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1. 当沿着正方体的某些棱将正方体剪开，可以得到它的展开图形，下图所示为一个正方体的不同展开图，请在图中填上适当的文字使②③④中相对面上的文字与①中一致。
答案
图②：
杨
爱
梅
我 居 仙
图③：
杨
我 爱 仙 居
梅
图④：
我 杨
爱 仙
居 梅
答：按上述填写后，②③④中相对面上的文字与①中一致。
杨
爱
梅
我 居 仙
图③：
杨
我 爱 仙 居
梅
图④：
我 杨
爱 仙
居 梅
答：按上述填写后，②③④中相对面上的文字与①中一致。
解析
【分析】
首先明确图①中正方体相对面的文字：“杨”与“梅”相对，“我”与“仙”相对，“爱”与“居”相对。接下来根据正方体展开图的相对面规律，即相对的面不相邻，且在展开图中通常间隔一个面或呈特定位置关系，分别对②③④的展开图进行分析，找到每个位置对应的相对面，填入对应文字：
1. 图②是竖排三个面加下方横排三个面的结构，竖排三个面依次为“杨”“爱”“梅”，保证杨和梅相对，爱在中间，下方三个面从左到右为“我”“居”“仙”，保证我和仙相对，爱和居相对；
2. 图③是“一四一”型展开图，上方的面是“杨”，下方的面是“梅”，二者相对，中间四个面从左到右为“我”“爱”“仙”“居”，保证我和仙相对，爱和居相对；
3. 图④是“三三”型展开图，第一行从左到右为“我”“杨”，第二行从左到右为“爱”“仙”，第三行从左到右为“居”“梅”，保证“我”与“仙”相对，“杨”与“梅”相对，“爱”与“居”相对。
【解析】
根据图①确定相对面：$\boldsymbol{杨↔梅}$，$\boldsymbol{我↔仙}$，$\boldsymbol{爱↔居}$，对应填入各展开图：
图②：
第一行（最上方）：杨
第二行：爱
第三行：梅
第四行（最下方）：我 居 仙
图③：
第一行（最上方）：$\quad\quad$杨
第二行：我 爱 仙 居
第三行（最下方）：$\quad\quad$梅
图④：
第一行：我 杨
第二行：$\quad$爱 仙
第三行：$\quad\quad$居 梅
【答案】
图②：
杨
爱
梅
我 居 仙
图③：
杨
我 爱 仙 居
梅
图④：
我 杨
爱 仙
居 梅
填写后②③④中相对面上的文字与①中一致
【知识点】
正方体展开图相对面判断
【点评】
本题考查正方体展开图的相对面识别，需要熟练掌握不同类型正方体展开图中相对面的位置规律，解题关键是先确定已知正方体的相对面，再对应到展开图中找到对应位置填字。
【难度系数】
0.6
首先明确图①中正方体相对面的文字：“杨”与“梅”相对，“我”与“仙”相对，“爱”与“居”相对。接下来根据正方体展开图的相对面规律，即相对的面不相邻，且在展开图中通常间隔一个面或呈特定位置关系，分别对②③④的展开图进行分析，找到每个位置对应的相对面，填入对应文字：
1. 图②是竖排三个面加下方横排三个面的结构，竖排三个面依次为“杨”“爱”“梅”，保证杨和梅相对，爱在中间，下方三个面从左到右为“我”“居”“仙”，保证我和仙相对，爱和居相对；
2. 图③是“一四一”型展开图，上方的面是“杨”，下方的面是“梅”，二者相对，中间四个面从左到右为“我”“爱”“仙”“居”，保证我和仙相对，爱和居相对；
3. 图④是“三三”型展开图，第一行从左到右为“我”“杨”，第二行从左到右为“爱”“仙”，第三行从左到右为“居”“梅”，保证“我”与“仙”相对，“杨”与“梅”相对，“爱”与“居”相对。
【解析】
根据图①确定相对面：$\boldsymbol{杨↔梅}$，$\boldsymbol{我↔仙}$，$\boldsymbol{爱↔居}$，对应填入各展开图：
图②：
第一行（最上方）：杨
第二行：爱
第三行：梅
第四行（最下方）：我 居 仙
图③：
第一行（最上方）：$\quad\quad$杨
第二行：我 爱 仙 居
第三行（最下方）：$\quad\quad$梅
图④：
第一行：我 杨
第二行：$\quad$爱 仙
第三行：$\quad\quad$居 梅
【答案】
图②：
杨
爱
梅
我 居 仙
图③：
杨
我 爱 仙 居
梅
图④：
我 杨
爱 仙
居 梅
填写后②③④中相对面上的文字与①中一致
【知识点】
正方体展开图相对面判断
【点评】
本题考查正方体展开图的相对面识别，需要熟练掌握不同类型正方体展开图中相对面的位置规律，解题关键是先确定已知正方体的相对面，再对应到展开图中找到对应位置填字。
【难度系数】
0.6
2. 某快递员正在打包一箱仙居杨梅（如右图），4 m 长的胶带够用吗？（打包接口处的胶带忽略不计）
答案
4m = 400cm
$60×2 + 30×4 + 25×6$
$= 120 + 120 + 150$
$= 390(\mathrm{cm})$
$390\mathrm{cm} ＜ 400\mathrm{cm}$
答：4 m 长的胶带够用。
$60×2 + 30×4 + 25×6$
$= 120 + 120 + 150$
$= 390(\mathrm{cm})$
$390\mathrm{cm} ＜ 400\mathrm{cm}$
答：4 m 长的胶带够用。
解析
【分析】
要判断4m长的胶带是否够用，需先计算出打包箱子实际需要的胶带长度，再与换算为相同单位后的4m比较大小。首先观察图形，确定胶带在长方体各棱上的使用数量：长60cm的棱用了2条，长30cm的棱用了4条，长25cm的棱用了6条；接着分别计算对应长度棱的胶带总长度，求和得到所需胶带的总长度；最后将4m换算为厘米后，与计算出的总长度比较，若总长度小于400cm则胶带够用，反之则不够用。
【解析】
1. 单位换算：
$4\mathrm{m}=400\mathrm{cm}$
2. 计算打包所需胶带的总长度：
$\begin{split}&60×2 + 30×4 + 25×6\\=&120 + 120 + 150\\=&390(\mathrm{cm})\end{split}$
3. 比较长度大小：
因为$390\mathrm{cm}＜400\mathrm{cm}$，所以4m长的胶带够用。
答：4 m 长的胶带够用。
【答案】
4 m 长的胶带够用。
【知识点】
长方体棱长的实际应用、长度单位换算、整数四则混合运算
【点评】
本题结合实际打包场景，考查对长方体棱的认识与长度计算，需要准确观察图形确定各棱的使用数量，通过单位换算、整数运算解决实际问题，培养学生的空间观察能力与实际应用能力。
【难度系数】
0.8
要判断4m长的胶带是否够用，需先计算出打包箱子实际需要的胶带长度，再与换算为相同单位后的4m比较大小。首先观察图形，确定胶带在长方体各棱上的使用数量：长60cm的棱用了2条，长30cm的棱用了4条，长25cm的棱用了6条；接着分别计算对应长度棱的胶带总长度，求和得到所需胶带的总长度；最后将4m换算为厘米后，与计算出的总长度比较，若总长度小于400cm则胶带够用，反之则不够用。
【解析】
1. 单位换算：
$4\mathrm{m}=400\mathrm{cm}$
2. 计算打包所需胶带的总长度：
$\begin{split}&60×2 + 30×4 + 25×6\\=&120 + 120 + 150\\=&390(\mathrm{cm})\end{split}$
3. 比较长度大小：
因为$390\mathrm{cm}＜400\mathrm{cm}$，所以4m长的胶带够用。
答：4 m 长的胶带够用。
【答案】
4 m 长的胶带够用。
【知识点】
长方体棱长的实际应用、长度单位换算、整数四则混合运算
【点评】
本题结合实际打包场景，考查对长方体棱的认识与长度计算，需要准确观察图形确定各棱的使用数量，通过单位换算、整数运算解决实际问题，培养学生的空间观察能力与实际应用能力。
【难度系数】
0.8
3. 测量杨梅体积的实验。
(1) 准备工具：10 颗大小差不多的杨梅、长方体玻璃缸、水。
(2) 实验步骤：①测量出长方体玻璃缸内侧的长是 6 cm，宽是 5 cm；②将水注入长方体玻璃缸中，测量出水面高 10 cm；③将杨梅全部放入长方体玻璃缸中（完全浸入水中，且没有溢出）；④测量出水面高 12 cm。
一颗杨梅的体积大约是多少？
(1) 准备工具：10 颗大小差不多的杨梅、长方体玻璃缸、水。
(2) 实验步骤：①测量出长方体玻璃缸内侧的长是 6 cm，宽是 5 cm；②将水注入长方体玻璃缸中，测量出水面高 10 cm；③将杨梅全部放入长方体玻璃缸中（完全浸入水中，且没有溢出）；④测量出水面高 12 cm。
一颗杨梅的体积大约是多少？
答案
6×5×(12-10)÷10
=30×2÷10
=60÷10
=6（cm³）
答：一颗杨梅的体积大约是6cm³。
=30×2÷10
=60÷10
=6（cm³）
答：一颗杨梅的体积大约是6cm³。
解析
【分析】
要计算一颗杨梅的体积，我们可以利用排水法的原理：当杨梅完全浸入水中且水无溢出时，水面上升部分的水的体积等于10颗杨梅的总体积。首先需要算出长方体玻璃缸的底面积，再乘以水面上升的高度得到10颗杨梅的总体积，最后除以10就能得到一颗杨梅的体积。具体思考步骤为：先求出水面上升的高度，再用长方体体积公式（体积=长×宽×高）计算上升的水的体积（即10颗杨梅的总体积），最后除以10得到单颗杨梅的体积。
【解析】
1. 计算水面上升的高度：$12 - 10 = 2$（cm）
2. 计算玻璃缸的底面积：$6×5 = 30$（cm²）
3. 计算10颗杨梅的总体积（即上升的水的体积）：$30×2 = 60$（cm³）
4. 计算一颗杨梅的体积：$60÷10 = 6$（cm³）
综合算式：
$\begin{aligned}&6×5×(12 - 10)÷10\\=&30×2÷10\\=&60÷10\\=&6（\mathrm{cm}^3）\end{aligned}$
答：一颗杨梅的体积大约是$6\mathrm{cm}^3$。
【答案】
$6\mathrm{cm}^3$
【知识点】
排水法测体积、长方体体积计算
【点评】
本题考查排水法在测量不规则物体体积中的应用，核心是理解“水面上升的水的体积等于浸入水中物体的总体积”，解题时需熟练运用长方体体积公式，步骤清晰即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
要计算一颗杨梅的体积，我们可以利用排水法的原理：当杨梅完全浸入水中且水无溢出时，水面上升部分的水的体积等于10颗杨梅的总体积。首先需要算出长方体玻璃缸的底面积，再乘以水面上升的高度得到10颗杨梅的总体积，最后除以10就能得到一颗杨梅的体积。具体思考步骤为：先求出水面上升的高度，再用长方体体积公式（体积=长×宽×高）计算上升的水的体积（即10颗杨梅的总体积），最后除以10得到单颗杨梅的体积。
【解析】
1. 计算水面上升的高度：$12 - 10 = 2$（cm）
2. 计算玻璃缸的底面积：$6×5 = 30$（cm²）
3. 计算10颗杨梅的总体积（即上升的水的体积）：$30×2 = 60$（cm³）
4. 计算一颗杨梅的体积：$60÷10 = 6$（cm³）
综合算式：
$\begin{aligned}&6×5×(12 - 10)÷10\\=&30×2÷10\\=&60÷10\\=&6（\mathrm{cm}^3）\end{aligned}$
答：一颗杨梅的体积大约是$6\mathrm{cm}^3$。
【答案】
$6\mathrm{cm}^3$
【知识点】
排水法测体积、长方体体积计算
【点评】
本题考查排水法在测量不规则物体体积中的应用，核心是理解“水面上升的水的体积等于浸入水中物体的总体积”，解题时需熟练运用长方体体积公式，步骤清晰即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
4. 张阿姨购买了 2 盒仙居杨梅(规格如下图所示)，现要把 2 盒仙居杨梅用彩色包装纸包在一起。
(1) 共有()种不同的包装方案。
(2) 请选择最节约包装纸的方案，算一算最少需要包装纸多少平方厘米。(接口处忽略不计)
(1) 共有()种不同的包装方案。
(2) 请选择最节约包装纸的方案，算一算最少需要包装纸多少平方厘米。(接口处忽略不计)
答案
(1) 3
(2)
$15×2=30(\mathrm{cm})$
$(30×20 + 30×30 + 20×30)×2$
$=(600 + 900 + 600)×2$
$=2100×2$
$=4200(\mathrm{平方厘米})$
答：最少需要包装纸4200平方厘米。
(2)
$15×2=30(\mathrm{cm})$
$(30×20 + 30×30 + 20×30)×2$
$=(600 + 900 + 600)×2$
$=2100×2$
$=4200(\mathrm{平方厘米})$
答：最少需要包装纸4200平方厘米。
解析
【分析】
(1) 思考包装方案数量时，要结合长方体的面的特征：长方体有3组不同的面，分别是长×宽、长×高、宽×高，将两个长方体包装在一起，把相同的一组面重合就能得到一种包装方案，因此共有3种不同的包装方案。
(2) 要找到最节约包装纸的方案，关键在于让两个长方体重合的面的面积最大，因为重合的面面积越大，减少的表面积就越多，最终所需的包装纸面积也就是新长方体的表面积就越小。先计算原长方体三个面的面积，对比后确定最大的面，再计算重合后新长方体的尺寸，最后利用长方体表面积公式计算包装纸面积。
【解析】
(1) 长方体有3组不同的对应面，每一组对应面重合即可得到一种包装方案，因此共有3种不同的包装方案。
(2) ①确定最节约的包装方案
原长方体三个面的面积分别为：
$30×20=600(\mathrm{cm}^2)$，$30×15=450(\mathrm{cm}^2)$，$20×15=300(\mathrm{cm}^2)$
因为$600＞450＞300$，所以重合长×宽的面，也就是$30×20$的面时，减少的表面积最多，最节约包装纸。此时新长方体的高为$15×2=30(\mathrm{cm})$，长为30cm，宽为20cm。
②计算新长方体的表面积
根据长方体表面积公式：$\mathrm{表面积}=(\mathrm{长}×\mathrm{宽}+\mathrm{长}×\mathrm{高}+\mathrm{宽}×\mathrm{高})×2$，代入数据：
$\begin{split}&(30×20 + 30×30 + 20×30)×2\\=&(600 + 900 + 600)×2\\=&2100×2\\=&4200(\mathrm{平方厘米})\end{split}$
答：最少需要包装纸4200平方厘米。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$
(2) $\boldsymbol{4200}$平方厘米
【知识点】
长方体表面积计算，立体图形拼接
【点评】
本题考查长方体拼接后表面积的实际应用，核心是理解“重合面面积越大，总表面积越小”的规律，需要熟练掌握长方体表面积公式，并能结合实际需求分析最优包装方案。
【难度系数】
0.6
(1) 思考包装方案数量时，要结合长方体的面的特征：长方体有3组不同的面，分别是长×宽、长×高、宽×高，将两个长方体包装在一起，把相同的一组面重合就能得到一种包装方案，因此共有3种不同的包装方案。
(2) 要找到最节约包装纸的方案，关键在于让两个长方体重合的面的面积最大，因为重合的面面积越大，减少的表面积就越多，最终所需的包装纸面积也就是新长方体的表面积就越小。先计算原长方体三个面的面积，对比后确定最大的面，再计算重合后新长方体的尺寸，最后利用长方体表面积公式计算包装纸面积。
【解析】
(1) 长方体有3组不同的对应面，每一组对应面重合即可得到一种包装方案，因此共有3种不同的包装方案。
(2) ①确定最节约的包装方案
原长方体三个面的面积分别为：
$30×20=600(\mathrm{cm}^2)$，$30×15=450(\mathrm{cm}^2)$，$20×15=300(\mathrm{cm}^2)$
因为$600＞450＞300$，所以重合长×宽的面，也就是$30×20$的面时，减少的表面积最多，最节约包装纸。此时新长方体的高为$15×2=30(\mathrm{cm})$，长为30cm，宽为20cm。
②计算新长方体的表面积
根据长方体表面积公式：$\mathrm{表面积}=(\mathrm{长}×\mathrm{宽}+\mathrm{长}×\mathrm{高}+\mathrm{宽}×\mathrm{高})×2$，代入数据：
$\begin{split}&(30×20 + 30×30 + 20×30)×2\\=&(600 + 900 + 600)×2\\=&2100×2\\=&4200(\mathrm{平方厘米})\end{split}$
答：最少需要包装纸4200平方厘米。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$
(2) $\boldsymbol{4200}$平方厘米
【知识点】
长方体表面积计算，立体图形拼接
【点评】
本题考查长方体拼接后表面积的实际应用，核心是理解“重合面面积越大，总表面积越小”的规律，需要熟练掌握长方体表面积公式，并能结合实际需求分析最优包装方案。
【难度系数】
0.6
