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1. 某商场降价销售一批名牌衬衫. 已知获利$y$(元)与降价金额$x$(元)之间满足函数表达式$y = - 2x^{2}+60x + 800$，则获利最多为（ ）
A. 15元
B. 400元
C. 800元
D. 1250元
A. 15元
B. 400元
C. 800元
D. 1250元
答案
D
2. （2024·扬州宝应二模）如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，则水管的长应为________m.
答案
$\frac{9}{4}$
3. （2024·常州金坛二模）如图，学校为美化校园环境，打造绿色校园，决定用60米长的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，并用一道篱笆把花园分为A，B两块矩形区域.
（1）设垂直于墙的篱笆长是$x$米，花园面积是$S$平方米，写出$S$关于$x$的函数表达式，并求$S$的最大值.
（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块区域内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株. 若A区域的面积不小于B区域面积的2倍，则至少要购买多少株牡丹？
（1）设垂直于墙的篱笆长是$x$米，花园面积是$S$平方米，写出$S$关于$x$的函数表达式，并求$S$的最大值.
（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块区域内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株. 若A区域的面积不小于B区域面积的2倍，则至少要购买多少株牡丹？
答案
(1) $\because$ 垂直于墙的篱笆长是 $x$ 米，$\therefore$ 平行于墙的篱笆长为 $(60 - 3x)$ 米. $\therefore S = x(60 - 3x)=-3x^{2}+60x=-3(x - 10)^{2}+300$. $\because \begin{cases}x＞0, \\ 60 - 3x＞0, \end{cases}$ $\therefore 0＜x＜20$. $\because -3＜0$，$\therefore$ 当 $x = 10$ 时，$S$ 取得最大值，为 300. $\therefore S$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $S=-3x^{2}+60x$，$S$ 的最大值为 300.
(2) 由 (1) 知，垂直于墙的篱笆长是 10 米. 设 A 区域平行于墙的篱笆长为 $y$ m，则 B 区域平行于墙的篱笆长为 $60 - 10\times3 - y=(30 - y)$ m. 由题意，得 $10y\geqslant2\times10(30 - y)$，解得 $y\geqslant20$. $\therefore y$ 的最小值是 20. $\therefore$ A 区域的面积最小为 $10\times20 = 200$ (平方米). $\therefore 200\times2 = 400$ (株)，即至少要购买 400 株牡丹.
(2) 由 (1) 知，垂直于墙的篱笆长是 10 米. 设 A 区域平行于墙的篱笆长为 $y$ m，则 B 区域平行于墙的篱笆长为 $60 - 10\times3 - y=(30 - y)$ m. 由题意，得 $10y\geqslant2\times10(30 - y)$，解得 $y\geqslant20$. $\therefore y$ 的最小值是 20. $\therefore$ A 区域的面积最小为 $10\times20 = 200$ (平方米). $\therefore 200\times2 = 400$ (株)，即至少要购买 400 株牡丹.
4. （2024·无锡宜兴一模）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆. 已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元.
（1）1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？
（2）调研发现：盆景每增加1盆，平均每盆的利润就要减少3元；盆景每减少1盆，平均每盆的利润就要增加3元. 花卉每增加1盆，平均每盆的利润就要减少1元；花卉每减少1盆，平均每盆的利润就要增加1元. 小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加$x$盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为$W_{1}$(元)，$W_{2}$(元).
① 求$W_{1}$，$W_{2}$关于$x$的函数表达式.
② 当$x$取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润$W$(元)最大？最大总利润是多少元？
（1）1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？
（2）调研发现：盆景每增加1盆，平均每盆的利润就要减少3元；盆景每减少1盆，平均每盆的利润就要增加3元. 花卉每增加1盆，平均每盆的利润就要减少1元；花卉每减少1盆，平均每盆的利润就要增加1元. 小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加$x$盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为$W_{1}$(元)，$W_{2}$(元).
① 求$W_{1}$，$W_{2}$关于$x$的函数表达式.
② 当$x$取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润$W$(元)最大？最大总利润是多少元？
答案
(1) 设 1 盆盆景的利润为 $a$ 元，1 盆花卉的利润为 $b$ 元. 根据题意，得 $\begin{cases}2a + b = 300, \\ a + 3b = 200, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = 140, \\ b = 20. \end{cases}$ $\therefore$ 1 盆盆景的利润为 140 元，1 盆花卉的利润为 20 元.
(2) 由题意可知，第二期培植盆景 $(50 + x)$ 盆，则培植花卉 $[100-(50 + x)]=(50 - x)$ 盆.
① $W_{1}=(140 - 3x)(50 + x)=-3x^{2}-10x + 7000$，$W_{2}=(20 + x)(50 - x)=-x^{2}+30x + 1000$.
② $W = W_{1}+W_{2}=-3x^{2}-10x + 7000+(-x^{2}+30x + 1000)=-4x^{2}+20x + 8000=-4(x-\frac{5}{2})^{2}+8025$. $\because -4＜0$，$\therefore$ 当 $x = 2$ 或 $x = 3$ 时，$W$ 取得最大值，为 8024. $\therefore$ 当 $x$ 取 2 或 3 时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润最大，最大总利润是 8024 元.
(2) 由题意可知，第二期培植盆景 $(50 + x)$ 盆，则培植花卉 $[100-(50 + x)]=(50 - x)$ 盆.
① $W_{1}=(140 - 3x)(50 + x)=-3x^{2}-10x + 7000$，$W_{2}=(20 + x)(50 - x)=-x^{2}+30x + 1000$.
② $W = W_{1}+W_{2}=-3x^{2}-10x + 7000+(-x^{2}+30x + 1000)=-4x^{2}+20x + 8000=-4(x-\frac{5}{2})^{2}+8025$. $\because -4＜0$，$\therefore$ 当 $x = 2$ 或 $x = 3$ 时，$W$ 取得最大值，为 8024. $\therefore$ 当 $x$ 取 2 或 3 时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润最大，最大总利润是 8024 元.
