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1 由整体求部分 [2024 桂林期末] 如图，在△ABC 中，AD，CE 都是△ABC 的中线，连接 ED，△ABC 的面积是 10 cm²，则△BDE 的面积是
2.5
cm²。答案
1 2.5 因为 AD 是△ABC 的中线，△ABC 的面积是 10 cm²，所以 S_{△ABD} = $\frac{1}{2}$S_{△ABC} = 5 cm²，又因为 E 是 AB 的中点，所以 S_{△BDE} = $\frac{1}{2}$S_{△ABD} = 2.5 cm²。
2 由部分求整体 [2025 秦皇岛期末] 如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AF，BD，CE 的中点，若△DEF 的面积是 2 cm²，则△ABC 的面积是
14
cm²。答案
2 14 如图，连接 AE，BF，CD，因为点 D，E，F 分别是 AF，BD，CE 的中点，所以 AD = DF，BE = ED，CF = FE，所以$ S_{△ADE} = S_{△ABE}$，$S_{△FBE} = S_{△FDE}$，$S_{△ADE} = S_{△FDE}$，$S_{△FBE} = S_{△FBC}$，$S_{△ADC} = S_{△FDC}$，$S_{△FDC} = S_{△FDE}$，可得△ABC 被分为 7 个面积相同的三角形，所以$ S_{△ABC} = 7S_{△DEF} = 14 cm²$。
3 利用和差关系 [2024 宿迁模拟] 如图，在△ABC 中，已知 D，E，F 分别为 BC，AD，CE 的中点，且$ S_{△ABC}=8 cm²$，则图中阴影部分的面积等于
2
cm²。答案
3 2 因为 E 是 AD 的中点，所以 S_{△ABE} = $\frac{1}{2}$S_{△ABD}，S_{△ACE} = $\frac{1}{2}$S_{△ADC}，所以 S_{△ABE} + S_{△ACE} = $\frac{1}{2}$S_{△ABC} = $\frac{1}{2}$ × 8 = 4(cm²)，所以 S_{△BCE} = 8 - 4 = 4(cm²)。因为 F 是 CE 的中点，所以 S_{△BEF} = $\frac{1}{2}$S_{△BCE} = $\frac{1}{2}$ × 4 = 2(cm²)，故题图中阴影部分的面积为 2 cm²。
4 利用倍分关系 [2025 泰安期末] 如图，G 为△ABC 三边中线 AD，BE，CF 的交点，$S_{△ABC}=12 cm²$，则阴影部分的面积为
4
cm²。答案
4 因为 G 为△ABC 三边中线 AD，BE，CF 的交点，所以 S_{△ABD} = S_{△ADC}，S_{△BGD} = S_{△CDG}，S_{△AFG} = S_{△BFG}，S_{△AGE} = S_{△CGE}，所以 S_{△AGB} = S_{△AGC}，所以 S_{△AFG} = S_{△AGE}，所以 S_{△CGE} = S_{△AGE} = $\frac{1}{3}$S_{△ACF}。同理 S_{△BGF} = S_{△BGD} = $\frac{1}{3}$S_{△BCF}。因为 S_{△ACF} = S_{△BCF} = $\frac{1}{2}$S_{△ABC} = $\frac{1}{2}$ × 12 = 6(cm²)，所以 S_{△CGE} = $\frac{1}{3}$S_{△ACF} = $\frac{1}{3}$ × 6 = 2(cm²)，S_{△BGF} = $\frac{1}{3}$S_{△BCF} = $\frac{1}{3}$ × 6 = 2(cm²)，所以 S_{阴影} = S_{△CGE} + S_{△BGF} = 4 cm²。
1 交点在三角形顶点处 [2025 上海嘉定区月考] 如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AE 平分∠BAC 交 BC 于点 E。若∠1 = 30°，∠2 = 20°，则∠B 的度数为
50°
。答案
1 50° 因为 AE 平分 ∠BAC，∠1 = 30°，所以 ∠CAE = ∠1 = 30°，又因为 ∠2 = 20°，所以 ∠DAE = ∠CAE - ∠2 = 10°，所以 ∠BAD = ∠1 + ∠DAE = 40°。因为 AD ⊥ BC，所以 ∠ADB = 90°，所以 ∠B = 180° - ∠BAD - ∠ADB = 50°。
2 交点在角平分线的反向延长线上 [2025 湛江期中改编] 如图，AD 平分∠BAC，点 F 在 DA 的延长线上，FE⊥BC 于点 E，∠B = α，∠C = β（α ＜ β），请用含 α，β 的代数式表示∠DFE。
答案
2 解：因为 ∠B = α，∠C = β，
所以 ∠BAC = 180° - α - β。
因为 AD 平分 ∠BAC，
所以 ∠BAD = ∠CAD = 90° - $\frac{1}{2}$(α + β)，
所以 ∠ADE = 180° - ∠ADB = ∠B + ∠BAD = α + 90° - $\frac{1}{2}$(α + β) = 90° + $\frac{1}{2}$(α - β)。
因为 FE ⊥ BC，所以 ∠FEB = 90°，
所以 ∠DFE = 90° - ∠ADE = $\frac{1}{2}$(β - α)。
所以 ∠BAC = 180° - α - β。
因为 AD 平分 ∠BAC，
所以 ∠BAD = ∠CAD = 90° - $\frac{1}{2}$(α + β)，
所以 ∠ADE = 180° - ∠ADB = ∠B + ∠BAD = α + 90° - $\frac{1}{2}$(α + β) = 90° + $\frac{1}{2}$(α - β)。
因为 FE ⊥ BC，所以 ∠FEB = 90°，
所以 ∠DFE = 90° - ∠ADE = $\frac{1}{2}$(β - α)。
3 交点在角平分线或其延长线上 [2025 黔东南州月考] 已知在△ABC 中，AE 平分∠BAC，F 为 AE（或 AE 延长线）上一点，且 FD⊥BC 于点 D。（∠C ＞ ∠B）
（1）如图 1，若∠B = 40°，∠C = 60°，点 F 在 AE 上，求∠EFD 的度数；
（2）如图 2，当点 F 在 AE 的延长线上时，请猜想∠EFD 与∠B，∠C 之间的数量关系，并说明理由。
（1）如图 1，若∠B = 40°，∠C = 60°，点 F 在 AE 上，求∠EFD 的度数；
（2）如图 2，当点 F 在 AE 的延长线上时，请猜想∠EFD 与∠B，∠C 之间的数量关系，并说明理由。
答案
3 解：(1)因为 ∠B = 40°，∠C = 60°，
所以 ∠BAC = 80°。
因为 AE 平分 ∠BAC，所以 ∠BAE = ∠CAE = 40°，
所以 ∠FEC = 180° - ∠C - ∠CAE = 80°。
因为 FD ⊥ EC，所以 ∠EFD = 90° - ∠FEC = 10°。
(2)∠EFD = $\frac{1}{2}$(∠C - ∠B)。理由如下：
因为 AE 平分 ∠BAC，
所以 ∠EAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$(180° - ∠B - ∠C) = 90° - $\frac{1}{2}$(∠B + ∠C)，
所以 ∠FED = ∠AEC = 180° - ∠EAC - ∠C = 180° - 90° + $\frac{1}{2}$(∠B + ∠C) - ∠C = 90° + $\frac{1}{2}$(∠B - ∠C)。
因为 FD ⊥ BC，
所以 ∠EFD = 90° - ∠FED = $\frac{1}{2}$(∠C - ∠B)。
所以 ∠BAC = 80°。
因为 AE 平分 ∠BAC，所以 ∠BAE = ∠CAE = 40°，
所以 ∠FEC = 180° - ∠C - ∠CAE = 80°。
因为 FD ⊥ EC，所以 ∠EFD = 90° - ∠FEC = 10°。
(2)∠EFD = $\frac{1}{2}$(∠C - ∠B)。理由如下：
因为 AE 平分 ∠BAC，
所以 ∠EAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$(180° - ∠B - ∠C) = 90° - $\frac{1}{2}$(∠B + ∠C)，
所以 ∠FED = ∠AEC = 180° - ∠EAC - ∠C = 180° - 90° + $\frac{1}{2}$(∠B + ∠C) - ∠C = 90° + $\frac{1}{2}$(∠B - ∠C)。
因为 FD ⊥ BC，
所以 ∠EFD = 90° - ∠FED = $\frac{1}{2}$(∠C - ∠B)。
