1. 某救援队接到紧急通知，要尽快赶到灾区实施救援，要求全部队员到岗。队长收到消息后，需要尽快通知每一名队员。如果用打电话的方式通知，每分钟打一个电话，每人接到电话后立即通知其他不知道这一消息的队员。
(1) 画图并填空。( 表示队长， 表示队员，序号表示第几分钟)

4 分钟后最多通知()人。(含队长)
(2) 填表。
我发现：到第 $ n $ 分钟，所有接到通知的总人数是 $ n $ 个()相乘的积，那么此时最多通知到的总人数(不含队长)就是()。

(1)
$2×2×2×2=16$（人）
答：4分钟后最多通知16人。（含队长）
(2)
填表：
| 第$n$分钟 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 到第$n$分钟，新接到通知的队员总人数 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | … |
| 到第$n$分钟，所有接到通知的总人数(含队长) | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | … |
我发现：到第$n$分钟，所有接到通知的总人数是$n$个(2)相乘的积，那么此时最多通知到的总人数(不含队长)就是($2^n -1$)。

【分析】
(1) 我们可以从第1分钟开始逐步分析通知人数的规律：第1分钟，队长通知1名队员，此时含队长一共2人；第2分钟，队长和已通知的1名队员各自通知1名新队员，新增2人，总人数变为4人（即$2×2$）；第3分钟，已通知的4人各自通知1名新队员，新增4人，总人数变为8人（即$2×2×2$）。以此类推，每过1分钟，所有接到通知的总人数（含队长）都是前一分钟的2倍，因为每个人接到通知后都会立即通知1名未接到消息的队员。因此第4分钟时，总人数就是4个2相乘的积。
(2) 先根据前面的规律完成填表：第1分钟新通知1人，含队长总人数2人；第2分钟新通知2人，含队长总人数4人；第3分钟新通知4人，含队长总人数8人；第4分钟新通知8人，含队长总人数16人；第5分钟新通知16人，含队长总人数32人。接着归纳规律：到第$n$分钟，总人数是$n$个2相乘的积，不含队长的话，需要减去队长1人，即总人数为$2^n -1$。
【解析】
(1) 由于每分钟接到通知的人会立即通知新的队员，每过1分钟，总人数（含队长）是前一分钟的2倍。
4分钟后含队长的总人数计算：
$2×2×2×2=16$（人）
答：4分钟后最多通知16人（含队长）。
(2) 填表如下：
| 第$n$分钟 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 到第$n$分钟，新接到通知的队员总人数 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | … |
| 到第$n$分钟，所有接到通知的总人数(含队长) | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | … |
通过观察表格规律可得：到第 $ n $ 分钟，所有接到通知的总人数是 $ n $ 个(2)相乘的积，那么此时最多通知到的总人数(不含队长)就是($2^n -1$)。
【答案】
(1) $\boldsymbol{16}$
(2) 填表内容如上；$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{2^n -1}$
【知识点】
打电话通知的规律、乘方运算的应用
【点评】
本题以“打电话通知队员”的实际场景为载体，考查倍增规律的应用。解题核心是从简单情况入手，逐步分析通知人数的变化，归纳出总人数随时间变化的规律，能够有效培养学生的逻辑推理与归纳总结能力。
【难度系数】
0.6

2. 由于天气原因，原计划于周六举行的运动会推迟了。张老师需要尽快通知每一名学生。张老师用打电话的方式，每分钟通知一名学生，每名学生接到电话后，继续通知其他学生。张老师已经打了 6 分钟电话，这时最多通知了多少名学生？

2×2×2×2×2×2 - 1 = 63（名）
答：这时最多通知了63名学生。

【分析】
这是一道经典的最优通知问题，解题关键在于理解“每名学生接到电话后继续通知其他学生”带来的倍增规律：
1. 第1分钟：仅张老师通知，能通知1名学生，累计通知1名学生；
2. 第2分钟：张老师和已通知的1名学生同时通知，可新增通知2名学生，累计通知1+2=3名学生；
3. 第3分钟：已知情的3人（张老师+2名学生）同时通知，可新增通知4名学生，累计通知3+4=7名学生；
以此类推，每过一分钟，知情总人数（含张老师）会翻倍，n分钟后知情总人数为$2^n$。由于我们需要计算的是学生人数，因此要减去张老师自己，即通知的学生总数为$2^n - 1$，代入n=6即可求解。
【解析】
根据倍增规律，n分钟后最多通知的学生数公式为：$2^n - 1$
当n=6时：
$\begin{aligned}2^6 - 1&=64 - 1\\&=63（名）\end{aligned}$
答：这时最多通知了63名学生。
【答案】
63名
【知识点】
倍增问题、指数运算应用
【点评】
本题考查了倍增规律的理解与指数运算的实际应用，需要学生跳出“每分钟仅1人通知”的思维误区，理清知情人数的变化逻辑，是逻辑推理与数学运算结合的典型题目，能锻炼学生的归纳总结能力。
【难度系数】
0.4

3. 孙悟空西天取经路上遇到了妖精，假设他每次拔一根毫毛就能变出一个孙悟空，且变出的孙悟空也有这样的本领，每次变化需要 2 秒。若孙悟空每次变化只拔一根毫毛，则要变出 31 个孙悟空，最短需要多少秒？

2秒后：$1×2=2$（个），变出1个
4秒后：$2×2=4$（个），累计变出3个
6秒后：$4×2=8$（个），累计变出7个
8秒后：$8×2=16$（个），累计变出15个
10秒后：$16×2=32$（个），累计变出$32-1=31$（个）
$5×2=10$（秒）
答：最短需要10秒。

【分析】
首先要明确变化规律：每个孙悟空每次拔一根毫毛就能变出一个自己，即每经过2秒，所有孙悟空的总数会变为原来的2倍。题目要求变出31个孙悟空，这里的“变出的数量”是指除原本1个孙悟空外新增的数量，因此总孙悟空数量应为$1+31=32$个。接下来我们可以逐步计算每经过2秒后的总数量，直到总数量达到32个，再计算对应的时间即可。
【解析】
2秒后：总孙悟空数量为$1×2=2$（个），变出的数量为$2-1=1$（个）
4秒后：总孙悟空数量为$2×2=4$（个），变出的数量为$4-1=3$（个）
6秒后：总孙悟空数量为$4×2=8$（个），变出的数量为$8-1=7$（个）
8秒后：总孙悟空数量为$8×2=16$（个），变出的数量为$16-1=15$（个）
10秒后：总孙悟空数量为$16×2=32$（个），变出的数量为$32-1=31$（个）
总时间：$5×2=10$（秒）
答：最短需要10秒。
【答案】
10秒
【知识点】
翻倍规律应用、乘方实际应用
【点评】
本题考查翻倍增长规律的实际应用，关键在于区分“总孙悟空数量”和“变出的孙悟空数量”，容易因忽略原本的1个孙悟空而出错，需仔细梳理数量关系。
【难度系数】
0.3

4. 有一张很大的薄纸，它的厚度只有 $ 0.1 $ mm，将它对折、对折、再对折……对折 11 次后，你知道折叠后的纸一共有多高吗？

0.1×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2
= 0.1×2048
= 204.8（毫米）
答：折叠后的纸一共有204.8毫米高。

【分析】
首先要明确对折纸张的厚度变化规律：每对折一次，纸张的厚度就变为原来的2倍。对折1次，厚度是0.1×2；对折2次，厚度是0.1×2×2；以此类推，对折11次，厚度就是原来的厚度乘以2的11次方。我们需要先计算出2的11次方的值，再与初始厚度0.1mm相乘，就能得到最终的高度。
【解析】
对折11次后，纸张厚度为初始厚度乘以2的11次方：
$\begin{aligned}&0.1×\underbrace{2×2×···×2}_{11个2}\\=&0.1×2^{11}\\=&0.1×2048\\=&204.8\ (\mathrm{毫米})\end{aligned}$
答：折叠后的纸一共有204.8毫米高。
【答案】
204.8毫米
【知识点】
乘方的实际应用、有理数乘法运算
【点评】
本题结合实际生活场景，考查了乘方的意义及有理数乘法运算，需要学生准确把握对折次数与厚度的倍数关系，将实际问题转化为数学运算，锻炼了学生的逻辑推理能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7