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1. 下列选项中,是方程的是( )
A.$2x - 3 ＞ 0$
B.$3 + 5 = 8$
C.$x^{2} + 2x + 1$
D.$x + 3 = \frac{1}{2}$
A.$2x - 3 ＞ 0$
B.$3 + 5 = 8$
C.$x^{2} + 2x + 1$
D.$x + 3 = \frac{1}{2}$
答案
D
2. [2025南京校级月考]小明同学在解关于$x的方程5x - 1 = $ 处的数字看错了,解得$x = - 2$,则该同学把 看成了______.
答案
7
解析
设该同学把$□$看成了$a$，则方程为$5x - 1 = a$。
将$x=-2$代入方程得：$5×(-2)-1=a$
计算得：$-10 - 1 = a$，即$a=-11$
7
将$x=-2$代入方程得：$5×(-2)-1=a$
计算得：$-10 - 1 = a$，即$a=-11$
7
3. 下列方程中,是一元一次方程的是( )
A.$x + y = 5$
B.$x^{2} - 9 = 8x^{2}$
C.$x - 1 = \frac{1}{x}$
D.$2x + 3 = 1$
A.$x + y = 5$
B.$x^{2} - 9 = 8x^{2}$
C.$x - 1 = \frac{1}{x}$
D.$2x + 3 = 1$
答案
D
4. 方程$(a - 2)x^{|a| - 1} + 3 = 0是关于x$的一元一次方程,则$a = $( )
A.2
B.-2
C.$\pm 1$
D.$\pm 2$
A.2
B.-2
C.$\pm 1$
D.$\pm 2$
答案
B
解析
因为方程$(a - 2)x^{|a| - 1} + 3 = 0$是关于$x$的一元一次方程，所以$|a| - 1 = 1$且$a - 2 \neq 0$。
由$|a| - 1 = 1$，得$|a| = 2$，即$a = \pm 2$。
由$a - 2 \neq 0$，得$a \neq 2$。
综上，$a = -2$。
B
由$|a| - 1 = 1$，得$|a| = 2$，即$a = \pm 2$。
由$a - 2 \neq 0$，得$a \neq 2$。
综上，$a = -2$。
B
5. 下列等式变形正确的是( )
A.若$a = b$,则$a - 3 = 3 - b$
B.若$x = y$,则$\frac{x}{a} = \frac{y}{a}$
C.若$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$,则$b = d$
D.若$a = b$,则$ac = bc$
A.若$a = b$,则$a - 3 = 3 - b$
B.若$x = y$,则$\frac{x}{a} = \frac{y}{a}$
C.若$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$,则$b = d$
D.若$a = b$,则$ac = bc$
答案
D
解析
A. 若$a = b$，则$a - 3 = b - 3\neq 3 - b$，变形错误；
B. 若$x = y$，当$a = 0$时，$\frac{x}{a}$和$\frac{y}{a}$无意义，变形错误；
C. 若$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$，则$bc = ad\neq b = d$，变形错误；
D. 若$a = b$，则$ac = bc$，变形正确。
D
B. 若$x = y$，当$a = 0$时，$\frac{x}{a}$和$\frac{y}{a}$无意义，变形错误；
C. 若$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$，则$bc = ad\neq b = d$，变形错误；
D. 若$a = b$，则$ac = bc$，变形正确。
D
6. 若等式$m = n可以变形为-\frac{1}{3}m + a = -\frac{1}{3}n - b$,则下列结论一定成立的是( )
A.$a = b$
B.$a,b$互为倒数
C.$a + b = 0$
D.$|a| = -|b|$
A.$a = b$
B.$a,b$互为倒数
C.$a + b = 0$
D.$|a| = -|b|$
答案
C
解析
因为$m = n$，两边同时乘以$-\frac{1}{3}$，得$-\frac{1}{3}m = -\frac{1}{3}n$。
等式$-\frac{1}{3}m + a = -\frac{1}{3}n - b$可变形为$a + b = -\frac{1}{3}n + \frac{1}{3}m$。
由于$-\frac{1}{3}m = -\frac{1}{3}n$，所以$-\frac{1}{3}n + \frac{1}{3}m = 0$，即$a + b = 0$。
C
等式$-\frac{1}{3}m + a = -\frac{1}{3}n - b$可变形为$a + b = -\frac{1}{3}n + \frac{1}{3}m$。
由于$-\frac{1}{3}m = -\frac{1}{3}n$，所以$-\frac{1}{3}n + \frac{1}{3}m = 0$，即$a + b = 0$。
C
7. 解下列方程：
(1)$2(100 - 15x) = 60 + 5x$；
(2)$x - \frac{x - 1}{4} = 1 - \frac{3 - x}{2}$；
(3)$-\frac{2}{5}(3y + 2) = \frac{1}{10} - \frac{3}{2}(y - 1)$；
(4)$\frac{0.5 + x}{0.3} - 1 = \frac{0.7x - 3.1}{0.2}$.
(1)$2(100 - 15x) = 60 + 5x$；
(2)$x - \frac{x - 1}{4} = 1 - \frac{3 - x}{2}$；
(3)$-\frac{2}{5}(3y + 2) = \frac{1}{10} - \frac{3}{2}(y - 1)$；
(4)$\frac{0.5 + x}{0.3} - 1 = \frac{0.7x - 3.1}{0.2}$.
答案
【解】
(1)去括号,得200-30x=60+5x.
移项、合并同类项,得-35x=-140.
系数化为1,得x=4.
(2)去分母,得4x-(x-1)=4-2(3-x).
去括号,得4x-x+1=4-6+2x.
移项、合并同类项,得x=-3.
(3)去分母,得-4(3y+2)=1-15(y-1).
去括号,得-12y-8=1-15y+15.
移项、合并同类项,得3y=24.
系数化为1,得y=8.
(4)原方程可化为$\frac{5+10x}{3}-1=\frac{7x-31}{2}$.
去分母,得2(5+10x)-6=3(7x-31).
去括号,得10+20x-6=21x-93.
移项、合并同类项,得-x=-97.
系数化为1,得x=97.
(1)去括号,得200-30x=60+5x.
移项、合并同类项,得-35x=-140.
系数化为1,得x=4.
(2)去分母,得4x-(x-1)=4-2(3-x).
去括号,得4x-x+1=4-6+2x.
移项、合并同类项,得x=-3.
(3)去分母,得-4(3y+2)=1-15(y-1).
去括号,得-12y-8=1-15y+15.
移项、合并同类项,得3y=24.
系数化为1,得y=8.
(4)原方程可化为$\frac{5+10x}{3}-1=\frac{7x-31}{2}$.
去分母,得2(5+10x)-6=3(7x-31).
去括号,得10+20x-6=21x-93.
移项、合并同类项,得-x=-97.
系数化为1,得x=97.
8. 新趋势 跨学科综合 某动物园利用杠杆原理$G_{1} \cdot L_{1} = G_{2} \cdot L_{2}$称象.如图,在点$P$处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态),将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不计)分别悬挂在钢梁的点$A,B$处,当钢梁保持水平时,弹簧秤读数为$k$N.设大象的重量为$x$N,若铁笼固定不动,移动弹簧秤使$BP$扩大到原来的10倍,且钢梁保持水平,则弹簧秤读数为______N(用含$k$的代数式表示).
]
]
答案
$\frac{k}{10}$
解析
设初始时 $ BP = L $，则 $ AP $ 为固定值。根据杠杆原理，初始状态有 $ k \cdot L = x \cdot AP $。
当 $ BP $ 扩大到原来的 10 倍时，新的 $ BP' = 10L $，设此时弹簧秤读数为 $ k' $，则有 $ k' \cdot 10L = x \cdot AP $。
由 $ k \cdot L = k' \cdot 10L $，解得 $ k' = \frac{k}{10} $。
$\frac{k}{10}$
当 $ BP $ 扩大到原来的 10 倍时，新的 $ BP' = 10L $，设此时弹簧秤读数为 $ k' $，则有 $ k' \cdot 10L = x \cdot AP $。
由 $ k \cdot L = k' \cdot 10L $，解得 $ k' = \frac{k}{10} $。
$\frac{k}{10}$
