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10[一题多解 [2025 新乡期末] 如图，在△ABC 中，AB = 10，AC = 8，点 D 是 BC 边的中点，连接 AD，若△ACD 的周长为 20，则△ABD 的周长为 (
A.16
B.18
C.20
D.22
D
)A.16
B.18
C.20
D.22
答案
10 D 因为点D是BC边的中点，所以BD=CD。因为△ACD的周长为20，所以AC+AD+CD=20，又因为AC=8，所以AD+CD=AD+BD=12，又因为AB=10，所以△ABD的周长为AB+AD+BD=22。
另解 因为点D是BC边的中点，所以BD=CD，所以△ABD的周长 - △ACD的周长=AB - AC=2，又因为△ACD的周长为20，所以△ABD的周长为22。
归纳总结
三角形中线的作用
一是平分一条边；二是将三角形分成面积相等的两个三角形（等底同高）。
另解 因为点D是BC边的中点，所以BD=CD，所以△ABD的周长 - △ACD的周长=AB - AC=2，又因为△ACD的周长为20，所以△ABD的周长为22。
归纳总结
三角形中线的作用
一是平分一条边；二是将三角形分成面积相等的两个三角形（等底同高）。
11[2025 孝感月考] 如图，已知 AM 是△ABC 的中线，点 P 是 AC 边上一动点，若△ABC 的面积为 10，AC = 4，则 MP 的最小值为 (
A.5
B.4
C.2.5
D.1.25
C
)A.5
B.4
C.2.5
D.1.25
答案
11 C 因为AM是△ABC的中线，所以$S_{△ACM}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=5$，又因为AC=4，所以点M到AC的距离为2.5。因为垂线段最短，所以MP的最小值为2.5。
12[2024 凉山州中考] 如图，△ABC 中，∠BCD = 30°，∠ACB = 80°，CD 是边 AB 上的高，AE 是∠CAB 的平分线，则∠AEB 的度数是
100°
。答案
12 100° 因为CD是边AB上的高，所以∠CDB=∠CDA=90°。因为∠BCD=30°，∠ACB=80°，所以∠ACD=∠ACB - ∠BCD=50°，∠CBD=90° - ∠BCD=60°，所以∠CAB=90° - ∠ACD=40°。因为AE是∠CAB的平分线，所以$∠EAB=\frac{1}{2}∠CAB=20°$，所以∠AEB=180° - ∠EAB - ∠EBA=100°。
13[2024 开封五中月考] 如图，点 G 为△ABC 的重心，D，E，F 分别为 BC，CA，AB 的中点，具有性质：AG:GD = BG:GE = CG:GF = 2:1。已知△AFG 的面积为 3，则△ABC 的面积为
18
。答案
13 18 因为CG:GF=2:1，$S_{△AFG}=3$，所以$S_{△ACG}=6$，所以$S_{△ACF}=3+6=9$。因为点F为AB的中点，所以$S_{△ABC}=2S_{△ACF}=18$。
14[2025 长春期末] 如图，在△ABC 中，∠BAC = 90°，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交 AD 于点 G，交 BE 于点 H，给出以下结论：①$S_{△ABE}$ = $S_{△BCE}$；②∠AFG = ∠AGF；③∠FAG = 2∠ACF。其中正确的是
①②③
。(填写所有正确结论的序号)答案
14 ①②③ 因为BE是△ABC的中线，所以$S_{△ABE}=S_{△BCE}$，①正确。因为CF是角平分线，所以∠ACF=∠BCF。因为AD⊥BC，所以∠BCF+∠CGD=90°。因为∠BAC=90°，所以∠ACF+∠AFG=90°，所以∠CGD=∠AFG。因为∠CGD=∠AGF，所以∠AGF=∠AFG，②正确。因为AD⊥BC，∠BAC=90°，所以∠ACB+∠DAC=90°，∠FAG+∠DAC=90°，所以∠FAG=∠ACB，所以∠FAG=2∠ACF，③正确。
15推理能力 在△ABC 中，∠ACB ＞ ∠ABC，AD 平分∠BAC。
(1)如图 1，过点 B 作 BE⊥AD 交 AD 的延长线于点 E，则∠ABE 与 $\frac{1}{2}$(∠ACB + ∠ABC)有何大小关系？请说明理由。
(2)如图 2，过点 C 作 CF⊥AD 于点 F，则∠DCF 与∠ACB，∠ABC 有怎样的数量关系？写出你的结论(不用说明理由)。
(3)如图 3，过点 A 作 AM⊥BC 于点 M，则∠DAM 与∠ACB，∠ABC 有怎样的数量关系？写出你的结论(不用说明理由)。
]
(1)如图 1，过点 B 作 BE⊥AD 交 AD 的延长线于点 E，则∠ABE 与 $\frac{1}{2}$(∠ACB + ∠ABC)有何大小关系？请说明理由。
(2)如图 2，过点 C 作 CF⊥AD 于点 F，则∠DCF 与∠ACB，∠ABC 有怎样的数量关系？写出你的结论(不用说明理由)。
(3)如图 3，过点 A 作 AM⊥BC 于点 M，则∠DAM 与∠ACB，∠ABC 有怎样的数量关系？写出你的结论(不用说明理由)。
]
答案
15 解：（1）$∠ABE=\frac{1}{2}(∠ACB+∠ABC)$。理由如下：
在△ABE中，BE⊥AD，所以∠E=90°。
因为AD平分∠BAC，所以$∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC$，
所以$∠ABE=180° - ∠E - ∠BAD=90° - \frac{1}{2}∠BAC$。
在△ABC中，∠BAC=180° - ∠ACB - ∠ABC，
所以$∠ABE=90° - \frac{1}{2}(180° - ∠ACB - ∠ABC)=\frac{1}{2}(∠ACB+∠ABC)$。
（2）$∠DCF=\frac{1}{2}(∠ACB - ∠ABC)$。
（3）$∠DAM=\frac{1}{2}(∠ACB - ∠ABC)$。
在△ABE中，BE⊥AD，所以∠E=90°。
因为AD平分∠BAC，所以$∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC$，
所以$∠ABE=180° - ∠E - ∠BAD=90° - \frac{1}{2}∠BAC$。
在△ABC中，∠BAC=180° - ∠ACB - ∠ABC，
所以$∠ABE=90° - \frac{1}{2}(180° - ∠ACB - ∠ABC)=\frac{1}{2}(∠ACB+∠ABC)$。
（2）$∠DCF=\frac{1}{2}(∠ACB - ∠ABC)$。
（3）$∠DAM=\frac{1}{2}(∠ACB - ∠ABC)$。
