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9. 第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行,而有着少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物盲盒颇受大众关注.现有工厂生产吉祥物的盲盒,分为$A,B$两种包装,该工厂共有1000名工人.
(1)若该工厂生产盲盒$A的人数比生产盲盒B$的人数的2倍少200人,请求出生产盲盒$B$的工人人数；
(2)为了促销,工厂按商家要求生产盲盒大礼包,该大礼包由2个盲盒$A$和3个盲盒$B$组成.已知每名工人平均每天可以生产20个盲盒$A$或10个盲盒$B$,且每天只能生产一种包装的盲盒.该工厂应该安排多少名工人生产盲盒$A$,多少名工人生产盲盒$B$才能使每天生产的盲盒正好配套？
(1)若该工厂生产盲盒$A的人数比生产盲盒B$的人数的2倍少200人,请求出生产盲盒$B$的工人人数；
(2)为了促销,工厂按商家要求生产盲盒大礼包,该大礼包由2个盲盒$A$和3个盲盒$B$组成.已知每名工人平均每天可以生产20个盲盒$A$或10个盲盒$B$,且每天只能生产一种包装的盲盒.该工厂应该安排多少名工人生产盲盒$A$,多少名工人生产盲盒$B$才能使每天生产的盲盒正好配套？
答案
【解】
(1)设生产盲盒B的工人人数为x人,则
生产盲盒A的工人人数为(2x-200)人,
由题意,得(2x-200)+x=1000,
解得x=400.
答:生产盲盒B的工人人数为400人.
(2)设安排m人生产盲盒A,则安排(1000-m)人
生产盲盒B,
由题意得3×20m=2×10(1000-m),
解得m=250.
所以1000-250=750(人).
答:该工厂应该安排250名工人生产盲盒A,750
名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好
配套.
(1)设生产盲盒B的工人人数为x人,则
生产盲盒A的工人人数为(2x-200)人,
由题意,得(2x-200)+x=1000,
解得x=400.
答:生产盲盒B的工人人数为400人.
(2)设安排m人生产盲盒A,则安排(1000-m)人
生产盲盒B,
由题意得3×20m=2×10(1000-m),
解得m=250.
所以1000-250=750(人).
答:该工厂应该安排250名工人生产盲盒A,750
名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好
配套.
10. 若$x = 2是关于x的方程mx - n = 3$的解,则$1 + 4m - 2n$的值为______.
答案
7
解析
因为$x = 2$是方程$mx - n = 3$的解，所以将$x = 2$代入方程得：$2m - n = 3$。
则$4m - 2n = 2(2m - n) = 2×3 = 6$。
所以$1 + 4m - 2n = 1 + 6 = 7$。
7
则$4m - 2n = 2(2m - n) = 2×3 = 6$。
所以$1 + 4m - 2n = 1 + 6 = 7$。
7
11. 关于$x的方程2ax = (a + 1)x + 6的解是x = 1$,现给出另一个关于$x的方程2a(x - 2024) = (a + 1)(x - 2024) + 6$,则它的解是$x = $______.
答案
2025【点拨】因为关于x的方程2ax=(a+1)x+6的解是x=1,所以方程2a(x-2024)=(a+1)(x-2024)+6的解满足x-2024=1,所以x=2025.
12. 解关于$x$的方程：$2ax + 2 = 12x + 3b$.
答案
【解】把方程2ax+2=12x+3b变形,
得(2a-12)x=3b-2.
分三种情况:
(1)当2a-12≠0,即a≠6时,方程只有一个解,为$x=\frac{3b-2}{2a-12}$;
(2)当2a-12=0,3b-2=0,即a=6,$b=\frac{2}{3}$时,方程有无数个解;
(3)当2a-12=0,3b-2≠0,即a=6,$b≠\frac{2}{3}$时,方程无解.
⚡点方法 本题求方程的解,对形如"mx=n"的方程化简时,应根据m,n的取值讨论解的情况,体现了分类讨论思想的运用.
得(2a-12)x=3b-2.
分三种情况:
(1)当2a-12≠0,即a≠6时,方程只有一个解,为$x=\frac{3b-2}{2a-12}$;
(2)当2a-12=0,3b-2=0,即a=6,$b=\frac{2}{3}$时,方程有无数个解;
(3)当2a-12=0,3b-2≠0,即a=6,$b≠\frac{2}{3}$时,方程无解.
⚡点方法 本题求方程的解,对形如"mx=n"的方程化简时,应根据m,n的取值讨论解的情况,体现了分类讨论思想的运用.
13. [2025驻马店期中]已知代数式$(a + 4)x^{3} + 6x^{2} - 2x + 5是关于x$的二次多项式,且二次项系数为$b$,数轴上$A,B两点所对应的数分别是a和b$(如图).
(1)$a = $______,$b = $______；
(2)有一动点$P从点A$出发第一次向左运动1个单位长度,然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度,再在此位置第三次向左运动3个单位长度,…,按照如此规律不断地左右运动,当运动到第2025次时,点$P$所对应的数为______；
(3)若点$A$以每秒2个单位长度的速度向左运动,同时,点$B$以每秒3个单位长度的速度向右运动,动点$D从原点开始以每秒m(m ＞ 0)$个单位长度的速度向左运动.在运动过程中,$2AD - BD$的值始终保持不变,求$m$的值.
(1)$a = $______,$b = $______；
(2)有一动点$P从点A$出发第一次向左运动1个单位长度,然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度,再在此位置第三次向左运动3个单位长度,…,按照如此规律不断地左右运动,当运动到第2025次时,点$P$所对应的数为______；
(3)若点$A$以每秒2个单位长度的速度向左运动,同时,点$B$以每秒3个单位长度的速度向右运动,动点$D从原点开始以每秒m(m ＞ 0)$个单位长度的速度向左运动.在运动过程中,$2AD - BD$的值始终保持不变,求$m$的值.
答案
【解】
(1)-4;6
(2)-1017【点拨】依题意知,点P第一次运动后对应的数为-4-1=-5,第二次运动后对应的数为-4-1+2=-3,第三次运动后对应的数为-4-1+2-3=-6,…,则第2025次运动后对应的数为-4-1+2-3+…+2022-2023+2024-2025=-4+(-1+2-3+…+2022-2023+2024)-2025=-4+1012-2025=-1017.
(3)设运动时间为t秒,则运动后点A对应的数为-4-2t,点B对应的数为6+3t,点D对应的数为-mt,
所以BD=mt+6+3t,AD=-mt+4+2t,
所以2AD-BD=2(-mt+4+2t)-(mt+6+3t)=-2mt+8+4t-mt-6-3t=(-3m+1)t+2.
因为2AD-BD的值始终固定,
所以-3m+1=0,所以$m=\frac{1}{3}$.
故当2AD-BD的值始终固定时,m的值为$\frac{1}{3}$.
(1)-4;6
(2)-1017【点拨】依题意知,点P第一次运动后对应的数为-4-1=-5,第二次运动后对应的数为-4-1+2=-3,第三次运动后对应的数为-4-1+2-3=-6,…,则第2025次运动后对应的数为-4-1+2-3+…+2022-2023+2024-2025=-4+(-1+2-3+…+2022-2023+2024)-2025=-4+1012-2025=-1017.
(3)设运动时间为t秒,则运动后点A对应的数为-4-2t,点B对应的数为6+3t,点D对应的数为-mt,
所以BD=mt+6+3t,AD=-mt+4+2t,
所以2AD-BD=2(-mt+4+2t)-(mt+6+3t)=-2mt+8+4t-mt-6-3t=(-3m+1)t+2.
因为2AD-BD的值始终固定,
所以-3m+1=0,所以$m=\frac{1}{3}$.
故当2AD-BD的值始终固定时,m的值为$\frac{1}{3}$.
