典例4（2024·扬州宝应一模）某商店销售一种进价为40元/件的商品，经市场调查发现，该商品的周销售量y（件）与售价x（元/件）按一定的规律变化，下表是一段时间销售统计得到的周销售量y（件）与售价x（元/件）的部分数据:

（1）求y关于x的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）.
（2）商店店主想要获得的周销售利润最大，应当将售价定为多少？
（3）由于原材料价格上涨，该商品的进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品的售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系. 若获得的周销售最大利润是1 400元，求m的值.

典例4（1）根据题意，设y关于x的函数表达式为$y = kx + b$，则易得$\begin{cases}50k + b = 100,\\60k + b = 80,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -2,\\b = 200.\end{cases}$ $\therefore$ y关于x的函数表达式为$y = -2x + 200$. （2）设获得的周销售利润为w元，则$w=(x - 40)(-2x + 200)=-2x^{2}+280x - 8000=-2(x - 70)^{2}+1800$. $\because$ $-2＜0$，$\therefore$ 当$x = 70$时，w取得最大值，为1800. $\therefore$ 将售价定为70元/件时，获得的周销售利润最大，最大利润是1800元. （3）设原材料价格上涨后所获得的周销售利润为W元. 根据题意，得$W=(x - 40 - m)(-2x + 200)=-2x^{2}+(280 + 2m)x - 8000 - 200m$. $\because$ $-2＜0$，$\therefore$ 二次函数的图像开口向下. $\because$ 二次函数图像的对称轴为直线$x=\frac{-(280 + 2m)}{2\times(-2)}=70+\frac{1}{2}m$，且$m＞0$，$\therefore$ $70+\frac{1}{2}m＞65$. $\therefore$ 结合图像（图略）可知，当$x = 65$时，W取得最大值. $\therefore$ $(65 - 40 - m)(-2\times65 + 200)=1400$，即$70(25 - m)=1400$，解得$m = 5$. $\therefore$ m的值为5.

典例5（2024·扬州广陵二模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观. 在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25 m的花形柱子OA，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图①所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA的水平距离为1 m时达到最大高度，此时离地面2.25 m.
（1）以点O为原点，建立如图②所示的平面直角坐标系，水流到OA的水平距离为x m，水流喷出的高度为y m，求出在第一象限内的抛物线对应的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）张师傅在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76 m的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子OA的距离为d m，求d的取值范围；
（3）为了美观，在离花形柱子4 m处的地面B，C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图③所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，且OP = 4 m，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离.

典例5（1）根据题意，得第一象限内的抛物线的顶点坐标为$(1,2.25)$，点A的坐标为$(0,1.25)$. 设第一象限内的抛物线对应的函数表达式为$y = a(x - 1)^{2}+2.25$. $\because$ 点$A(0,1.25)$在该抛物线上，$\therefore$ $1.25 = a(0 - 1)^{2}+2.25$，解得$a = -1$. $\therefore$ 第一象限内的抛物线对应的函数表达式为$y = -(x - 1)^{2}+2.25$. （2）在$y = -(x - 1)^{2}+2.25$中，令$y = 1.76$，则$-(x - 1)^{2}+2.25 = 1.76$，解得$x_{1}=0.3$，$x_{2}=1.7$. $\because$ 抛物线开口向下，$\therefore$ 当$0.3＜x＜1.7$时，$y＞1.76$. $\therefore$ d的取值范围是$0.3＜d＜1.7$. （3）如图，作直线BP的平行线l，使它与抛物线相切于点D，分别交x轴、y轴于点E，F，过点E作$EG\perp PB$，垂足为G. $\because$ $l// PB$，PB与x轴成$45^{\circ}$角，$\therefore$ 易得$k_{l}=k_{PB}=-1$. $\therefore$ 设直线l对应的函数表达式为$y = -x + m$. 联立$\begin{cases}y = -x + m,\\y = -(x - 1)^{2}+2.25,\end{cases}$消去y、整理，得$x^{2}-3x + m - 1.25 = 0$. $\because$ 直线l与抛物线相切，$\therefore$ 方程有两个相同的实数根. $\therefore$ $b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4\times1\times(m - 1.25)=0$，解得$m = 3.5$. $\therefore$ 直线l对应的函数表达式为$y = -x + 3.5$. 令$y = 0$，得$x = 3.5$. $\therefore$ $E(3.5,0)$. $\therefore$ $OE = 3.5$ m. 由题意易知，$OB = 4$ m，$\therefore$ $BE = OB - OE = 0.5$ m. $\therefore$ 在$Rt\triangle EGB$中，$EG = BE\cdot\sin\angle EBG = 0.5\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$（m）. $\therefore$ 光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为$\frac{\sqrt{2}}{4}$ m.