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1. (2024·泸州中考)已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定□ABCD为矩形的是 ( )
A. ∠A = 90°
B. ∠B = ∠C
C. AC = BD
D. AC⊥BD
A. ∠A = 90°
B. ∠B = ∠C
C. AC = BD
D. AC⊥BD
答案
D
2. (2024·临沂模拟)小颖和小亮参加数学实践活动，检验一个用断桥铝制作的四边形窗户是否为矩形，下面的测量方法正确的是 ( )
A. 度量窗户的两个角是否是90°
B. 测量窗户两组对边是否分别相等
C. 测量窗户两条对角线是否相等
D. 测量窗户两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
A. 度量窗户的两个角是否是90°
B. 测量窗户两组对边是否分别相等
C. 测量窗户两条对角线是否相等
D. 测量窗户两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
答案
D
3. 新趋势 开放性试题 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F在AC上，且AE = CF，连接BE、ED、DF、FB. 若添加一个条件使四边形BEDF是矩形，则该条件可以是__________.(填写一个即可)
答案
$DO = EO$（答案不唯一）
4. 如图，四边形ABCD的两条对角线交于点E，若AD//BC，则图中面积相等的三角形共有__________对.
答案
3
5. 新趋势 过程性学习 (2023·岳阳中考)如图，点M在□ABCD的边AD上，BM = CM，请从以下三个选项①∠1 = ∠2；②AM = DM；③∠3 = ∠4中，选择一个合适的选项作为已知条件，使□ABCD为矩形.
(1)你添加的条件是__________(填序号)；
(2)添加条件后，请证明□ABCD为矩形.
(1)你添加的条件是__________(填序号)；
(2)添加条件后，请证明□ABCD为矩形.
答案
（1）①（或②）
（2）若添加条件①，$\square ABCD$为矩形，证明如下：
在$\square ABCD$中，$AB = CD$，$AB// CD$，在$\triangle ABM$和$\triangle DCM$中，$\begin{cases}AB = DC\\\angle 1=\angle 2\\BM = CM\end{cases}$，
$\therefore\triangle ABM\cong\triangle DCM(SAS)$，$\therefore\angle A=\angle D$. 又$\because AB// CD$，$\therefore\angle A+\angle D = 180^{\circ}$，$\therefore\angle A=\angle D = 90^{\circ}$，$\therefore\square ABCD$为矩形.
若添加条件②，$\square ABCD$为矩形，证明如下：
在$\square ABCD$中，$AB = CD$，$AB// CD$，在$\triangle ABM$和$\triangle DCM$中，$\begin{cases}AB = DC\\AM = DM\\BM = CM\end{cases}$，
$\therefore\triangle ABM\cong\triangle DCM(SSS)$，$\therefore\angle A=\angle D$. 又$\because AB// CD$，$\therefore\angle A+\angle D = 180^{\circ}$，$\therefore\angle A=\angle D = 90^{\circ}$，$\therefore\square ABCD$为矩形.
（2）若添加条件①，$\square ABCD$为矩形，证明如下：
在$\square ABCD$中，$AB = CD$，$AB// CD$，在$\triangle ABM$和$\triangle DCM$中，$\begin{cases}AB = DC\\\angle 1=\angle 2\\BM = CM\end{cases}$，
$\therefore\triangle ABM\cong\triangle DCM(SAS)$，$\therefore\angle A=\angle D$. 又$\because AB// CD$，$\therefore\angle A+\angle D = 180^{\circ}$，$\therefore\angle A=\angle D = 90^{\circ}$，$\therefore\square ABCD$为矩形.
若添加条件②，$\square ABCD$为矩形，证明如下：
在$\square ABCD$中，$AB = CD$，$AB// CD$，在$\triangle ABM$和$\triangle DCM$中，$\begin{cases}AB = DC\\AM = DM\\BM = CM\end{cases}$，
$\therefore\triangle ABM\cong\triangle DCM(SSS)$，$\therefore\angle A=\angle D$. 又$\because AB// CD$，$\therefore\angle A+\angle D = 180^{\circ}$，$\therefore\angle A=\angle D = 90^{\circ}$，$\therefore\square ABCD$为矩形.
6. (2024·唐山模拟)综合实践课上，老师让同学们利用尺规借助直角三角形ABC作矩形，如图是甲、乙、丙三名同学作的矩形，其中正确的是 ( )
A. 甲和丙
B. 乙和丙
C. 甲和乙
D. 都正确
A. 甲和丙
B. 乙和丙
C. 甲和乙
D. 都正确
答案
D 解析：甲：根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形. 乙：根据内错角相等，两直线平行，先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再结合有一个角是直角，说明是矩形. 丙：先利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再结合有一个角是直角，说明是矩形. 故选 D.
7. 如图，l₁//l₂，BE//CF，BA⊥l₁，DC⊥l₂，下面给出四个结论：①BE = CF；②AB = DC；③S△ABE = S△DCF；④四边形ABCD是矩形. 其中说法正确的有 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案
D 解析：$\because l_{1}// l_{2}$，$BE// CF$，$\therefore$四边形$BCFE$是平行四边形，$\therefore BE = CF$，故①正确；$\because l_{1}// l_{2}$，$BA\perp l_{1}$，$DC\perp l_{2}$，$\therefore AB = DC$，故②正确；
$\because BE// CF$，$\therefore\angle AEB=\angle DFC$. 在$\triangle ABE$和$\triangle DCF$中，$\begin{cases}\angle AEB=\angle DFC\\\angle BAE=\angle CDF\\AB = DC\end{cases}$，
$\therefore\triangle ABE\cong\triangle DCF(AAS)$，$\therefore S_{\triangle ABE}=S_{\triangle DCF}$，故③正确；$\because l_{1}// l_{2}$，$BA\perp l_{1}$，$DC\perp l_{2}$，$\therefore$四边形$ABCD$是矩形，故④正确. 故选 D.
$\because BE// CF$，$\therefore\angle AEB=\angle DFC$. 在$\triangle ABE$和$\triangle DCF$中，$\begin{cases}\angle AEB=\angle DFC\\\angle BAE=\angle CDF\\AB = DC\end{cases}$，
$\therefore\triangle ABE\cong\triangle DCF(AAS)$，$\therefore S_{\triangle ABE}=S_{\triangle DCF}$，故③正确；$\because l_{1}// l_{2}$，$BA\perp l_{1}$，$DC\perp l_{2}$，$\therefore$四边形$ABCD$是矩形，故④正确. 故选 D.
