1[2025 江门月考]如图，$∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 =\_\_\_\_\_\_^{\circ}$。

1. 280 因为∠1+∠2+40°=180°,∠3+∠4+40°=180°,所以∠1+∠2=140°,∠3+∠4=140°,所以∠1+∠2+∠3+∠4=140°+140°=280°。

2如图，在$△ABC$中，$AD$是$∠BAC$的平分线，$∠B = 35^{\circ}$，$∠C = 65^{\circ}$，求$∠ADB$的度数。

2. 解:因为AD是∠BAC的平分线,所以∠BAD=∠DAC= $\frac{1}{2}$∠BAC。因为∠B+∠C+∠BAC=180°,∠B=35°,∠C=65°,所以∠BAC=80°,所以∠BAD=40°,所以∠ADB=180°-∠BAD-∠B=105°。

3[一题多解 [2025 烟台期末]将一副直角三角尺按如图所示的方式放置，若$AD$平分$∠CAB$，则$∠1$的度数为()

A.$15^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

3. D 通解 如图,因为AD平分∠CAB,∠CAB=90°,所以∠CAD=45°,又因为∠C=45°,所以∠COA=90°,所以∠COD=90°,所以∠1=∠BPD=180°-∠COD-∠D=180°-90°-30°=60°。
　　　　　　　　　　
优解 如图,因为AD平分∠CAB,∠CAB=90°,所以∠BAD=45°,易得∠BAD+∠B=∠BPD+∠D,所以∠BPD=∠BAD+∠B-∠D=45°+45°-30°=60°,所以∠1=∠BPD=60°。

4我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”。例如，在图 1 中，$△AOB$的内角$∠AOB$与$△COD$的内角$∠COD$互为对顶角，则$△AOB$与$△COD$为“对顶三角形”。根据三角形三个内角的和等于$180^{\circ}$知“对顶三角形”有如下性质：$∠A + ∠B = ∠C + ∠D$。
(1)【性质理解】如图 2，在“对顶三角形”$△AOB$与$△COD$中，$∠EAO = ∠C$，$∠D = 2∠B$。试说明：$∠EAB = ∠B$。
(2)【性质应用】如图 3，在$△ABC$中，点$D$，$E$分别是边$AB$，$AC$上的点，$∠BOD = ∠A$，若$∠ECD$比$∠DBE$大$20^{\circ}$，求$∠BDO$的度数。

4. 解:(1)由“对顶三角形”,得∠OAB+∠B=∠C+∠D,所以∠OAB-∠C=∠D-∠B。因为∠EAO=∠C,∠D=2∠B,所以∠OAB-∠EAO=∠B,即∠EAB=∠B。
(2)由题意,知∠ECD-∠DBE=20°,∠DBE+∠BDO=∠ECD+∠OEC,所以∠BDO-∠OEC=∠ECD-∠DBE=20°。因为∠BOD=∠A,∠BOD+∠DOE=180°,所以∠A+∠DOE=180°,易得∠ADO+∠AEO=180°,又因为∠OEC+∠AEO=180°,所以∠ADO=∠OEC。因为∠AEO+∠OEC=∠BDO+∠ADO=180°,所以∠AEO=∠BDO,所以∠BDO+∠OEC=180°,又因为∠BDO-∠OEC=20°,所以∠BDO=100°。