10.(10分)如图，$△ ABC$和$△ ADE$关于直线MN对称，BC和DE的交点F在直线MN上.
(1)若$ED=15$，$BF=9$，求EF的长；
(2)连接BD，则直线MN和线段BD有什么关系？

10. 解:(1)
∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，
∴点B与点D关于直线MN对称.
∴DF=BF=9.
∴EF=ED-DF=6.(2)直线MN垂直平分线段BD.

【分析】
(1)解题时先结合已知的轴对称条件，回忆轴对称的性质：对称轴上的点到两个对应点的距离相等。要求EF的长，已知ED的长度，只需要求出DF的长度即可通过线段和差计算；由△ABC和△ADE关于MN对称可知点B和点D是对应点，且F在对称轴MN上，因此DF=BF，代入已知BF的长度即可求出DF，进而得到EF的长度。
(2)解决第二问直接利用轴对称的核心性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。点B和点D是关于MN对称的对应点，因此可直接推出直线MN和线段BD的关系。
【解析】
(1)
∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，
∴点B与点D关于直线MN对称，
又
∵点F在直线MN上，
∴DF=BF=9，
∵ED=15，
∴EF=ED-DF=15-9=6。
(2)
∵点B与点D关于直线MN对称，
根据轴对称的性质，对称轴垂直平分两个对称点的连线，
∴直线MN垂直平分线段BD。
【答案】
(1)6；
(2)直线MN垂直平分线段BD。
【知识点】
轴对称的性质，线段和差计算
【点评】
本题侧重考查轴对称基础性质的应用，属于常规基础题，解题的关键是准确识别成轴对称图形的对应点，结合性质推导线段的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

11. (10分)如图，$△ ABC$和$△ ADE$关于直线$MN$对称，$BC$与$DE$的交点$F$在直线$MN$上.
(1)图中点$C$的对应点是点，$∠ B$的对应角是；
(2)若$DE=5$，$BF=2$，则$CF$的长为；
(3)若$∠ BAC=108°$，$∠ BAE=30°$，求$∠ EAF$的度数.

11. 解:(1)E ∠D (2)3 (3)
∵∠BAC=108°,∠BAE=30°,
∴∠CAE=∠BAC−∠BAE=78°.由轴对称的性质得,∠EAF=∠CAF,
∴∠EAF=1/2∠CAE=39°.

【分析】
本题围绕轴对称的性质展开考查，解题思路清晰：
(1) 关于某条直线对称的两个图形，对应点、对应角一一对应，结合给出的两个对称三角形△ABC和△ADE，直接匹配对应元素即可；
(2) 根据轴对称性质，对称图形的对应边长度相等，先得到BC的长度，再结合BF的长度，通过线段差即可计算CF的长；
(3) 先利用已知角的度数求出∠CAE的大小，再根据轴对称的性质，对称轴平分一组对应点与对称轴上公共点的夹角，可知∠EAF是∠CAE的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
(1)
∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，
∴点C的对应点是点E，∠B的对应角是∠D；
(2) 由轴对称的性质可得，对应边BC=DE=5，
∵F在BC上，BF=2，
∴CF=BC-BF=5-2=3；
(3) 已知∠BAC=108°，∠BAE=30°，
∴∠CAE=∠BAC - ∠BAE=108°-30°=78°，
由轴对称的性质可知，直线MN平分∠CAE，即∠EAF=∠CAF，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠CAE=$\frac{1}{2}$×78°=39°。
【答案】
(1) E，∠D；(2) 3；(3) 39°
【知识点】
轴对称的性质，线段计算，角度计算
【点评】
本题属于轴对称性质的基础练习题，重点考查对对称图形对应元素的识别能力，以及利用性质进行简单线段、角度计算的能力，掌握轴对称的核心性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

12.(12分)如图,P是$∠ AOB$外一点,点E与点P关于直线OA对称,点F与点P关于直线OB对称,直线FE分别交OA,OB于C,D两点,连接PC,PD,PE,PF.
(1)若$∠ OCP=∠ F=20°$,求$∠ CPD$的度数;
(2)若$CP=DP$,$CF=13$,$DE=3$,求$CP$的长.

12. 解:(1)由轴对称的性质,易得∠OCE=∠OCP=20°,∠DPF=∠F=20°.
∴∠PCF=∠OCE+∠OCP=40°.
∴∠CPF=180°−∠F−∠PCF=120°.
∴∠CPD=∠CPF−∠DPF=100°.(2)由轴对称的性质,得CP=CE,DP=DF.
∵CP=DP,
∴CE=DF.
∴CF=CE+DE+DF=2CE+3=13.
∴CE=5.
∴CP=5.

【分析】
(1) 解题先从轴对称的性质入手：关于某条直线对称的两个点，对应角相等、对应线段相等。已知点E与P关于OA对称，可得∠OCE=∠OCP；点F与P关于OB对称，可得∠DPF=∠F。结合已知角度先求出∠PCF的度数，再利用三角形内角和定理算出△CPF中∠CPF的度数，最后用∠CPF减去∠DPF即可得到∠CPD的度数。
(2) 同样利用轴对称性质，可得CP=CE、DP=DF，结合已知CP=DP可推出CE=DF。观察线段CF的组成：CF=CE+DE+DF，代入已知长度即可求出CE的长度，也就是CP的长度。
【解析】
(1) 由轴对称的性质可得：
∵ 点E与点P关于直线OA对称，
∴ $∠ OCE=∠ OCP=20°$，
∵ 点F与点P关于直线OB对称，
∴ $DP=DF$，$∠ DPF=∠ F=20°$，
∴ $∠ PCF=∠ OCE+∠ OCP=20°+20°=40°$，
在$△ CPF$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ CPF=180°-∠ F-∠ PCF=180°-20°-40°=120°$，
∴ $∠ CPD=∠ CPF-∠ DPF=120°-20°=100°$。
(2) 由轴对称的性质可得：
∵ 点E与点P关于直线OA对称，
∴ $CP=CE$，
∵ 点F与点P关于直线OB对称，
∴ $DP=DF$，
又
∵ $CP=DP$，
∴ $CE=DF$，
由线段和差关系得：$CF=CE+DE+DF$，
代入$CF=13$，$DE=3$，$CE=DF$得：$13=2CE+3$，
解得$CE=5$，
∴ $CP=CE=5$。
【答案】
(1) $\boxed{100°}$；(2) $\boxed{5}$
【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 三角形内角和定理
3. 线段和差计算
【点评】
本题是轴对称性质应用的基础典型题，解题核心是通过轴对称性质挖掘出相等的角和相等的线段，再结合三角形内角和、线段和差关系求解，侧重考查对基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6

13.(10分)在部分棋盘中建立平面直角坐标系,三颗棋子A,O,B的位置分别是$A(-1,1)$,$O(0,0)$和$B(1,0)$.
(1)如图①,添加棋子C后,A,O,B,C四颗棋子组成一个轴对称图形,请在图中画出该图形的对称轴;
(2)如图②,在其他格点上添加一颗棋子P,使A,O,B,P四颗棋子组成一个轴对称图形,请画出棋子P的位置并直接写出其坐标.(写出2个即可)

解:(1)如图①,直线l即为所求.(2)如图②,P(0,−1),P₁(−1,−1).(答案不唯一)

【分析】
(1)解决第一问首先要明确轴对称图形的核心性质：沿某条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合。首先写出四个点的坐标：A(-1,1)、O(0,0)、B(1,0)、C(-1,2)，观察点的位置，找到能让四个点对折后全部重合的直线，即为所求对称轴。
(2)解决第二问需要先确定可能的对称轴，再根据“关于对称轴对称的点，横纵坐标满足对称规律”，在格点上找到第四个点P的位置，确保A、O、B、P四点沿对称轴对折后完全重合即可。
【解析】
(1)根据轴对称图形的性质，寻找直线使得A、O、B、C四点沿直线对折后完全重合：观察点的对应关系，B(1,0)与C(-1,2)为一组对应点，O(0,0)与A(-1,1)为一组对应点，两组对应点连线的垂直平分线为同一条直线l，即所求对称轴，绘制结果如图①所示。
(2)我们可以通过选择不同的对称轴构造符合要求的点P：
①若选择x轴为对称轴：O、B都在x轴上，A(-1,1)关于x轴的对称点为(-1,-1)，即P₁(-1,-1)，此时四点沿x轴对折后完全重合；
②若选择直线y=-x为对称轴：A在直线y=-x上，O也在直线y=-x上，B(1,0)关于直线y=-x的对称点为(0,-1)，即P(0,-1)，此时四点沿直线y=-x对折后完全重合。
棋子P的位置绘制结果如图②所示，坐标为(0,-1)、(-1,-1)，答案不唯一，符合要求即可。
【答案】
(1)如图①,直线l即为所求.(2)如图②,P(0,−1),P₁(−1,−1).(答案不唯一)
【知识点】
轴对称图形的性质，平面直角坐标系，点的对称变换
【点评】
本题属于开放性作图题，核心考查轴对称图形的性质和平面直角坐标系中点的对称规律，解题时需先确定对称轴再找对应点，同时要注意格点的限制，能锻炼学生的发散思维和动手作图能力。
【难度系数】
0.7