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1.(5分)下列是作线段的垂直平分线的尺规作图的是 （
）
）答案
C
解析
【分析】
要判断哪个是作线段垂直平分线的尺规作图，首先需要回忆线段垂直平分线的尺规作图标准步骤，再逐一分析每个选项的作图痕迹对应的作图类型，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
线段垂直平分线的标准尺规作图步骤为：
1. 画出已知线段；
2. 分别以线段的两个端点为圆心，取大于线段长度$\frac{1}{2}$的长度为半径画弧，两弧在线段的上下两侧各有一个交点；
3. 过两个交点作直线，该直线就是线段的垂直平分线。
对选项逐一判断：
选项A：作图痕迹是角平分线的尺规作图，不符合要求；
选项B：作弧时未分别以线段两个端点为圆心，作图不符合线段垂直平分线的作图要求；
选项C：作图痕迹完全符合线段垂直平分线的尺规作图步骤，符合要求；
选项D：作图痕迹是过直线上一点作已知直线的垂线的作图，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的尺规作图；基本尺规作图识别
【点评】
本题属于基础类考题，主要考查对常见基本尺规作图痕迹的辨别能力，解题的关键是熟练掌握各类基本尺规作图的操作流程，注意区分相似作图的痕迹差异。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是作线段垂直平分线的尺规作图，首先需要回忆线段垂直平分线的尺规作图标准步骤，再逐一分析每个选项的作图痕迹对应的作图类型，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
线段垂直平分线的标准尺规作图步骤为：
1. 画出已知线段；
2. 分别以线段的两个端点为圆心，取大于线段长度$\frac{1}{2}$的长度为半径画弧，两弧在线段的上下两侧各有一个交点；
3. 过两个交点作直线，该直线就是线段的垂直平分线。
对选项逐一判断：
选项A：作图痕迹是角平分线的尺规作图，不符合要求；
选项B：作弧时未分别以线段两个端点为圆心，作图不符合线段垂直平分线的作图要求；
选项C：作图痕迹完全符合线段垂直平分线的尺规作图步骤，符合要求；
选项D：作图痕迹是过直线上一点作已知直线的垂线的作图，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的尺规作图；基本尺规作图识别
【点评】
本题属于基础类考题，主要考查对常见基本尺规作图痕迹的辨别能力，解题的关键是熟练掌握各类基本尺规作图的操作流程，注意区分相似作图的痕迹差异。
【难度系数】
0.8
2.(5分)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB＞BC＞AC$，用无刻度的直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到点A，B的距离相等，则符合要求的作图是（
C
）答案
2. C
解析
【分析】
要找到BC上满足PA=PB的点P，首先回忆线段垂直平分线的性质：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此点P必然是线段AB的垂直平分线与BC边的交点，接下来只需判断四个选项中哪个是按尺规作图要求作AB的垂直平分线即可。
【解析】
若点P到A、B的距离相等，则点P在线段AB的垂直平分线上，因此我们需要作出线段AB的垂直平分线，取其与BC的交点即为所求点P：
选项A：所作直线不是AB的垂直平分线，不符合要求；
选项B：所作是∠CAB的角平分线，仅能保证点P到AB、AC的距离相等，无法保证PA=PB，不符合要求；
选项C：是按规范尺规作图作AB的垂直平分线，该线与BC交于点P，根据垂直平分线的性质，PA=PB，符合要求；
选项D：所作是在AB上截取与AC等长的线段，不是AB的垂直平分线，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的性质，尺规作垂直平分线
【点评】
本题核心是利用垂直平分线的性质确定点P的位置，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定规则与尺规作图的特征，属于基础类作图题。
【难度系数】
0.7
要找到BC上满足PA=PB的点P，首先回忆线段垂直平分线的性质：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此点P必然是线段AB的垂直平分线与BC边的交点，接下来只需判断四个选项中哪个是按尺规作图要求作AB的垂直平分线即可。
【解析】
若点P到A、B的距离相等，则点P在线段AB的垂直平分线上，因此我们需要作出线段AB的垂直平分线，取其与BC的交点即为所求点P：
选项A：所作直线不是AB的垂直平分线，不符合要求；
选项B：所作是∠CAB的角平分线，仅能保证点P到AB、AC的距离相等，无法保证PA=PB，不符合要求；
选项C：是按规范尺规作图作AB的垂直平分线，该线与BC交于点P，根据垂直平分线的性质，PA=PB，符合要求；
选项D：所作是在AB上截取与AC等长的线段，不是AB的垂直平分线，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的性质，尺规作垂直平分线
【点评】
本题核心是利用垂直平分线的性质确定点P的位置，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定规则与尺规作图的特征，属于基础类作图题。
【难度系数】
0.7
3.(8分)画出下列各图所有的对称轴.
答案
解:如图所示.
解析
【分析】
要解决画出图形对称轴的问题，首先回忆轴对称图形和对称轴的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是该图形的对称轴。解题时逐一对每个图形进行分析：先观察图形的对称特征，依次尝试水平、竖直、斜向的直线，验证沿该直线折叠后图形两侧是否完全重合，找到所有符合要求的直线即可，注意不要漏画也不要多画。
【解析】
1. 明确对称轴的判定标准：沿某条直线折叠图形，若直线两侧的部分能完全重合，该直线即为图形的对称轴。
2. 逐个分析图形：
（1）第一个四角星图形：沿水平中线、竖直中线、两条与水平方向成45°角的直线折叠，两侧均完全重合，共4条对称轴；
（2）第二个多角星图形：沿水平、竖直、6条不同角度的斜向直线折叠，两侧均完全重合，共8条对称轴；
（3）第三个带凸起的图形：仅沿水平中线、竖直中线折叠时两侧完全重合，共2条对称轴；
（4）第四个正六边形：沿3条过对顶点的直线、3条过对边中点的直线折叠，两侧均完全重合，共6条对称轴。
3. 将上述所有符合要求的对称轴用虚线画出即可。
【答案】
解:如图所示.
【知识点】
轴对称图形定义，对称轴的绘制
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对称轴的识别与绘制，解题的关键是紧扣对称轴的定义，观察图形特征时要细致全面，避免出现漏画、多画对称轴的问题。
【难度系数】
0.8
要解决画出图形对称轴的问题，首先回忆轴对称图形和对称轴的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是该图形的对称轴。解题时逐一对每个图形进行分析：先观察图形的对称特征，依次尝试水平、竖直、斜向的直线，验证沿该直线折叠后图形两侧是否完全重合，找到所有符合要求的直线即可，注意不要漏画也不要多画。
【解析】
1. 明确对称轴的判定标准：沿某条直线折叠图形，若直线两侧的部分能完全重合，该直线即为图形的对称轴。
2. 逐个分析图形：
（1）第一个四角星图形：沿水平中线、竖直中线、两条与水平方向成45°角的直线折叠，两侧均完全重合，共4条对称轴；
（2）第二个多角星图形：沿水平、竖直、6条不同角度的斜向直线折叠，两侧均完全重合，共8条对称轴；
（3）第三个带凸起的图形：仅沿水平中线、竖直中线折叠时两侧完全重合，共2条对称轴；
（4）第四个正六边形：沿3条过对顶点的直线、3条过对边中点的直线折叠，两侧均完全重合，共6条对称轴。
3. 将上述所有符合要求的对称轴用虚线画出即可。
【答案】
解:如图所示.
【知识点】
轴对称图形定义，对称轴的绘制
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对称轴的识别与绘制，解题的关键是紧扣对称轴的定义，观察图形特征时要细致全面，避免出现漏画、多画对称轴的问题。
【难度系数】
0.8
4.(6分)(教材P71习题T10变式)如图,一辆汽车在笔直的公路AB上由A处向B处行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的村庄.当汽车行驶到哪个位置时,到村庄M,N的距离相等?(保留作图痕迹,不写作法)
答案
解:如图,点 C 即为所求.
解析
【分析】
我们需要在公路AB上找到一个点，使其到村庄M、N的距离相等。根据所学的线段垂直平分线相关知识：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。因此满足到M、N距离相等的点都在线段MN的垂直平分线上，我们只需找到线段MN的垂直平分线与公路AB的交点，这个交点就是所求的汽车行驶位置。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
1. 用尺规作线段MN的垂直平分线：分别以M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线，即为MN的垂直平分线；
2. 找到该垂直平分线与直线AB的交点，记为点C，点C就是所求的位置，此时点C到M、N的距离相等。
【答案】
如图,点 C 即为所求.
【知识点】
线段垂直平分线的判定，尺规作图
【点评】
本题属于几何知识的实际应用类题目，需要将实际问题转化为几何模型求解，熟练掌握线段垂直平分线的判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
我们需要在公路AB上找到一个点，使其到村庄M、N的距离相等。根据所学的线段垂直平分线相关知识：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。因此满足到M、N距离相等的点都在线段MN的垂直平分线上，我们只需找到线段MN的垂直平分线与公路AB的交点，这个交点就是所求的汽车行驶位置。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
1. 用尺规作线段MN的垂直平分线：分别以M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线，即为MN的垂直平分线；
2. 找到该垂直平分线与直线AB的交点，记为点C，点C就是所求的位置，此时点C到M、N的距离相等。
【答案】
如图,点 C 即为所求.
【知识点】
线段垂直平分线的判定，尺规作图
【点评】
本题属于几何知识的实际应用类题目，需要将实际问题转化为几何模型求解，熟练掌握线段垂直平分线的判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5.(8分)(1)如图①,点C在直线l上,过点C作直线l的垂线；
(2)如图②,点C不在直线l上,过点C作直线l的垂线.
(2)如图②,点C不在直线l上,过点C作直线l的垂线.
答案
解:(1)如图①所示.(2)如图②所示.
解析
【分析】
本题考查过点作已知直线的垂线的尺规作图方法，分两种情况梳理思路：
(1) 当点C在直线l上时，可借助“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”的原理作图：先以C为端点在直线l上截取两条等长线段，再找到一个到这两条线段外端点距离相等的点，该点与C的连线就是l的垂线；
(2) 当点C在直线l外时，先以C为圆心画弧和直线l交于两点，再找到一个到这两个交点距离相等、且和C分别在直线l两侧的点，连接C和该点得到的直线就是l的垂线。
【解析】
(1) 图①作图步骤：
① 以点C为圆心，取任意长度为半径画弧，与直线l交于A、B两点；
② 分别以A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于直线l外一点D；
③ 过点C、D作直线CD，直线CD即为所求的垂线。
(2) 图②作图步骤：
① 以点C为圆心，取大于点C到直线l的距离的长度为半径画弧，与直线l交于E、F两点；
② 分别以E、F为圆心，取大于$\frac{1}{2}EF$的长度为半径画弧，两弧在直线l远离C的一侧交于点G；
③ 过点C、G作直线CG，直线CG即为所求的垂线。
【答案】
(1)如图①所示.
(2)如图②所示.
【知识点】
尺规作垂线，线段垂直平分线判定
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，重点考查过直线上、直线外一点作已知直线垂线的操作方法，解题的核心是掌握尺规作垂线的规范步骤，作图时需注意保留作图痕迹。
【难度系数】
0.8
本题考查过点作已知直线的垂线的尺规作图方法，分两种情况梳理思路：
(1) 当点C在直线l上时，可借助“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”的原理作图：先以C为端点在直线l上截取两条等长线段，再找到一个到这两条线段外端点距离相等的点，该点与C的连线就是l的垂线；
(2) 当点C在直线l外时，先以C为圆心画弧和直线l交于两点，再找到一个到这两个交点距离相等、且和C分别在直线l两侧的点，连接C和该点得到的直线就是l的垂线。
【解析】
(1) 图①作图步骤：
① 以点C为圆心，取任意长度为半径画弧，与直线l交于A、B两点；
② 分别以A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于直线l外一点D；
③ 过点C、D作直线CD，直线CD即为所求的垂线。
(2) 图②作图步骤：
① 以点C为圆心，取大于点C到直线l的距离的长度为半径画弧，与直线l交于E、F两点；
② 分别以E、F为圆心，取大于$\frac{1}{2}EF$的长度为半径画弧，两弧在直线l远离C的一侧交于点G；
③ 过点C、G作直线CG，直线CG即为所求的垂线。
【答案】
(1)如图①所示.
(2)如图②所示.
【知识点】
尺规作垂线，线段垂直平分线判定
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，重点考查过直线上、直线外一点作已知直线垂线的操作方法，解题的核心是掌握尺规作垂线的规范步骤，作图时需注意保留作图痕迹。
【难度系数】
0.8
6.(8分)(教材P71习题T9变式)如图,已知线段a,b,按下列要求用直尺和圆规作△ABC,使∠A=90°,BC=a,AB=b.(要求保留作图痕迹,不写作法)
答案
6. 解:如图,$△ ABC$即为所求作.
解析
【分析】
要构造符合要求的直角△ABC，可按以下思路推导：首先明确已知条件中直角顶点为A，因此第一步需要先作出以A为顶点的直角，得到两条互相垂直的射线；接着在其中一条射线上截取长度为b的线段AB，确定点B的位置；最后已知斜边BC长度为a，以B为圆心、a的长度为半径画弧，弧与另一条垂直射线的交点就是点C，连接BC即可得到目标三角形。
【解析】
作图逻辑如下（题目仅要求保留痕迹，无需写作法）：
1. 作一条直线，在直线上取点A，用尺规过A作该直线的垂线，得到以A为顶点的两条互相垂直的射线；
2. 在水平射线上截取线段$AB=b$，确定B点位置；
3. 以B为圆心，线段$a$的长度为半径画弧，交竖直垂线于点C；
4. 连接BC，保留所有作图痕迹（作垂线的弧、截取AB的弧、确定C点的弧），所得即为所求三角形。
【答案】
6. 解:如图,$△ ABC$即为所求作.
【知识点】
尺规作垂线，作等长线段，尺规作三角形
【点评】
本题是基础尺规作图题，综合了作垂线、截取等长线段的基本作图操作，解题时需明确各已知条件对应的图形位置，按要求保留全部作图痕迹即可。
【难度系数】
0.7
要构造符合要求的直角△ABC，可按以下思路推导：首先明确已知条件中直角顶点为A，因此第一步需要先作出以A为顶点的直角，得到两条互相垂直的射线；接着在其中一条射线上截取长度为b的线段AB，确定点B的位置；最后已知斜边BC长度为a，以B为圆心、a的长度为半径画弧，弧与另一条垂直射线的交点就是点C，连接BC即可得到目标三角形。
【解析】
作图逻辑如下（题目仅要求保留痕迹，无需写作法）：
1. 作一条直线，在直线上取点A，用尺规过A作该直线的垂线，得到以A为顶点的两条互相垂直的射线；
2. 在水平射线上截取线段$AB=b$，确定B点位置；
3. 以B为圆心，线段$a$的长度为半径画弧，交竖直垂线于点C；
4. 连接BC，保留所有作图痕迹（作垂线的弧、截取AB的弧、确定C点的弧），所得即为所求三角形。
【答案】
6. 解:如图,$△ ABC$即为所求作.
【知识点】
尺规作垂线，作等长线段，尺规作三角形
【点评】
本题是基础尺规作图题，综合了作垂线、截取等长线段的基本作图操作，解题时需明确各已知条件对应的图形位置，按要求保留全部作图痕迹即可。
【难度系数】
0.7
7.(10分)(教材P71习题T12变式)如图,已知甲村和乙村分别靠近公路a,b,为了发展经济,甲、乙两村准备合建一个工厂.经协商,工厂必须满足以下要求:①到两村的距离相等;②到两条公路的距离相等.你能帮忙确定工厂的位置吗?(保留作图痕迹,不写作法)
答案
7. 解:如图,点 H 或点 $H'$ 即为所求.
解析
【分析】
要确定工厂的位置，需结合两个要求分别推导对应的几何轨迹：①到甲、乙两村距离相等的点，根据线段垂直平分线的性质，一定在甲、乙两村连线的垂直平分线上；②到两条相交公路a、b距离相等的点，根据角平分线的性质，一定在公路a、b所夹角的角平分线上。同时满足两个条件的点就是两条轨迹的交点，由于两条相交直线形成2个夹角，对应2条角平分线，因此会得到2个符合要求的交点。
【解析】
1. 连接表示甲村、乙村的两点，作出这条线段的垂直平分线；
2. 分别作出直线a、b相交所成的两个角的角平分线；
3. 两条角平分线与上述垂直平分线的交点，就是满足所有要求的工厂位置，按要求保留作图痕迹即可。
【答案】
如图,点 H 或点 $H'$ 即为所求.
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题是几何作图的实际应用类题目，解题核心是把“距离相等”的条件转化为对应的几何轨迹，通过求轨迹的交点确定目标位置，解题时要注意不要遗漏两条公路形成的另一个夹角对应的角平分线，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
要确定工厂的位置，需结合两个要求分别推导对应的几何轨迹：①到甲、乙两村距离相等的点，根据线段垂直平分线的性质，一定在甲、乙两村连线的垂直平分线上；②到两条相交公路a、b距离相等的点，根据角平分线的性质，一定在公路a、b所夹角的角平分线上。同时满足两个条件的点就是两条轨迹的交点，由于两条相交直线形成2个夹角，对应2条角平分线，因此会得到2个符合要求的交点。
【解析】
1. 连接表示甲村、乙村的两点，作出这条线段的垂直平分线；
2. 分别作出直线a、b相交所成的两个角的角平分线；
3. 两条角平分线与上述垂直平分线的交点，就是满足所有要求的工厂位置，按要求保留作图痕迹即可。
【答案】
如图,点 H 或点 $H'$ 即为所求.
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题是几何作图的实际应用类题目，解题核心是把“距离相等”的条件转化为对应的几何轨迹，通过求轨迹的交点确定目标位置，解题时要注意不要遗漏两条公路形成的另一个夹角对应的角平分线，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
