5. (2023·武汉中考)抛物线$C_{1}:y = x^{2} - 2x - 8$交$x$轴于$A$、$B$两点($A$在$B$的左边),交$y$轴于点$C$.
(1)直接写出$A$、$B$、$C$三点的坐标.
(2)如图①,作直线$x = t(0 ＜ t ＜ 4)$,分别交$x$轴、线段$BC$、抛物线$C_{1}$于$D$、$E$、$F$三点,连接$CF$,若$△BDE$与$△CEF$相似,求$t$的值.
(3)如图②,将抛物线$C_{1}$平移得到抛物线$C_{2}$,其顶点为原点.直线$y = 2x$与抛物线交于$O$、$G$两点,过$OG$的中点$H$作直线$MN$(异于直线$OG$)交抛物线$C_{2}$于$M$、$N$两点,直线$MO$与直线$GN$交于点$P$.问点$P$是否在一条定直线上?若是,求该直线的表达式;若不是,请说明理由.
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(1)直接写出$A$、$B$、$C$三点的坐标.(2)如图①,作直线$x = t(0 ＜ t ＜ 4)$,分别交$x$轴、线段$BC$、抛物线$C_{1}$于$D$、$E$、$F$三点,连接$CF$,若$△BDE$与$△CEF$相似,求$t$的值.
(3)如图②,将抛物线$C_{1}$平移得到抛物线$C_{2}$,其顶点为原点.直线$y = 2x$与抛物线交于$O$、$G$两点,过$OG$的中点$H$作直线$MN$(异于直线$OG$)交抛物线$C_{2}$于$M$、$N$两点,直线$MO$与直线$GN$交于点$P$.问点$P$是否在一条定直线上?若是,求该直线的表达式;若不是,请说明理由.
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答案
6. 如图①,在平面直角坐标系中,直线$l:y= -\frac{3}{4}x + 3$与$x$轴、$y$轴分别交于$A$、$B$两点,抛物线$y= -\frac{3}{4}x^{2}+bx + c$经过点$A$,且对称轴为直线$x= \frac{3}{2}$.
(1)求抛物线所对应的函数表达式.
(2)点$D$为直线$l$上方抛物线上的一点,连接$OD$与直线$l$交于点$E$.若$OE:DE = k$,求$k$的最小值及此时点$D$的坐标.
(3)如图②,点$G$为线段$AB$的中点,作直线$OG$,若点$P$为直线$OG$上一动点(点$P$不与点$O$重合),连接$BP$,过点$P$作$PQ⊥BP$,交$x$轴于点$Q$,再过点$P$作$x$轴的垂线,垂足为点$M$,交抛物线于点$N$.问:在点$P$运动过程中,是否存在以点$Q$,$M$,$N$为顶点的三角形与$△OAB$相似? 若存在,直接写出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
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(1)求抛物线所对应的函数表达式.
(2)点$D$为直线$l$上方抛物线上的一点,连接$OD$与直线$l$交于点$E$.若$OE:DE = k$,求$k$的最小值及此时点$D$的坐标.
(3)如图②,点$G$为线段$AB$的中点,作直线$OG$,若点$P$为直线$OG$上一动点(点$P$不与点$O$重合),连接$BP$,过点$P$作$PQ⊥BP$,交$x$轴于点$Q$,再过点$P$作$x$轴的垂线,垂足为点$M$,交抛物线于点$N$.问:在点$P$运动过程中,是否存在以点$Q$,$M$,$N$为顶点的三角形与$△OAB$相似? 若存在,直接写出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
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答案
