1 在△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交 AB，BC 于点 D，E，连接 AE。
(1)如图 1，若 BC = 8，EC = 3，则 AE 的长为。
(2)如图 1，若 AE 平分∠BAC，AC = 7，DE = 4，则△AEC 的面积为。


(3)如图 2，若∠BAC = 104°，AC 的垂直平分线分别交 AC，BC 于点 F，G，连接 AG，则∠EAG 的度数为。
(4)如图 3，若 AC 的垂直平分线 FG 分别与 BC，AC 交于点 F，G，连接 AF，BC = 20，EF = 7，求△AEF 的周长。

解: (1)5
因为 BC = 8, EC = 3, 所以 BE = BC - EC = 5, 又因为 DE 是 AB 的垂直平分线, 所以 AE = BE = 5。
(2)14
过点 E 作 EH ⊥ AC 于点 H, 因为 AE 平分 ∠BAC, DE ⊥ AB, DE = 4, 所以 EH = DE = 4。因为 AC = 7, 所以 S_{△AEC} = $\frac{1}{2}$AC·EH = $\frac{1}{2}$×7×4 = 14。
(3)28°
因为 DE 是 AB 的垂直平分线, GF 是 AC 的垂直平分线, 所以 AE = BE, AG = CG, 所以 ∠B = ∠BAE, ∠C = ∠CAG。因为 ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°, ∠BAC = 104°, 所以 ∠B + ∠C = 76°, 所以 ∠BAE + ∠CAG = 76°, 又因为 ∠BAC = ∠BAE + ∠EAG + ∠CAG, 所以 ∠EAG = 28°。
(4)因为 DE, FG 分别是 AB, AC 的垂直平分线,
所以 BE = AE, CF = AF,
所以 △AEF 的周长为 AE + AF + EF = BE + CF + EF = BF + EF + EF + CE + EF = BC + 2EF,
因为 BC = 20, EF = 7, 所以 △AEF 的周长为 34。

2 在△ABC 中，AB = AC。
(1)若点 D 为 AB 边的中点，DE⊥AB，交 AC 于点 E，连接 BE，∠BED = 50°，则∠ABC 的度数为。
(2)如图 1，按要求尺规作图。(保留作图痕迹，不写作法)
①作∠A 的平分线，交 BC 于点 H。
②作 AB 边的垂直平分线，垂足为点 D，交 AH 于点 O。
③在①②的条件下，连接 BO，OC，试说明：OA = OC。

(3)如图 2，AB 的垂直平分线交 AB 于点 N，交 BC 的延长线于点 M。
①若∠A = 40°，求∠NMB 的大小；
②如图 3，若∠A = 70°，求∠NMB 的大小；
③根据①②的计算，你能发现其中蕴含的规律吗？请写出你的猜想并说明理由。

解: (1)70°或 20°
当点 E 在线段 AC 上时, 如图 1, 因为点 D 为 AB 边的中点, DE ⊥ AB, 所以 AE = BE, 所以 ∠ABE = ∠BAE, 所以 ∠AED = ∠BED = 50°, 所以 ∠ABE = ∠BAE = 40°, 因为 AB = AC, 所以 ∠ABC = ∠ACB = $\frac{180° - ∠BAE}{2}$ = 70°; 当点 E 在 CA 的延长线上时, 如图 2, 同理可得, ∠ABE = ∠BAE = 40°, 所以 ∠BAC = 180° - ∠BAE = 140°, 因为 AB = AC, 所以 ∠ABC = ∠ACB = $\frac{180° - ∠BAC}{2}$ = 20°。
　 　　
(2)①如图 3, AH 即为 ∠BAC 的平分线。
②如图 3, OD 即所作垂直平分线。
③由作图知, ∠BAH = ∠CAH,
因为 AB = AC, AO = AO,
所以 △BAO ≌ △CAO(SAS),
所以 OB = OC,
又因为 OD 是 AB 边的垂直平分线,
所以 OB = OA, 所以 OA = OC。
　
(3)①因为 AB = AC, ∠A = 40°,
所以 ∠B = $\frac{1}{2}$(180° - ∠A) = 70°。
因为 AB 的垂直平分线交 AB 于点 N, 所以 ∠BNM = 90°,
所以 ∠NMB = 90° - 70° = 20°。
②因为 AB = AC, ∠A = 70°,
所以 ∠B = $\frac{1}{2}$(180° - ∠A) = 55°。
因为 AB 的垂直平分线交 AB 于点 N, 所以 ∠BNM = 90°,
所以 ∠NMB = 90° - 55° = 35°。
③规律: ∠NMB 的大小为 ∠A 大小的一半。
理由如下: 设 ∠A = α,
因为 AB = AC, 所以 ∠B = $\frac{1}{2}$(180° - α) = 90° - $\frac{1}{2}$α。
因为 AB 的垂直平分线交 AB 于点 N, 所以 ∠BNM = 90°,
所以 ∠NMB = 90° - (90° - $\frac{1}{2}$α) = $\frac{1}{2}$α, 即 ∠NMB = $\frac{1}{2}$∠A。