登录
1. 下列各式中：①$x = 0$；②$2x ＞ 3$；③$x^{2}+x - 2 = 0$；④$\frac{x}{y}+2 = 0$；⑤$3x - 2$；⑥$x = 2x - 1$；⑦$x - y = 0$；⑧$xy = 4$,是方程的有( )
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
D
解析
方程是含有未知数的等式。
①$x = 0$，是含有未知数的等式，是方程；
②$2x＞3$，不是等式，不是方程；
③$x^{2}+x - 2 = 0$，是含有未知数的等式，是方程；
④$\frac{x}{y}+2 = 0$，是含有未知数的等式，是方程；
⑤$3x - 2$，不是等式，不是方程；
⑥$x = 2x - 1$，是含有未知数的等式，是方程；
⑦$x - y = 0$，是含有未知数的等式，是方程；
⑧$xy = 4$，是含有未知数的等式，是方程。
是方程的有①③④⑥⑦⑧，共6个。
D
①$x = 0$，是含有未知数的等式，是方程；
②$2x＞3$，不是等式，不是方程；
③$x^{2}+x - 2 = 0$，是含有未知数的等式，是方程；
④$\frac{x}{y}+2 = 0$，是含有未知数的等式，是方程；
⑤$3x - 2$，不是等式，不是方程；
⑥$x = 2x - 1$，是含有未知数的等式，是方程；
⑦$x - y = 0$，是含有未知数的等式，是方程；
⑧$xy = 4$，是含有未知数的等式，是方程。
是方程的有①③④⑥⑦⑧，共6个。
D
2. [2025怀化期中]已知关于$x的方程ax - 5 = 7a + 5 - x的解为x = 4$,则$a$的值是( )
A.$-2$
B.2
C.3
D.$-3$
A.$-2$
B.2
C.3
D.$-3$
答案
A
解析
将$x = 4$代入方程$ax - 5 = 7a + 5 - x$，得：
$4a - 5 = 7a + 5 - 4$
$4a - 5 = 7a + 1$
$4a - 7a = 1 + 5$
$-3a = 6$
$a = -2$
A
$4a - 5 = 7a + 5 - 4$
$4a - 5 = 7a + 1$
$4a - 7a = 1 + 5$
$-3a = 6$
$a = -2$
A
3. 下列利用等式的性质变形正确的是( )
A.如果$ma = mb$,那么$a = b$
B.如果$a - x = b - x$,那么$a - b = 0$
C.如果$\frac{a}{2}= 6$,那么$a = 3$
D.如果$a + b - c = 0$,那么$a = b - c$
A.如果$ma = mb$,那么$a = b$
B.如果$a - x = b - x$,那么$a - b = 0$
C.如果$\frac{a}{2}= 6$,那么$a = 3$
D.如果$a + b - c = 0$,那么$a = b - c$
答案
B
解析
A. 当$m=0$时，$ma=mb$不能推出$a=b$，错误；
B. 等式两边同时加$x$得$a = b$，再两边减$b$得$a - b=0$，正确；
C. 等式两边乘$2$得$a=12$，错误；
D. 等式两边加$c - b$得$a = c - b$，错误。
B
B. 等式两边同时加$x$得$a = b$，再两边减$b$得$a - b=0$，正确；
C. 等式两边乘$2$得$a=12$，错误；
D. 等式两边加$c - b$得$a = c - b$，错误。
B
4. 在解$\frac{x}{3}= 1-\frac{x - 1}{5}$时,去分母后正确的是( )
A.$5x = 1 - 3(x - 1)$
B.$x = 1 - (3x - 1)$
C.$5x = 15 - 3(x - 1)$
D.$5x = 3 - 3(x - 1)$
A.$5x = 1 - 3(x - 1)$
B.$x = 1 - (3x - 1)$
C.$5x = 15 - 3(x - 1)$
D.$5x = 3 - 3(x - 1)$
答案
C
解析
方程两边同乘15，得$5x = 15 - 3(x - 1)$。
C
C
5. 当$x = 1$时,$5(x + b) - 8与bx$互为相反数,则$b = $( )
A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$-\frac{3}{4}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$-\frac{3}{4}$
答案
A
解析
当$x = 1$时，$5(x + b)-8 = 5(1 + b)-8 = 5 + 5b-8 = 5b-3$，$bx = b×1 = b$。
因为$5(x + b)-8$与$bx$互为相反数，所以$5b-3 + b = 0$，
$6b-3 = 0$，
$6b = 3$，
$b=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
A
因为$5(x + b)-8$与$bx$互为相反数，所以$5b-3 + b = 0$，
$6b-3 = 0$，
$6b = 3$，
$b=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
A
6. 小李在解关于$x的方程3a + x = 7 - a$时,误将$+x看作-x$,得方程的解为$x = 5$,那么原方程的解为( )
A.$x = -3$
B.$x = 0$
C.$x = -5$
D.$x = 5$
A.$x = -3$
B.$x = 0$
C.$x = -5$
D.$x = 5$
答案
C 【点拨】把x=5代入方程3a-x=7-a，得3a-5=7-a，解得a=3，则原方程为9+x=4，解得x=-5.
7. [2024福建]今年我国国民经济开局良好,市场销售稳定增长,社会消费增长较快,第一季度社会消费品零售总额120327亿元,比去年第一季度增长$4.7\%$,求去年第一季度社会消费品零售总额. 若将去年第一季度社会消费品零售总额设为$x$亿元,则符合题意的方程是( )
A.$(1 + 4.7\%)x = 120327$
B.$(1 - 4.7\%)x = 120327$
C.$\frac{x}{1 + 4.7\%}= 120327$
D.$\frac{x}{1 - 4.7\%}= 120327$
A.$(1 + 4.7\%)x = 120327$
B.$(1 - 4.7\%)x = 120327$
C.$\frac{x}{1 + 4.7\%}= 120327$
D.$\frac{x}{1 - 4.7\%}= 120327$
答案
A
解析
设去年第一季度社会消费品零售总额为$x$亿元，今年比去年增长$4.7\%$，则今年的零售总额为$(1 + 4.7\%)x$亿元。已知今年第一季度社会消费品零售总额为$120327$亿元，所以方程为$(1 + 4.7\%)x = 120327$。
A
A
8. 新视角新定义题定义：对于一个有理数$x$,我们把$[x]称作x$的伴随数：若$x\geq0$,则$[x]= x - 1$；若$x ＜ 0$,则$[x]= x + 1$. 例：$[1]= 1 - 1 = 0$,$[-2]= -2 + 1 = -1$. 现有以下判断：①$[0]= -1$；②已知有理数$x ＞ 0$,$y ＜ 0$,且满足$[x]= [y]+1$,则$x - y = 3$；③对任意有理数$x$,有$[x]-[x + 1]= -1$或1；④方程$[3x]+[x + 5]= 3的解只有x = 0$,其中正确的是( )
A.①③
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
A.①③
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
答案
B 【点拨】①由定义可知[0]=0-1=-1，故①正确；②由定义可知x-1=y+1+1，所以x-y=3，故②正确；③当x＜-1时，[x]-[x+1]=x+1-(x+1+1)=-1，当-1≤x＜0时，[x]-[x+1]=x+1-(x+1-1)=1，当x≥0时，[x]-[x+1]=x-1-(x+1-1)=-1，所以对任意有理数x，有[x]-[x+1]=-1或1，故③正确；④当0＞x＞-5时，3x+1+x+5-1=3，所以$x=-\dfrac{1}{2}，$故④错误.
9. 已知$(1 - n)x^{|2n| - 1}+9 = 0是关于x$的一元一次方程,则$n$的值为______.
答案
-1
解析
因为方程$(1 - n)x^{|2n| - 1}+9 = 0$是关于$x$的一元一次方程，所以$|2n| - 1 = 1$且$1 - n \neq 0$。
由$|2n| - 1 = 1$，得$|2n| = 2$，即$2n = \pm 2$，解得$n = 1$或$n = -1$。
由$1 - n \neq 0$，得$n \neq 1$。
综上，$n = -1$。
$-1$
由$|2n| - 1 = 1$，得$|2n| = 2$，即$2n = \pm 2$，解得$n = 1$或$n = -1$。
由$1 - n \neq 0$，得$n \neq 1$。
综上，$n = -1$。
$-1$
10. [2025武汉武昌区月考]已知$a$,$b$为常数,关于$x的方程\frac{x - bk}{3}= \frac{3kx + a}{2}-1$,无论$k$为何值,它的解总是$x = 2$,则$ab$的值为______.
答案
-30 【点拨】把x=2代入方程$\dfrac{x-bk}{3}=\dfrac{3kx+a}{2}-1$，并化简，得(18+2b)k=10-3a.由于k可以取任意值，所以18+2b=0，10-3a=0，解得b=-9，a=$\dfrac{10}{3}$，所以ab=$\dfrac{10}{3}\cdot(-9)$=-30.
解析
把$x = 2$代入方程$\frac{x - bk}{3} = \frac{3kx + a}{2}-1$，得：
$\frac{2 - bk}{3} = \frac{3k \cdot 2 + a}{2}-1$
方程两边同乘6去分母，得：
$2(2 - bk) = 3(6k + a)-6$
展开括号，得：
$4 - 2bk = 18k + 3a - 6$
移项、合并同类项，得：
$(18 + 2b)k = 10 - 3a$
因为无论$k$为何值，方程的解总是$x = 2$，所以$18 + 2b = 0$且$10 - 3a = 0$，解得$b = -9$，$a = \frac{10}{3}$，则$ab=\frac{10}{3}×(-9)=-30$。
$-30$
$\frac{2 - bk}{3} = \frac{3k \cdot 2 + a}{2}-1$
方程两边同乘6去分母，得：
$2(2 - bk) = 3(6k + a)-6$
展开括号，得：
$4 - 2bk = 18k + 3a - 6$
移项、合并同类项，得：
$(18 + 2b)k = 10 - 3a$
因为无论$k$为何值，方程的解总是$x = 2$，所以$18 + 2b = 0$且$10 - 3a = 0$，解得$b = -9$，$a = \frac{10}{3}$，则$ab=\frac{10}{3}×(-9)=-30$。
$-30$
11. [2025扬州月考]我校要整理一批图书,如果由一个人单独做需花20小时完成. 现先由一部分人整理了1小时,随后又增加7人和他们一起又做了0.8小时,恰好完成整理工作. 假设每个人的工作效率相同,那么先安排整理的人员有______人.
答案
8
解析
设先安排整理的人员有$x$人。
每人每小时的工作效率为$\frac{1}{20}$。
根据题意，得：
$x × 1 × \frac{1}{20} + (x + 7) × 0.8 × \frac{1}{20} = 1$
化简方程：
$\frac{x}{20} + \frac{0.8(x + 7)}{20} = 1$
$x + 0.8x + 5.6 = 20$
$1.8x = 14.4$
$x = 8$
8
每人每小时的工作效率为$\frac{1}{20}$。
根据题意，得：
$x × 1 × \frac{1}{20} + (x + 7) × 0.8 × \frac{1}{20} = 1$
化简方程：
$\frac{x}{20} + \frac{0.8(x + 7)}{20} = 1$
$x + 0.8x + 5.6 = 20$
$1.8x = 14.4$
$x = 8$
8
12. 观察下列按一定规律排列的$n$个数：2,4,6,8,10,12,…,若最后三个数之和是180,则$n = $______.
答案
31 【点拨】由题意，得第n个数为2n，那么2n+2(n-1)+2(n-2)=180，解得n=31.
解析
第n个数为$2n$，最后三个数分别为$2(n-2)$，$2(n-1)$，$2n$。
$2(n-2)+2(n-1)+2n=180$
$2n-4+2n-2+2n=180$
$6n-6=180$
$6n=186$
$n=31$
31
$2(n-2)+2(n-1)+2n=180$
$2n-4+2n-2+2n=180$
$6n-6=180$
$6n=186$
$n=31$
31
13. 记$2x - 1为M$,$3x - 2为N$. 我们知道,当这两个代数式中的$x$取某一确定的有理数时,$M和N$的值也随之确定. 例如：当$x = 2$时,$M = 2x - 1 = 3$. 若$x和M$,$N$的值如下表所示.
|$x$的值|2|$c$|
|$M$的值|3|$b$|
|$N$的值|$a$|$b$|
则$a和c$的值分别是：$a = $______；$c = $______.
|$x$的值|2|$c$|
|$M$的值|3|$b$|
|$N$的值|$a$|$b$|
则$a和c$的值分别是：$a = $______；$c = $______.
答案
4；1 【点拨】当x=2时，N=3x-2=3×2-2=4，即a=4.当x=c时，M=2x-1=2c-1，N=3x-2=3c-2.因为M=b，N=b，所以M=N，即2c-1=3c-2，解得c=1.
解析
当$x = 2$时，$N=3x - 2=3×2 - 2=4$，所以$a = 4$。
当$x = c$时，$M=2c - 1$，$N=3c - 2$。因为$M = N = b$，所以$2c - 1=3c - 2$，解得$c = 1$。
$a = 4$；$c = 1$
当$x = c$时，$M=2c - 1$，$N=3c - 2$。因为$M = N = b$，所以$2c - 1=3c - 2$，解得$c = 1$。
$a = 4$；$c = 1$
