3. (2024·常州期末)类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.
(1)概念理解
如图①，在四边形$ABCD$中，添加一个条件使得四边形$ABCD$是“等邻边四边形”. 请写出你添加的一个条件_______.
(2)问题探究
如图②，已知$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 8$，$BC = 6\sqrt{3}$，将线段$AC$绕点$A$按逆时针方向旋转$60^{\circ}$，得到线段$AD$，连接$DC$、$DB$.
①四边形$ACBD$_______(填“是”或“不是”)“邻边四边形”；
②求线段$DB$的长度.
(3)拓展应用
如图③，在“等邻边四边形”$ABCD$中，$AB = AD$，$\angle BAD+\angle BCD = 90^{\circ}$，$AC$和$BD$为四边形的对角线，$\triangle BCD$为等边三角形，试探究$AC$和$AB$的数量关系，并说明理由.

(1) $AB = BC$(答案不唯一)
(2) ①是
②过点$D$作$DH\perp BC$于点$H$，如图①.$\because AC = AD$，$\angle CAD = 60^{\circ}$，$\therefore \triangle ACD$为等边三角形，$\therefore AC = CD = 8$，$\angle ACD = 60^{\circ}$.$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle DCH = 30^{\circ}$，$\therefore CH = 4\sqrt{3}$，$DH = 4$.$\because BC = 6\sqrt{3}$，$\therefore BH = BC - CH = 2\sqrt{3}$，$\therefore DB = \sqrt{DH^2+BH^2} = \sqrt{4^2+(2\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{7}$.
　　　　　 　　　
(3) $AC = \sqrt{2}AB$，理由如下：过点$A$作$AE\perp AB$，且$AE = AB$，连接$ED$，$EB$，如图②，$\because AE\perp AB$，$\therefore \angle EAD+\angle BAD = 90^{\circ}$.又$\because \angle BAD+\angle BCD = 90^{\circ}$，$\triangle BCD$为等边三角形，$\therefore \angle EAD = \angle DCB = 60^{\circ}$.$\because AE = AB$，$AB = AD$，$\therefore AE = AD$，$\therefore \triangle AED$为等边三角形，$\therefore AD = ED$，$\angle EDA = \angle BDC = 60^{\circ}$，$\therefore \angle BDE = \angle CDA$.$\because ED = AD$，$BD = CD$，$\triangle BDE\cong \triangle CDA$，$\therefore AC = BE$.$\because AE = AB$，$\angle BAE = 90^{\circ}$，$\therefore AB^2 + AE^2 = BE^2$，$\therefore 2AB^2 = BE^2$，$\therefore BE = \sqrt{2}AB$，$\therefore AC = \sqrt{2}AB$.

4. (2024·连云港期末)定义：平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴；②有两个顶点在同一反比例函数图像上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”.
解决问题：
(1)已知矩形$ABCD$中，点$A$、$C$的坐标分别为
①$A(-3,8)$，$C(6,-4)$；②$A(1,5)$，$C(2,3)$；③$A(3,4)$，$C(2,6)$. 其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是_______.(填序号)
(2)如图①，点$B(2,1.5)$是某比例系数为$8$的反比例函数的“伴随矩形”$ABCD$的顶点，求直线$BD$的函数表达式.
(3)若反比例函数的“伴随矩形”$ABCD$如图②所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点.

(1) ①③
(2) $\because$点$B(2,1.5)$是某比例系数为$8$的反比例函数的“伴随矩形”$ABCD$的顶点，$\therefore A(2,4)$，$C(\frac{16}{3},\frac{3}{2})$，$\therefore D(\frac{16}{3},4)$.设直线$BD$的表达式为$y = ax + b$，则$\begin{cases}2a + b = 1.5\\\frac{16}{3}a + b = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = \frac{3}{4}\\b = 0\end{cases}$，$\therefore$直线$BD$的函数表达式为$y = \frac{3}{4}x$.
(3) $\because A$，$C$在反比例函数$y = \frac{k}{x}(k\neq0)$上，设$A(m,\frac{k}{m})$，$C(n,\frac{k}{n})$，则$B(m,\frac{k}{n})$，$D(n,\frac{k}{m})$.设直线$BD$的表达式为$y = cx + d$，则$\begin{cases}\frac{k}{m}=cn + d\\\frac{k}{n}=cm + d\end{cases}$，解得$\begin{cases}c = \frac{k}{mn}\\d = 0\end{cases}$，即$y = \frac{k}{mn}x$，$\therefore$直线$BD$过原点.