典例1（2023·苏州）如图，二次函数$y = x^{2} - 6x + 8$的图像与$x$轴分别交于点$A$，$B$（点$A$在点$B$的左侧），直线$l$是对称轴. 点$P$在函数图像上，其横坐标大于$4$，连接$PA$，$PB$，过点$P$作$PM\perp l$，垂足为$M$，以点$M$为圆心，作半径为$r$的圆，$PT$与$\odot M$相切，切点为$T$.
（1）求点$A$，$B$的坐标；
（2）若以$\odot M$的切线长$PT$为边长的正方形的面积与$\triangle PAB$的面积相等，且$\odot M$不经过点$(3,2)$，求$PM$长的取值范围.
　　　　　　　　　　　　

典例1(1)在$y = x^{2}-6x + 8$中，令$y = 0$，得$x^{2}-6x + 8 = 0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=4$.$\therefore$点$A$的坐标为$(2,0)$，点$B$的坐标为$(4,0)$.
(2)$\because y = x^{2}-6x + 8=(x - 3)^{2}-1$，$\therefore$二次函数图像的对称轴为直线$x = 3$.设点$P$的坐标为$(m,m^{2}-6m + 8)$，$m＞4$.
$\because PM\perp l$，$\therefore$点$M$的坐标为$(3,m^{2}-6m + 8)$.$\therefore PM = m - 3$，$PM＞1$.连接$MT$.$\because PT$与$\odot M$相切，$\therefore MT\perp PT$.$\therefore PT^{2}=PM^{2}-MT^{2}=(m - 3)^{2}-r^{2}$，即以切线长$PT$为边长的正方形的面积为$(m - 3)^{2}-r^{2}$.过点$P$作$PH\perp x$轴，垂足为$H$，则$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}AB\cdot PH=m^{2}-6m + 8$.$\therefore (m - 3)^{2}-r^{2}=m^{2}-6m + 8$，解得$r=\pm1$.$\because r＞0$，$\therefore r = 1$.假设$\odot M$经过点$N(3,2)$，则有两种情况：①如图①，当点$M$在点$N$的上方时，$\therefore$点$M$的坐标为$(3,3)$.$\therefore m^{2}-6m + 8 = 3$，解得$m = 5$或$m = 1$.$\because m＞4$，$\therefore m = 5$.$\therefore PM = 5 - 3 = 2$.②如图②，当点$M$在点$N$的下方时，$\therefore$点$M$的坐标为$(3,1)$.$\therefore m^{2}-6m + 8 = 1$，解得$m = 3\pm\sqrt{2}$.$\because m＞4$，$\therefore m = 3+\sqrt{2}$.$\therefore PM = 3+\sqrt{2}-3=\sqrt{2}$.综上所述，当$\odot M$不经过点$(3,2)$时，$PM$长的取值范围是$1＜PM＜\sqrt{2}$或$\sqrt{2}＜PM＜2$或$PM＞2$.

典例2（2023·常州）如图，二次函数$y = \frac{1}{2}x^{2} + bx - 4$的图像与$x$轴相交于点$A(-2,0)$，$B$，其顶点是$C$.
（1）$b = $_______.
（2）$D$是第三象限抛物线上的一点，连接$OD$，$\tan\angle AOD = \frac{5}{2}$. 将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点$D$，过点$(k,0)$作$x$轴的垂线$l$. 已知在$l$的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求$k$的取值范围.
（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点$Q$，且其顶点$P$落在原抛物线上，连接$PC$，$QC$，$PQ$. 已知$\triangle PCQ$是直角三角形，求点$P$的坐标.
　　　　　　　　　　　　

典例2(1)$\because$点$A(-2,0)$在二次函数$y=\frac{1}{2}x^{2}+bx - 4$的图像上，$\therefore\frac{1}{2}\times(-2)^{2}-2b - 4 = 0$，解得$b = - 1$.
(2)由(1)知，二次函数的表达式为$y=\frac{1}{2}x^{2}-x - 4$.$\because\tan\angle AOD=\frac{5}{2}$，$\therefore$设点$D$的坐标为$(2t,5t)$.$\therefore\frac{1}{2}\times(2t)^{2}-2t - 4 = 5t$，解得$t_{1}=-\frac{1}{2}$，$t_{2}=4$（不合题意，舍去）.$\therefore$点$D$的坐标为$(-1,-\frac{5}{2})$.
$\because y=\frac{1}{2}x^{2}-x - 4=\frac{1}{2}(x - 1)^{2}-\frac{9}{2}$，$\therefore$平移后的抛物线对应的函数表达式可设为$y=\frac{1}{2}(x + m)^{2}-\frac{9}{2}$.$\because$平移后的抛物线经过点$D(-1,-\frac{5}{2})$，$\therefore-\frac{5}{2}=\frac{1}{2}\times(-1 + m)^{2}-\frac{9}{2}$，解得$m_{1}=3$，$m_{2}=-1$（不合题意，舍去）.$\therefore$平移后的抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x + 3)^{2}-\frac{9}{2}$.$\because\frac{1}{2}＞0$，且在$l$的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，两条抛物线的对称轴分别为直线$x = 1$、直线$x = - 3$，$\therefore$结合图形（图略）可知，$k$的取值范围是$k\leqslant-3$.
(3)如图，过点$P$作$PV\perp CQ$于点$V$.设点$P$的坐标为$(t,\frac{1}{2}t^{2}-t - 4)$，$\therefore$平移后的抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x - t)^{2}+(\frac{1}{2}t^{2}-t - 4)$.当$x = 1$时，$y=t^{2}-2t-\frac{7}{2}$，$\therefore$点$Q$的坐标为$(1,t^{2}-2t-\frac{7}{2})$.易知$\angle CPQ = 90^{\circ}$.$\because QV=(t^{2}-2t-\frac{7}{2})-(\frac{1}{2}t^{2}-t - 4)=\frac{1}{2}t^{2}-t+\frac{1}{2}$，$CV=(\frac{1}{2}t^{2}-t - 4)-(-\frac{9}{2})=\frac{1}{2}t^{2}-t+\frac{1}{2}$，$\therefore QV = CV$.$\therefore PV = CV = QV$.$\therefore|t - 1|=\frac{1}{2}t^{2}-t+\frac{1}{2}$.$\therefore t_{1}=3$，$t_{2}=-1$，$t_{3}=t_{4}=1$（不合题意，舍去）.当$t = 3$时，$y=\frac{1}{2}\times3^{2}-3 - 4=-\frac{5}{2}$.当$t=-1$时，$y=\frac{1}{2}\times(-1)^{2}-(-1)-4=-\frac{5}{2}$.综上所述，点$P$的坐标为$(3,-\frac{5}{2})$或$(-1,-\frac{5}{2})$.