1.（2024·泰州模拟）如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的各边上.
【初步认识】
（1）如图①，若AE = AH = CF = CG，则四边形EFGH一定是（ ）
A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
【变式探究】
（2）如图②，若AC、BD交于点O，E、H分别是AB、AD上一点，OE = OH，AE ≠ AH，EO、HO的延长线分别交CD、BC于点G、F，求证：四边形EFGH是矩形.
【深入思考】
（3）如图③，若AC、BD交于点O，且AO = 10，OD = 5，当AH满足什么条件时，可作出两个不同矩形EFGH?
（4）在（3）的条件下，设AH = x，AE = y，请探索y与x满足的关系式.
　　

(1)B
(2)∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AD = DC，AO = OC，∠BAD = ∠BCD，∴ ∠BAO = ∠BCO = ∠DAO = ∠DCO. 又∵ ∠AOE = ∠COG，∠COF = ∠AOH，∴ △AOE≌△COG，△FOC≌△HOA，∴ OF = OH，OG = OE，∴ 四边形EFGH是平行四边形. ∵ OF = OH，OG = OE，OE = OH，∴ OF = OH = OG = OE，∴ FH = EG，∴ 四边形EFGH是矩形.
(3)∵ ∠AOD = 90°，AO = 10，OD = 5，∴ AD = $\sqrt{AO^{2}+OD^{2}}=\sqrt{10^{2}+5^{2}} = 5\sqrt{5}$，∴ AB = BC = CD = AD = $5\sqrt{5}$. ①当四边形EFGH形成的矩形如题图①一样时，AH = AE，此时AH满足的条件为0＜AH＜$5\sqrt{5}$；②当四边形EFGH形成的矩形如题图②一样时，OE = OH，AE ≠ AH，AH最大为AD = $5\sqrt{5}$，此时E、F、G、H不能形成矩形，AH最小时，由图①可得点B与点E重合，点G与点D重合，对角线ED、FH交于点O，EH⊥AD.
　　　　　
∵ AO⊥BD，BH⊥HG，AO = 10，BD = OD×2 = 10，AD = $5\sqrt{5}$，∴ $S_{\triangle ABD}=\frac{BD\cdot AO}{2}=\frac{AD\cdot BH}{2}$，即$\frac{10×10}{2}=\frac{5\sqrt{5}\cdot BH}{2}$，解得BH = $4\sqrt{5}$，∴ 由勾股定理可得AH = $\sqrt{AB^{2}-BH^{2}} = 3\sqrt{5}$. ∵ 点H与点D重合时不能形成矩形，∴ AH≠$5\sqrt{5}$，∴ 当$3\sqrt{5}\leq AH＜5\sqrt{5}$时，满足四边形EFGH为矩形. 当AH = $4\sqrt{5}$时，AE = $4\sqrt{5}$，如图②所示. ∴ 此时四边形EFGH同时满足①②，∴ 不能形成两个矩形，不满足题意，综上可得，当AH满足$3\sqrt{5}\leq AH＜5\sqrt{5}$且AH≠$4\sqrt{5}$时，可作出两个不同矩形EFGH.
(4)由(3)可得①当AH = AE时，x = y；②∵ AH的取值范围为$3\sqrt{5}\leq AH＜5\sqrt{5}$且AH≠$4\sqrt{5}$，根据旋转的性质可得AE的取值范围为$3\sqrt{5}\leq AE＜5\sqrt{5}$且AE≠$4\sqrt{5}$，即x + y = $8\sqrt{5}$. 综上可得x = y或x + y = $8\sqrt{5}$.

2.（2024·巴中中考）综合与实践
（1）操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图①、图②.在图②中，四边形ABCD为梯形，AB//CD，E、F是AD、BC边上的点.经过剪拼，四边形GHJK为矩形.则△EDK≌_______.
　　
（2）探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图③、图④、图⑤.在图⑤中，E、F、G、H是四边形ABCD边上的点.OJKL是拼接之后形成的四边形.
① 通过操作得出：AE与EB的比值为_______.
② 证明：四边形OJKL为平行四边形.
（3）实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形ABCD剪成4块，按图⑤的方式补全图⑥，并简单说明剪开和拼接过程.若不能，请说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　

(1)△EAG
(2)① 解析：如图①，由操作知，点E为AB中点，将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形EAQL，∴ AE = BE，∴ $\frac{AE}{BE}=1$.
　　　　　　　　
②如图①，由题意得，E、F、G、H是AB、BC、CD、DA的中点，操作为将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形EAQL，将四边形OHDG绕点H旋转180°得到四边形JHAP，将四边形OGCF放在左上方空出部分，则AQ = BF = CF，AP = DG = CG，∠BFO = ∠AQL. ∵ ∠DAB + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，∠QAE = ∠B，∠PAH = ∠D，∠DAB + ∠QAE + ∠PAH + ∠PAQ = 360°，∴ ∠PAQ = ∠C. ∵ ∠BFO + ∠CFO = 180°，∴ ∠AQL + ∠AQK = 180°，∴ K、Q、L三点共线，同理K、P、J三点共线，由操作得，∠2 = ∠L，∠3 = ∠J. ∵ ∠1 + ∠2 = 180°，∠1 + ∠3 = 180°，∴ ∠1 + ∠L = 180°，∠1 + ∠J = 180°，∴ OJ//KL，OL//KJ，∴ 四边形OJKL为平行四边形.
(3)如图②，取AB、BC、CD、DA的中点E、H、G、F，连接FH，过点E，点G分别作EM⊥FH，GN⊥FH，垂足为点M、N，将四边形EBHM绕点E旋转180°至四边形EAH'M'，将四边形FDGN绕点F旋转180°至四边形FAG'N'，将四边形NGCH放置左上方空出部分，使得点C与点A重合，CG与AG'重合，CH与AH'重合，点N的对应点为点N''，则四边形MM'N''N'即为所求矩形. 由题意得，∠EMF = ∠EMH = ∠M' = 90°，∠GNH = ∠GNF = ∠N' = 90°，∴ ∠N' = ∠M'MH = 90°，H'M'//N'N，∴ N'G'//MM'，由操作得，∠1 = ∠4，∠2 = ∠3. ∵ ∠1 + ∠2 = 180°，∴ ∠3 + ∠4 = 180°，∴ N''、H'、M'三点共线，同理，N'、G'、N''三点共线. ∵ ∠N' = ∠EMF = ∠M' = 90°，∴ 四边形MM'N''N'为矩形.
　　　　
如图③，连接AC、EF、FG、GH、EH，∵ E、H分别为BA、BC中点，∴ EH//AC，EH = $\frac{1}{2}$AC，同理FG//AC，FG = $\frac{1}{2}$AC，∴ FG//EH，FG = EH，∴ ∠EHM = ∠GFN. ∵ ∠EMF = ∠GNH = 90°，∴ △EHM≌△GFN，∴ EM = GN，MH = NF，∴ FM = NH，由操作得，AH' = BH，而BH = CH，∴ AH' = CH，同理，AG' = CG. ∵ ∠BAD + ∠D + ∠C + ∠B = 360°，∠D = ∠G'AF，∠B = ∠H'AE，∠BAD + ∠H'AE + ∠G'AF + ∠H'AG' = 360°，∴ ∠H'AG' = ∠C. ∵ 四边形MM'N''N'为矩形，∴ N'N'' = MM'，N''M' = N'M'，∴ N'F + FM = H'M' + H'N''，∴ MF + NF = MF + MH = M'H' + N''H'，∴ NH = N''H'，同理NG = N''G'，∴ 四边形NGCH能放置左上方空出部分，∴ 按照以上操作可以拼成一个矩形.