9.（2023·哈尔滨中考）矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点F在矩形ABCD边上，连接OF. 若∠ADB = 38°，∠BOF = 30°，则∠AOF =________.

$46^{\circ}$或$106^{\circ}$ 解析:∵四边形ABCD是矩形,∴$OA = OD$,∴$\angle ADO = \angle OAD$.∵$\angle ADB = 38^{\circ}$,∴$\angle ADO = \angle OAD = 38^{\circ}$,∴$\angle AOB = \angle ADO + \angle OAD = 76^{\circ}$,如图①所示,当点F在AB上时.∵$\angle BOF = 30^{\circ}$,
∴$\angle AOF = \angle AOB - \angle BOF = 76^{\circ} - 30^{\circ} = 46^{\circ}$.如图②所示,当点F在BC上时.∵$\angle BOF = 30^{\circ}$,∴$\angle AOF = \angle AOB + \angle BOF = 76^{\circ} + 30^{\circ} = 106^{\circ}$.故答案为$46^{\circ}$或$106^{\circ}$.

10.（2024·威海中考）将一张矩形纸片（四边形ABCD）按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C'处，折痕为MN，点D落在点D'处，C'D'交AD于点E. 若BM = 3，BC' = 4，AC' = 3，则DN =________.
　　　　　　　　　　　　　　　

$\frac{3}{2}$ 解析:在$Rt\triangle C'BM$中,$C'M = \sqrt{C'B^{2} + BM^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$,由折叠可得$C'M = CM = 5$,$\angle D'C'M = \angle D' = \angle D = \angle C = 90^{\circ}$.又∵四边形ABCD是矩形,∴$\angle A = \angle B = 90^{\circ}$,∴$\angle BC'M + \angle AC'E = \angle AEC' + \angle AC'E = 90^{\circ}$,∴$\angle BC'M = \angle AEC'$.又∵$AC' = BM = 3$,∴$\triangle BC'M\cong\triangle AEC'$,∴$BC' = AE = 4$,$MC' = C'E = 5$,∴$AB = CD = C'D' = 7$,$BC = AD = BM + CM = 3 + 5 = 8$,∴$DE = AD - AE = 8 - 4 = 4$,$D'E = C'D' - C'E = 7 - 5 = 2$,设$D'N = DN = a$,则$EN = 4 - a$,在$Rt\triangle D'EN$中,$NE^{2} = D'E^{2} + D'N^{2}$,即$(4 - a)^{2} = 2^{2} + a^{2}$,解得$a = \frac{3}{2}$,即$DN = \frac{3}{2}$.

11. 如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC = ∠CAB，∠DEC = 90°.
（1）求证：AC//DE；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　

(1)∵四边形ABCD是矩形,∴$AB// CD$,∴$\angle ACD = \angle CAB$.
∵$\angle EDC = \angle CAB$,∴$\angle EDC = \angle ACD$,∴$AC// DE$.
(2)四边形BCEF是平行四边形.理由如下:∵$BF\perp AC$,四边形ABCD是矩形,∴$\angle AFB = \angle DEC = 90^{\circ}$,$DC = AB$.在$\triangle CDE$和$\triangle BAF$中,$\begin{cases}\angle DEC = \angle AFB,\\\angle EDC = \angle FAB,\\CD = BA,\end{cases}$∴$\triangle CDE\cong\triangle BAF(AAS)$,∴$CE = BF$,$DE = AF$.∵$DE = AF$,$DE// AF$,∴四边形ADEF是平行四边形.
∴$AD = EF$.∵$AD = BC$,∴$EF = BC$.又∵$CE = BF$,∴四边形BCEF是平行四边形.

12.（2024·大庆中考改编）如图，在矩形ABCD中，AB = 2，BC = $\frac{6}{5}$，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值为 （ ）
A. 3
B. 1 + $\sqrt{5}$
C. 2 + $\sqrt{2}$
D. 4
　　　　　　　　　　　　　　　

B 解析:如图,过点$N'$作$EF// AB$,交AD、BC于点E、F,过点M作$MG\perp EF$垂足为G,∴$\angle A = \angle MGN' = 90^{\circ}$,由旋转的性质得$\angle MNM' = 90^{\circ}$,$MN = MN'$,∴$\angle AMN = 90^{\circ} - \angle NMG = \angle GMN'$,∴$\triangle AMN\cong\triangle GMN'(AAS)$,
∴$MG = AM = 1$,∴点$N'$在平行于AB且

与AB的距离为1的直线上运动,作点M关于直线EF的对称点$M'$,连接$M'B$交直线EF于点$N'$,此时$\triangle MBN'$周长取得最小值,最小值为$BM + BM'$.∵$BM = \frac{1}{2}AB = 1$,$MM' = 1 + 1 = 2$,∴$BM + BM' = 1 + \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = 1 + \sqrt{5}$.故选B.

13.（2023·广西中考）【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘.
【动手操作】如图①，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B、E的对应点分别为B'、E'，展平纸片，连接AB'、BB'、BE'. 请完成：
（1）观察图①中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系.
（2）证明（1）中的猜想.
【类比操作】如图②，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B、P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B、P分别落在EF、BN上，得到折痕l，点B、P的对应点分别为B'、P'，展平纸片，连接BB'、P'B'. 请完成：
（3）证明BB'是∠NBC的一条三等分线.
　　
　　　　　　　　　　　　　　　

(1)$\angle 1 = \angle 2 = \angle 3$.
(2)由折叠的性质可得$AB' = BB'$,$AB = AB'$,$AE = AE'$,$AE = BE$,$BE = B'E'$,∴$AB' = BB' = AB$,$AE' = B'E'$,∴$\triangle ABB'$是等边三角形.∴$AE' = B'E'$,$\angle ABB' = 60^{\circ}$,∴$\angle 1 = \angle 2 = \frac{1}{2}\angle ABB' = 30^{\circ}$.∵四边形ABCD是矩形,∴$\angle ABC = 90^{\circ}$,∴$\angle 3 = 30^{\circ}$,∴$\angle 1 = \angle 2 = \angle 3$.
(3)连接$PB'$,如图所示.
由折叠的性质可知,$BB' = PB'$,$PB = P'B'$,$\angle PBB' = \angle P'B'$.∵折痕$B'E\perp AB$,$BB' = PB'$,∴$\angle PB'E = \angle BB'E = \frac{1}{2}\angle BB'P$.∵四边形ABCD为矩形,∴$\angle EBC = 90^{\circ}$,∴$CB\perp AB$.
∵$B'E\perp AB$,∴$B'E// BC$,∴$\angle BB'E = \angle CBB' = \frac{1}{2}\angle BB'P$.∵在$\triangle PBB'$和$\triangle P'B'B$中,$\begin{cases}PB = P'B',\\\angle PBB' = \angle P'B'B,\\BB' = B'B,\end{cases}$∴$\triangle PBB'\cong\triangle P'B'B$(SAS),∴$\angle P'BB' = \angle PB'B$,∴$\angle CBB' = \frac{1}{2}\angle NBB'$,∴$\angle CBB' = \frac{1}{3}\angle CBN$,∴$BB'$是$\angle NBC$的一条三等分线.