13. (厦门中考)已知点$P(m,n)$在抛物线$y = ax^{2}-x - a$上,当$m\geqslant - 1$时,总有$n\leqslant1$成立,则$a$的取值范围是______．
答案
14. (2022·荆门中考)如图,函数$y= \begin{cases}x^{2}-2x + 3(x＜2),\\-\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}(x\geqslant2)\end{cases}$的图
像由抛物线的一部分和一条射线组成,且与直线$y = m$($m$为常数)相交于三个不同的点$A(x_{1},y_{1})$、$B(x_{2},y_{2})$、$C(x_{3},y_{3})$($x_{1}＜x_{2}＜x_{3}$)．设$t= \frac{x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}}{x_{3}y_{3}}$,则$t$的取值范围是______．
像由抛物线的一部分和一条射线组成,且与直线$y = m$($m$为常数)相交于三个不同的点$A(x_{1},y_{1})$、$B(x_{2},y_{2})$、$C(x_{3},y_{3})$($x_{1}＜x_{2}＜x_{3}$)．设$t= \frac{x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}}{x_{3}y_{3}}$,则$t$的取值范围是______．答案
15. (6分)(2023·苏州校级月考)已知抛物线$y = ax^{2}+2ax + 3a^{2}-4$．
(1)若该抛物线的顶点在$x$轴上,求抛物线的表达式；
(2)设点$M(m,y_{1})$、$N(2,y_{2})$在该抛物线上,若$y_{1}＞y_{2}$,求$m$的取值范围．
(1)若该抛物线的顶点在$x$轴上,求抛物线的表达式；
(2)设点$M(m,y_{1})$、$N(2,y_{2})$在该抛物线上,若$y_{1}＞y_{2}$,求$m$的取值范围．
答案
16. (7分)(2024·驻马店模拟)河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥,水面宽为6米时,水面离桥孔顶部4米．如图①,桥孔与水面交于$A$、$B$两点,以点$A$为坐标原点,$AB$所在水平线为横轴,过原点的铅垂线为纵轴,建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)请求出此抛物线对应的二次函数表达式．
(2)因降暴雨水位上升1.5米,一艘装满货物的小船,露出水面部分的高为0.5m,宽为4.5m(横截面如图②),暴雨后,这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由．
![img alt=16]
(1)请求出此抛物线对应的二次函数表达式．
(2)因降暴雨水位上升1.5米,一艘装满货物的小船,露出水面部分的高为0.5m,宽为4.5m(横截面如图②),暴雨后,这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由．
![img alt=16]
答案
17. (8分)已知抛物线$y = x^{2}+2mx + m^{2}-1$($m$是常数)．
(1)求该抛物线与$x$轴的交点坐标及顶点坐标(可用含$m$的代数式表示)；
(2)将该抛物线先向右平移2个单位长度,再向上平移$(2m - 1)$个单位长度,若平移后的抛物线与$x$轴没有公共点,且当$x\leqslant0$时,$y$随$x$的增大而减小,求$m$的取值范围；
(3)已知点$A(1,1)$、$B(3,1)$,若抛物线$y = x^{2}+2mx + m^{2}-1$与线段$AB$只有一个公共点,直接写出$m$的取值范围．
(1)求该抛物线与$x$轴的交点坐标及顶点坐标(可用含$m$的代数式表示)；
(2)将该抛物线先向右平移2个单位长度,再向上平移$(2m - 1)$个单位长度,若平移后的抛物线与$x$轴没有公共点,且当$x\leqslant0$时,$y$随$x$的增大而减小,求$m$的取值范围；
(3)已知点$A(1,1)$、$B(3,1)$,若抛物线$y = x^{2}+2mx + m^{2}-1$与线段$AB$只有一个公共点,直接写出$m$的取值范围．
答案
