4. (2022·常州中考)已知二次函数$y= ax^{2}+bx+3$的自变量$x$的部分取值和对应函数值$y$如下表:
| $x$ | …$$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | …$$ |
| $y$ | …$$ | $4$ | $3$ | $0$ | $-5$ | $-12$ | …$$ |
(1)求二次函数$y= ax^{2}+bx+3$的表达式.
(2)将二次函数$y= ax^{2}+bx+3$的图像向右平移$k(k＞0)$个单位,得到二次函数$y= mx^{2}+nx+q$的图像,使得当$-1＜x＜3$时,$y$随$x$增大而增大;当$4＜x＜5$时,$y$随$x$增大而减小.请写出一个符合条件的二次函数$y= mx^{2}+nx+q$的表达式:____,实数$k$的取值范围是____.
(3)$A$、$B$、$C$是二次函数$y= ax^{2}+bx+3$的图像上互不重合的三点.已知点$A$、$B$的横坐标分别是$m$、$m+1$,点$C$与点$A$关于该函数图像的对称轴对称,求$\angle ACB$的度数.
| $x$ | …$$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | …$$ |
| $y$ | …$$ | $4$ | $3$ | $0$ | $-5$ | $-12$ | …$$ |
(1)求二次函数$y= ax^{2}+bx+3$的表达式.
(2)将二次函数$y= ax^{2}+bx+3$的图像向右平移$k(k＞0)$个单位,得到二次函数$y= mx^{2}+nx+q$的图像,使得当$-1＜x＜3$时,$y$随$x$增大而增大;当$4＜x＜5$时,$y$随$x$增大而减小.请写出一个符合条件的二次函数$y= mx^{2}+nx+q$的表达式:____,实数$k$的取值范围是____.
(3)$A$、$B$、$C$是二次函数$y= ax^{2}+bx+3$的图像上互不重合的三点.已知点$A$、$B$的横坐标分别是$m$、$m+1$,点$C$与点$A$关于该函数图像的对称轴对称,求$\angle ACB$的度数.
答案
5. (2023·南通中考)定义:平面直角坐标系$xOy$中,点$P(a,b)$,点$Q(c,d)$,若$c= ka$,$d= -kb$,其中$k$为常数,且$k≠0$,则称点$Q$是点$P$的“$k$级变换点”.例如,点$(-4,6)$是点$(2,3)$的“$-2$级变换点”.
(1)函数$y= -\frac{4}{x}$的图像上是否存在点$(1,2)$的“$k$级变换点”? 若存在,求出$k$的值;若不存在,说明理由.
(2)动点$A(t,\frac{1}{2}t-2)$与其“$k$级变换点”$B$分别在直线$l_{1}$、$l_{2}$上,在$l_{1}$、$l_{2}$上分别取点$(m^{2},y_{1})$、$(m^{2},y_{2})$.若$k≤-2$,求证:$y_{1}-y_{2}≥2$.
(3)关于$x$的二次函数$y= nx^{2}-4nx-5n(x≥0)$的图像上恰有两个点,这两个点的“$1$级变换点”都在直线$y= -x+5$上,求$n$的取值范围.
(1)函数$y= -\frac{4}{x}$的图像上是否存在点$(1,2)$的“$k$级变换点”? 若存在,求出$k$的值;若不存在,说明理由.
(2)动点$A(t,\frac{1}{2}t-2)$与其“$k$级变换点”$B$分别在直线$l_{1}$、$l_{2}$上,在$l_{1}$、$l_{2}$上分别取点$(m^{2},y_{1})$、$(m^{2},y_{2})$.若$k≤-2$,求证:$y_{1}-y_{2}≥2$.
(3)关于$x$的二次函数$y= nx^{2}-4nx-5n(x≥0)$的图像上恰有两个点,这两个点的“$1$级变换点”都在直线$y= -x+5$上,求$n$的取值范围.
答案
