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1. 用棱长为 $1\mathrm{cm}$ 的小正方体拼成下图所示的大正方体，把它们的表面涂上颜色。在①②③三个大正方体中，没有涂色、一面涂色、两面涂色、三面涂色的小正方体各有多少个？数一数，填一填。
我发现：如果大正方体每条棱上有 $n(n≥3)$ 个小正方体，那么：
(1) 位于顶点处的小正方体是()面涂色的，一共有()个。
(2) 除顶点处的小正方体外，位于各条棱上的小正方体是()面涂色的，一共有()个。
(3) 位于各面的中间处的小正方体是()面涂色的，一共有()个。
(4) 没有涂色的小正方体位于大正方体的内部，一共有()个。
我发现：如果大正方体每条棱上有 $n(n≥3)$ 个小正方体，那么：
(1) 位于顶点处的小正方体是()面涂色的，一共有()个。
(2) 除顶点处的小正方体外，位于各条棱上的小正方体是()面涂色的，一共有()个。
(3) 位于各面的中间处的小正方体是()面涂色的，一共有()个。
(4) 没有涂色的小正方体位于大正方体的内部，一共有()个。
答案
|序号|没有涂色的个数|一面涂色的个数|两面涂色的个数|三面涂色的个数|
|----|----|----|----|----|
|①|0|0|0|8|
|②|1|6|12|8|
|③|8|24|24|8|
(1) 三，8
(2) 两，$\boldsymbol{12(n-2)}$
(3) 一，$\boldsymbol{6(n-2)^2}$
(4) $\boldsymbol{(n-2)^3}$
|----|----|----|----|----|
|①|0|0|0|8|
|②|1|6|12|8|
|③|8|24|24|8|
(1) 三，8
(2) 两，$\boldsymbol{12(n-2)}$
(3) 一，$\boldsymbol{6(n-2)^2}$
(4) $\boldsymbol{(n-2)^3}$
解析
【分析】
首先，我们需要结合正方体的顶点、棱、面的特征来分析不同涂色情况的小正方体位置：
1. 先观察三个具体的大正方体：①是每条棱有2个小正方体的正方体，②是每条棱有3个小正方体的正方体，③是每条棱有4个小正方体的正方体。
2. 三面涂色的小正方体：正方体的顶点处的小正方体，会被三个面涂色，而正方体固定有8个顶点，所以这类小正方体数量固定。
3. 两面涂色的小正方体：位于棱上但不是顶点的位置，每条棱去掉两端的顶点，剩下的就是两面涂色的，结合棱的数量可推导数量。
4. 一面涂色的小正方体：位于每个面的中间区域，不接触棱和顶点，每个面的中间部分是一个边长为(n-2)的正方形，结合面的数量推导。
5. 没有涂色的小正方体：在大正方体的内部，是一个边长为(n-2)的正方体，通过体积公式计算数量。
然后先数出三个具体正方体的各类涂色小正方体数量，再归纳出一般规律。
【解析】
一、分析三个大正方体的涂色情况
1. ①号大正方体（每条棱有2个小正方体）
没有涂色：大正方体内部无剩余小正方体，个数为$0$；
一面涂色：每个面由$2×2$个小正方体组成，无中间单独区域，个数为$0$；
两面涂色：每条棱的小正方体均为顶点，无中间部分，个数为$0$；
三面涂色：正方体有8个顶点，每个顶点的小正方体三面涂色，个数为$8$。
2. ②号大正方体（每条棱有3个小正方体）
没有涂色：内部是边长为$3-2=1$的正方体，个数为$(3-2)^3=1×1×1=1$；
一面涂色：每个面中间是边长为$3-2=1$的正方形，6个面总数为$6×(3-2)^2=6×1=6$；
两面涂色：每条棱中间有$3-2=1$个小正方体，12条棱总数为$12×(3-2)=12×1=12$；
三面涂色：8个顶点的小正方体，个数为$8$。
3. ③号大正方体（每条棱有4个小正方体）
没有涂色：内部是边长为$4-2=2$的正方体，个数为$(4-2)^3=2×2×2=8$；
一面涂色：每个面中间是边长为$4-2=2$的正方形，6个面总数为$6×(4-2)^2=6×4=24$；
两面涂色：每条棱中间有$4-2=2$个小正方体，12条棱总数为$12×(4-2)=12×2=24$；
三面涂色：8个顶点的小正方体，个数为$8$。
二、推导一般规律（每条棱上有$n(n≥3)$个小正方体）
(1) 顶点处的小正方体被三个面涂色，正方体有8个顶点，所以一共有$8$个；
(2) 棱上除顶点外的小正方体被两个面涂色，每条棱有$(n-2)$个，12条棱总数为$12(n-2)$个；
(3) 各面中间的小正方体被一个面涂色，每个面有$(n-2)^2$个，6个面总数为$6(n-2)^2$个；
(4) 内部没有涂色的小正方体是边长为$(n-2)$的正方体，个数为$(n-2)^3$个。
【答案】
|序号|没有涂色的个数|一面涂色的个数|两面涂色的个数|三面涂色的个数|
|----|----|----|----|----|
|①|0|0|0|8|
|②|1|6|12|8|
|③|8|24|24|8|
(1) 三，8
(2) 两，$\boldsymbol{12(n-2)}$
(3) 一，$\boldsymbol{6(n-2)^2}$
(4) $\boldsymbol{(n-2)^3}$
【知识点】
正方体的特征；立体图形涂色问题；用字母表示数
【点评】
本题通过观察不同棱长的正方体涂色小正方体的分布，从具体实例归纳出一般规律，需要结合正方体顶点、棱、面的特征分析，既考查了空间想象能力，也培养了归纳总结的数学思维，帮助学生理解立体图形的内部结构。
【难度系数】
0.6
首先，我们需要结合正方体的顶点、棱、面的特征来分析不同涂色情况的小正方体位置：
1. 先观察三个具体的大正方体：①是每条棱有2个小正方体的正方体，②是每条棱有3个小正方体的正方体，③是每条棱有4个小正方体的正方体。
2. 三面涂色的小正方体：正方体的顶点处的小正方体，会被三个面涂色，而正方体固定有8个顶点，所以这类小正方体数量固定。
3. 两面涂色的小正方体：位于棱上但不是顶点的位置，每条棱去掉两端的顶点，剩下的就是两面涂色的，结合棱的数量可推导数量。
4. 一面涂色的小正方体：位于每个面的中间区域，不接触棱和顶点，每个面的中间部分是一个边长为(n-2)的正方形，结合面的数量推导。
5. 没有涂色的小正方体：在大正方体的内部，是一个边长为(n-2)的正方体，通过体积公式计算数量。
然后先数出三个具体正方体的各类涂色小正方体数量，再归纳出一般规律。
【解析】
一、分析三个大正方体的涂色情况
1. ①号大正方体（每条棱有2个小正方体）
没有涂色：大正方体内部无剩余小正方体，个数为$0$；
一面涂色：每个面由$2×2$个小正方体组成，无中间单独区域，个数为$0$；
两面涂色：每条棱的小正方体均为顶点，无中间部分，个数为$0$；
三面涂色：正方体有8个顶点，每个顶点的小正方体三面涂色，个数为$8$。
2. ②号大正方体（每条棱有3个小正方体）
没有涂色：内部是边长为$3-2=1$的正方体，个数为$(3-2)^3=1×1×1=1$；
一面涂色：每个面中间是边长为$3-2=1$的正方形，6个面总数为$6×(3-2)^2=6×1=6$；
两面涂色：每条棱中间有$3-2=1$个小正方体，12条棱总数为$12×(3-2)=12×1=12$；
三面涂色：8个顶点的小正方体，个数为$8$。
3. ③号大正方体（每条棱有4个小正方体）
没有涂色：内部是边长为$4-2=2$的正方体，个数为$(4-2)^3=2×2×2=8$；
一面涂色：每个面中间是边长为$4-2=2$的正方形，6个面总数为$6×(4-2)^2=6×4=24$；
两面涂色：每条棱中间有$4-2=2$个小正方体，12条棱总数为$12×(4-2)=12×2=24$；
三面涂色：8个顶点的小正方体，个数为$8$。
二、推导一般规律（每条棱上有$n(n≥3)$个小正方体）
(1) 顶点处的小正方体被三个面涂色，正方体有8个顶点，所以一共有$8$个；
(2) 棱上除顶点外的小正方体被两个面涂色，每条棱有$(n-2)$个，12条棱总数为$12(n-2)$个；
(3) 各面中间的小正方体被一个面涂色，每个面有$(n-2)^2$个，6个面总数为$6(n-2)^2$个；
(4) 内部没有涂色的小正方体是边长为$(n-2)$的正方体，个数为$(n-2)^3$个。
【答案】
|序号|没有涂色的个数|一面涂色的个数|两面涂色的个数|三面涂色的个数|
|----|----|----|----|----|
|①|0|0|0|8|
|②|1|6|12|8|
|③|8|24|24|8|
(1) 三，8
(2) 两，$\boldsymbol{12(n-2)}$
(3) 一，$\boldsymbol{6(n-2)^2}$
(4) $\boldsymbol{(n-2)^3}$
【知识点】
正方体的特征；立体图形涂色问题；用字母表示数
【点评】
本题通过观察不同棱长的正方体涂色小正方体的分布，从具体实例归纳出一般规律，需要结合正方体顶点、棱、面的特征分析，既考查了空间想象能力，也培养了归纳总结的数学思维，帮助学生理解立体图形的内部结构。
【难度系数】
0.6
2. 将一个表面涂色的正方体分割成若干个体积为 $1\mathrm{cm}^3$ 的小正方体，其中两面涂色的有 $36$ 块，则原来正方体的体积是多少立方厘米？
答案
36÷12=3（块）
3+2=5（cm）
5×5×5=125（cm³）
答：原来正方体的体积是125立方厘米。
3+2=5（cm）
5×5×5=125（cm³）
答：原来正方体的体积是125立方厘米。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确表面涂色正方体分割后不同涂色小正方体的位置特征：两面涂色的小正方体位于正方体的每条棱上，且不包含棱两端的顶点（顶点处是三面涂色的小正方体）。正方体共有12条棱，已知两面涂色的小正方体有36块，我们可以先算出每条棱上两面涂色的小正方体数量，再加上每条棱两端的2个顶点对应的小正方体，得到原正方体的棱长，最后根据正方体体积公式计算体积。
【解析】
1. 计算每条棱上两面涂色的小正方体数量：
正方体有12条棱，两面涂色的小正方体共36块，因此每条棱上两面涂色的小正方体数量为：$36÷12=3$（块）
2. 计算原正方体的棱长：
每条棱上除中间3块两面涂色的小正方体，还有两端各1块三面涂色的小正方体，所以原正方体的棱长对应的小正方体个数为$3+2=5$（个），每个小正方体棱长为$1\mathrm{cm}$，则原正方体棱长为$5×1=5$（$\mathrm{cm}$）
3. 计算原正方体的体积：
根据正方体体积公式$V=a^3$（$a$为棱长），可得体积为：$5×5×5=125$（$\mathrm{cm}^3$）
答：原来正方体的体积是125立方厘米。
【答案】
125立方厘米
【知识点】
表面涂色正方体分割规律、正方体体积计算
【点评】
本题考查对表面涂色正方体结构特征的理解，需要准确把握不同涂色情况小正方体的位置分布，通过棱的数量与两面涂色块数的关系推导棱长，进而求解体积，锻炼学生的空间想象能力和逻辑运算能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需明确表面涂色正方体分割后不同涂色小正方体的位置特征：两面涂色的小正方体位于正方体的每条棱上，且不包含棱两端的顶点（顶点处是三面涂色的小正方体）。正方体共有12条棱，已知两面涂色的小正方体有36块，我们可以先算出每条棱上两面涂色的小正方体数量，再加上每条棱两端的2个顶点对应的小正方体，得到原正方体的棱长，最后根据正方体体积公式计算体积。
【解析】
1. 计算每条棱上两面涂色的小正方体数量：
正方体有12条棱，两面涂色的小正方体共36块，因此每条棱上两面涂色的小正方体数量为：$36÷12=3$（块）
2. 计算原正方体的棱长：
每条棱上除中间3块两面涂色的小正方体，还有两端各1块三面涂色的小正方体，所以原正方体的棱长对应的小正方体个数为$3+2=5$（个），每个小正方体棱长为$1\mathrm{cm}$，则原正方体棱长为$5×1=5$（$\mathrm{cm}$）
3. 计算原正方体的体积：
根据正方体体积公式$V=a^3$（$a$为棱长），可得体积为：$5×5×5=125$（$\mathrm{cm}^3$）
答：原来正方体的体积是125立方厘米。
【答案】
125立方厘米
【知识点】
表面涂色正方体分割规律、正方体体积计算
【点评】
本题考查对表面涂色正方体结构特征的理解，需要准确把握不同涂色情况小正方体的位置分布，通过棱的数量与两面涂色块数的关系推导棱长，进而求解体积，锻炼学生的空间想象能力和逻辑运算能力。
【难度系数】
0.6
3. 一个长方体木块，长 $6\mathrm{dm}$，宽 $5\mathrm{dm}$，高 $3\mathrm{dm}$，先在它的 $6$ 个面上都涂上紫色，然后把它锯成棱长都是 $1\mathrm{dm}$ 的小正方体木块。在锯成的小正方体木块中，三面涂色的有多少个？两面涂色、一面涂色的各有多少个？六面都没有涂色的有多少个？
答案
三面涂色的个数：8个
两面涂色的个数：
$(6-2)×4 + (5-2)×4 + (3-2)×4$
$=4×4 + 3×4 + 1×4$
$=16 + 12 + 4$
$=32$（个）
一面涂色的个数：
$(6-2)×(3-2)×2 + (5-2)×(3-2)×2 + (6-2)×(5-2)×2$
$=4×1×2 + 3×1×2 + 4×3×2$
$=8 + 6 + 24$
$=38$（个）
六面都没有涂色的个数：
$6×5×3 - 8 - 32 - 38$
$=90 - 78$
$=12$（个）
答：三面涂色的有8个，两面涂色的有32个，一面涂色的有38个，六面都没有涂色的有12个。
两面涂色的个数：
$(6-2)×4 + (5-2)×4 + (3-2)×4$
$=4×4 + 3×4 + 1×4$
$=16 + 12 + 4$
$=32$（个）
一面涂色的个数：
$(6-2)×(3-2)×2 + (5-2)×(3-2)×2 + (6-2)×(5-2)×2$
$=4×1×2 + 3×1×2 + 4×3×2$
$=8 + 6 + 24$
$=38$（个）
六面都没有涂色的个数：
$6×5×3 - 8 - 32 - 38$
$=90 - 78$
$=12$（个）
答：三面涂色的有8个，两面涂色的有32个，一面涂色的有38个，六面都没有涂色的有12个。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要根据小正方体在长方体中的位置分类思考：
1. 三面涂色的小正方体：只有长方体顶点位置的小正方体才会三面涂色，长方体有8个顶点，这类数量直接对应顶点数。
2. 两面涂色的小正方体：位于长方体棱上且不包含顶点（顶点已算三面涂色），每条棱上的数量为对应棱长减2，长方体长、宽、高各有4条棱，分别计算后相加即可。
3. 一面涂色的小正方体：在长方体每个面的中间区域（去掉周边一圈），每个面的数量为（对应边长-2）的乘积，长方体相对的面完全相同，计算三组相对面的数量后相加。
4. 六面无涂色的小正方体：可以用总小正方体个数减去前三种涂色的数量之和，也可通过计算内部未涂色长方体的体积（内部长、宽、高为原长方体对应边长减2）得到数量。
【解析】
1. 三面涂色的小正方体个数：
长方体有8个顶点，每个顶点处的小正方体三面涂色，因此个数为8个。
2. 两面涂色的小正方体个数：
每条棱上除去顶点的小正方体数量：长棱$6-2=4$个，宽棱$5-2=3$个，高棱$3-2=1$个，长方体长、宽、高各有4条棱，总个数为：
$\begin{aligned}&(6-2)×4 + (5-2)×4 + (3-2)×4\\=&4×4 + 3×4 + 1×4\\=&16 + 12 + 4\\=&32（个）\end{aligned}$
3. 一面涂色的小正方体个数：
计算每组相对面中间区域的小正方体数量并求和：
$\begin{aligned}&(6-2)×(3-2)×2 + (5-2)×(3-2)×2 + (6-2)×(5-2)×2\\=&4×1×2 + 3×1×2 + 4×3×2\\=&8 + 6 + 24\\=&38（个）\end{aligned}$
4. 六面都没有涂色的小正方体个数：
总小正方体个数为$6×5×3=90$个，未涂色个数为：
$\begin{aligned}&90 - 8 - 32 - 38\\=&90 - 78\\=&12（个）\end{aligned}$
答：三面涂色的有8个，两面涂色的有32个，一面涂色的有38个，六面都没有涂色的有12个。
【答案】
三面涂色的有8个，两面涂色的有32个，一面涂色的有38个，六面都没有涂色的有12个。
【知识点】
1. 长方体的特征
2. 涂色正方体分类计数
3. 长方体体积计算
【点评】
本题是对长方体特征和空间思维能力的综合考查，核心是根据小正方体在长方体中的位置分类计算，明确不同位置小正方体的涂色规律，避免重复或遗漏计数，掌握这类问题的分类思路后可轻松解决同类题型。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需要根据小正方体在长方体中的位置分类思考：
1. 三面涂色的小正方体：只有长方体顶点位置的小正方体才会三面涂色，长方体有8个顶点，这类数量直接对应顶点数。
2. 两面涂色的小正方体：位于长方体棱上且不包含顶点（顶点已算三面涂色），每条棱上的数量为对应棱长减2，长方体长、宽、高各有4条棱，分别计算后相加即可。
3. 一面涂色的小正方体：在长方体每个面的中间区域（去掉周边一圈），每个面的数量为（对应边长-2）的乘积，长方体相对的面完全相同，计算三组相对面的数量后相加。
4. 六面无涂色的小正方体：可以用总小正方体个数减去前三种涂色的数量之和，也可通过计算内部未涂色长方体的体积（内部长、宽、高为原长方体对应边长减2）得到数量。
【解析】
1. 三面涂色的小正方体个数：
长方体有8个顶点，每个顶点处的小正方体三面涂色，因此个数为8个。
2. 两面涂色的小正方体个数：
每条棱上除去顶点的小正方体数量：长棱$6-2=4$个，宽棱$5-2=3$个，高棱$3-2=1$个，长方体长、宽、高各有4条棱，总个数为：
$\begin{aligned}&(6-2)×4 + (5-2)×4 + (3-2)×4\\=&4×4 + 3×4 + 1×4\\=&16 + 12 + 4\\=&32（个）\end{aligned}$
3. 一面涂色的小正方体个数：
计算每组相对面中间区域的小正方体数量并求和：
$\begin{aligned}&(6-2)×(3-2)×2 + (5-2)×(3-2)×2 + (6-2)×(5-2)×2\\=&4×1×2 + 3×1×2 + 4×3×2\\=&8 + 6 + 24\\=&38（个）\end{aligned}$
4. 六面都没有涂色的小正方体个数：
总小正方体个数为$6×5×3=90$个，未涂色个数为：
$\begin{aligned}&90 - 8 - 32 - 38\\=&90 - 78\\=&12（个）\end{aligned}$
答：三面涂色的有8个，两面涂色的有32个，一面涂色的有38个，六面都没有涂色的有12个。
【答案】
三面涂色的有8个，两面涂色的有32个，一面涂色的有38个，六面都没有涂色的有12个。
【知识点】
1. 长方体的特征
2. 涂色正方体分类计数
3. 长方体体积计算
【点评】
本题是对长方体特征和空间思维能力的综合考查，核心是根据小正方体在长方体中的位置分类计算，明确不同位置小正方体的涂色规律，避免重复或遗漏计数，掌握这类问题的分类思路后可轻松解决同类题型。
【难度系数】
0.6
