加辅助线BD，通过两次运用线段垂直平分线的性质完成线段长度的等量转换，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时先观察图形中的垂直平分线条件，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。我们可以通过连接辅助线BD，先利用DE是AB的垂直平分线得到AD和BD的等量关系，再利用DF是BC的垂直平分线得到BD和CD的等量关系，最后通过等量代换即可求出CD的长度。
【解析】
连接BD，
∵ DE垂直平分AB，点D在DE上，
∴ 根据线段垂直平分线的性质可得：AD = BD，
又
∵ AD = 7，
∴ BD = 7，
∵ DF垂直平分BC，点D在DF上，
∴ 同理可得：BD = CD，
∴ CD = BD = 7。
【答案】
7
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.等量代换
【点评】
本题属于基础题，主要考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是合理添加辅助线BD，通过两次运用线段垂直平分线的性质完成线段长度的等量转换，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
9.(8分)如图，直线l是线段AB的垂直平分线，C，D是直线l上不同的两点.求证：$∠ CAD=∠ CBD$.
答案
9. 证明:
∵直线l是线段AB的垂直平分线,
∴CA=CB,AD=BD.在△ACD和△BCD中,
$\begin{cases}AC=BC,\\AD=BD,\\CD=CD,\end{cases}$
∴△ACD≌△BCD(SSS).
∴∠CAD=∠CBD.
∵直线l是线段AB的垂直平分线,
∴CA=CB,AD=BD.在△ACD和△BCD中,
$\begin{cases}AC=BC,\\AD=BD,\\CD=CD,\end{cases}$
∴△ACD≌△BCD(SSS).
∴∠CAD=∠CBD.
解析
【分析】
要证明∠CAD=∠CBD，可通过证明两角所在的三角形全等推导。首先根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得到CA=CB、AD=BD；再观察△ACD和△BCD，二者有公共边CD，满足三边对应相等的全等判定条件，证明三角形全等后，根据全等三角形对应角相等即可推出结论。
【解析】
证明：
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴CA=CB，AD=BD。
在△ACD和△BCD中，
$\begin{cases}AC=BC,\\AD=BD,\\CD=CD,\end{cases}$
∴△ACD≌△BCD(SSS)。
∴∠CAD=∠CBD。
【答案】
证明过程如上，可证得∠CAD=∠CBD。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、全等三角形SSS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是利用线段垂直平分线的性质得到相等的边，结合公共边构造全等三角形，进而推导对应角相等，掌握相关性质和判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要证明∠CAD=∠CBD，可通过证明两角所在的三角形全等推导。首先根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得到CA=CB、AD=BD；再观察△ACD和△BCD，二者有公共边CD，满足三边对应相等的全等判定条件，证明三角形全等后，根据全等三角形对应角相等即可推出结论。
【解析】
证明：
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴CA=CB，AD=BD。
在△ACD和△BCD中，
$\begin{cases}AC=BC,\\AD=BD,\\CD=CD,\end{cases}$
∴△ACD≌△BCD(SSS)。
∴∠CAD=∠CBD。
【答案】
证明过程如上，可证得∠CAD=∠CBD。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、全等三角形SSS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是利用线段垂直平分线的性质得到相等的边，结合公共边构造全等三角形，进而推导对应角相等，掌握相关性质和判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
