典例2（2024·扬州高邮一模）某市计划利用现有的一段“L”字形的古城墙（用粗线ABC表示）和总长为280 m的仿古城墙围建一个“日”字形的展览馆DBEF（细线表示仿古城墙，展览馆中间GH也是用仿古城墙隔开）. 已知AB⊥BC，AB = 60 m，BC = 20 m.
（1）如图①，若点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上，所围成的展览馆DBEF的面积为4 800 m²，求DF的长.
（2）如图②，若点D在线段BA的延长线上，点E在BC的延长线上，则当DF的长为多少时，展览馆DBEF的面积最大？最大面积为多少平方米？

典例2（1）设$DF = x$ m，则$DF = GH = BE = x$ m. $\because$ $BC = 20$ m，$\therefore$ $CE = BE - BC=(x - 20)$ m. $\because$ 点D在线段AB上，$\therefore$ $EF = BD = 280 - 2x-(x - 20)=(300 - 3x)$ m. $\because$ $AB = 60$ m，$\therefore$ $EF\leq60$ m，即$300 - 3x\leq60$，解得$x\geq80$. 由矩形的面积公式，得$x(300 - 3x)=4800$. 整理，得$x^{2}-100x + 1600 = 0$. 解得$x_{1}=80$，$x_{2}=20$（不合题意，舍去）. $\therefore$ DF的长为80 m. （2）设展览馆DBEF的面积为$S$ $m^{2}$，$DF = x$ m，则$DF = GH = BE = x$ m. $\because$ $BC = 20$ m，$\therefore$ $CE = BE - BC=(x - 20)$ m. $\because$ 点D在线段BA的延长线上，$\therefore$ $EF = BD=\frac{1}{2}[60 + 280 - 2x-(x - 20)]=(180-\frac{3}{2}x)$ m. 易知$180-\frac{3}{2}x＞60$，解得$x＜80$. $\because$ 点E在BC的延长线上，$\therefore$ $x＞20$. $\therefore$ $20＜x＜80$. 由矩形的面积公式，得$S=(180-\frac{3}{2}x)x=-\frac{3}{2}x^{2}+180x=-\frac{3}{2}(x - 60)^{2}+5400$. $\because$ $-\frac{3}{2}＜0$，$\therefore$ 当$x = 60$时，S取得最大值，最大值为5400. $\therefore$ 当DF的长为60 m时，展览馆DBEF的面积最大，最大面积为5400 $m^{2}$.

典例3（2023·无锡）某景区旅游商店以20元/千克的价格采购一款旅游食品，加工后出售，销售价格不低于22元/千克，不高于45元/千克. 经市场调查发现每天的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的函数关系如图所示.
（1）直接写出y与x之间的函数表达式.
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的利润最大？最大利润为多少？

典例3（1）当$22\leq x\leq30$时，设y与x之间的函数表达式为$y = kx + b$. 将$(22,48)$，$(30,40)$代入，得$\begin{cases}22k + b = 48,\\30k + b = 40,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -1,\\b = 70.\end{cases}$ $\therefore$ y与x之间的函数表达式为$y = -x + 70$. 当$30＜x\leq45$时，设y与x之间的函数表达式为$y = mx + n$. 将$(30,40)$，$(45,10)$代入，得$\begin{cases}30m + n = 40,\\45m + n = 10,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = -2,\\n = 100.\end{cases}$ $\therefore$ y与x之间的函数表达式为$y = -2x + 100$. 综上所述，y与x之间的函数表达式为$y=\begin{cases}-x + 70(22\leq x\leq30),\\-2x + 100(30＜x\leq45).\end{cases}$ （2）设每天获得的利润为w元. 当$22\leq x\leq30$时，$w=(x - 20)(-x + 70)=-x^{2}+90x - 1400=-(x - 45)^{2}+625$. $\because$ $-1＜0$，$22\leq x\leq30$，$\therefore$ 当$x = 30$时，w取得最大值，为$-(30 - 45)^{2}+625 = 400$. 当$30＜x\leq45$时，$w=(x - 20)(-2x + 100)=-2x^{2}+140x - 2000=-2(x - 35)^{2}+450$. $\because$ $-2＜0$，$30＜x\leq45$，$\therefore$ 当$x = 35$时，w取得最大值，为450. $\because$ $450＞400$，$\therefore$ 当销售价格定为35元/千克时，该商店销售这款食品每天获得的利润最大，最大利润为450元.