1.（十堰中考）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 （ ）
A. 对边相等
B. 对角相等
C. 对角线相等
D. 对角线互相平分

C

2.（2024·甘肃中考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ABD = 60°，AB = 2，则AC的长为 （ ）
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
　　

C

3.（2024·青岛期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE：∠BAE = 3：1，则∠EAC为 （ ）
A. 22.5°
B. 30°
C. 45°
D. 35°
　　

C

4.（2023·台州中考改编）如图，矩形ABCD中，AB = 2，AD = 3.在边AD上取一点E，使BE = BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为________.
　

$\sqrt{5}$

5.（2024·无锡期中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE = BD，连接AE，若∠DBC = 40°，则∠E =________°.
　　

20

6. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点F是DC边上的一个动点.
（1）若AO = AD，求证：△ADO是等边三角形；
（2）在（1）的条件下，若∠DCO = 2∠CAF，求∠AFO的度数.
　　　　　　　　　　　　　　

(1)在矩形ABCD中.∵$AC = BD$,$AO = \frac{1}{2}AC$,$DO = \frac{1}{2}BD$,∴$AO = DO$.
又∵$AO = AD$,∴$AO = DO = AD$,∴$\triangle ADO$是等边三角形.
(2)由(1)得,$\triangle ADO$是等边三角形,∴$\angle DAO = 60^{\circ}$,$DO = AD$.在矩形ABCD中.∵$\angle ADC = 90^{\circ}$,$OD = OC$,∴$\angle DCO = \angle ODC = 30^{\circ}$.
∵$\angle DCO = 2\angle CAF$,∴$\angle CAF = 15^{\circ}$,∴$\angle DAF = \angle DAO - \angle CAF = 45^{\circ}$.
∴$\angle AFD = 45^{\circ}$,∴$AD = DO = DF$,∴$\angle DFO = \frac{1}{2}\times(180^{\circ} - 30^{\circ}) = 75^{\circ}$,
∴$\angle AFO = \angle DFO - \angle AFD = 30^{\circ}$.

7.（2023·西藏中考）如图，矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，AD = 3，AB = 4，点E是CD边上一点，过点E作EH⊥BD于点H，EG⊥AC于点G，则EH + EG的值是 （ ）
A. 2.4
B. 2.5
C. 3
D. 4
　　　　

A 解析:连接OE.∵四边形ABCD是矩形,$AD = 3$,$AB = 4$,∴$OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = DO$,$AD = BC = 3$,$CD = AB = 4$,$\angle ABC = 90^{\circ}$,∴$S_{\triangle DOC} = \frac{1}{4}S_{矩形ABCD} = \frac{1}{4}\times3\times4 = 3$,$BD = AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$,即$OC = \frac{5}{2}$.∵$EH\perp BD$,$EG\perp AC$,∴$S_{\triangle DOE} = \frac{1}{2}DO\cdot EH$,$S_{\triangle EOC} = \frac{1}{2}OC\cdot EG$.∵$DO = OC$,$S_{\triangle DOC} = S_{\triangle DOE} + S_{\triangle EOC}$,∴$S_{\triangle DOC} = \frac{1}{2}OC\times(EH + EG)$,∴$\frac{1}{2}\times\frac{5}{2}\times(EH + EG) = 3$,∴$EH + EG = \frac{12}{5} = 2.4$.故选A.

8. 如图，在矩形ABCD中，AB = 1，∠CBD = 14°，将矩形ABCD绕对角线BD的中点O旋转角度α（0°＜α＜90°）得到矩形A'B'C'D'，当C'、D的距离等于1时，α等于 （ ）
A. 28°
B. 42°
C. 48°
D. 56°
　　　　

D 解析:如图,连接$OC'$、$C'D$、$AC$.

∵四边形ABCD是矩形,∴$AC = BD$,$OC = \frac{1}{2}AC$,$OB = OD = \frac{1}{2}BD$,
∴$OB = OC = OD = OC'$,∴$\angle OCB = \angle OBC$,∴$\angle DOC = \angle OBC + \angle OCB = 2\angle CBD = 28^{\circ}$.∵$C'$、D的距离等于1,$AB = 1 = CD$,∴$CD = C'D$,∴$\triangle DOC\cong\triangle DOC'(SSS)$,∴$\angle DOC = \angle DOC'$,∴$\angle C'OC = 2\angle DOC = 56^{\circ}$,∴$\alpha = 56^{\circ}$.故选D.