3. (2023·湖州中考)【特例感知】
(1) 如图①, 在正方形 $ ABCD $ 中, 点 $ P $ 在边 $ AB $ 的延长线上, 连接 $ PD $, 过点 $ D $ 作 $ DM \perp PD $, 交 $ BC $ 的延长线于点 $ M $. 求证: $ \triangle DAP \cong \triangle DCM $.
【变式求异】
(2) 如图②, 在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中, $ \angle ABC = 90^{\circ} $, 点 $ D $ 在边 $ AB $ 上, 过点 $ D $ 作 $ DQ \perp AB $, 交 $ AC $ 于点 $ Q $, 点 $ P $ 在边 $ AB $ 的延长线上, 连接 $ PQ $, 过点 $ Q $ 作 $ QM \perp PQ $, 交射线 $ BC $ 于点 $ M $. 已知 $ BC = 8 $, $ AC = 10 $, $ AD = 2DB $, 求 $ \frac{PQ}{QM} $ 的值.
【拓展应用】
(3) 如图③, 在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中, $ \angle BAC = 90^{\circ} $, 点 $ P $ 在边 $ AB $ 的延长线上, 点 $ Q $ 在边 $ AC $ 上(不与点 $ A $、$ C $ 重合), 连接 $ PQ $, 以 $ Q $ 为顶点作 $ \angle PQM = \angle PBC $, $ \angle PQM $ 的边 $ QM $ 交射线 $ BC $ 于点 $ M $. 若 $ AC = mAB $, $ CQ = nAC $ ($ m $、$ n $ 是常数), 求 $ \frac{PQ}{QM} $ 的值(用含 $ m $、$ n $ 的代数式表示).
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(1) 如图①, 在正方形 $ ABCD $ 中, 点 $ P $ 在边 $ AB $ 的延长线上, 连接 $ PD $, 过点 $ D $ 作 $ DM \perp PD $, 交 $ BC $ 的延长线于点 $ M $. 求证: $ \triangle DAP \cong \triangle DCM $.
【变式求异】
(2) 如图②, 在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中, $ \angle ABC = 90^{\circ} $, 点 $ D $ 在边 $ AB $ 上, 过点 $ D $ 作 $ DQ \perp AB $, 交 $ AC $ 于点 $ Q $, 点 $ P $ 在边 $ AB $ 的延长线上, 连接 $ PQ $, 过点 $ Q $ 作 $ QM \perp PQ $, 交射线 $ BC $ 于点 $ M $. 已知 $ BC = 8 $, $ AC = 10 $, $ AD = 2DB $, 求 $ \frac{PQ}{QM} $ 的值.
【拓展应用】
(3) 如图③, 在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中, $ \angle BAC = 90^{\circ} $, 点 $ P $ 在边 $ AB $ 的延长线上, 点 $ Q $ 在边 $ AC $ 上(不与点 $ A $、$ C $ 重合), 连接 $ PQ $, 以 $ Q $ 为顶点作 $ \angle PQM = \angle PBC $, $ \angle PQM $ 的边 $ QM $ 交射线 $ BC $ 于点 $ M $. 若 $ AC = mAB $, $ CQ = nAC $ ($ m $、$ n $ 是常数), 求 $ \frac{PQ}{QM} $ 的值(用含 $ m $、$ n $ 的代数式表示).
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答案
4. (2022·深圳中考改编)
(1)【探究发现】如图①所示, 在正方形 $ ABCD $ 中, $ E $ 为 $ AD $ 边上一点, 将 $ \triangle AEB $ 沿 $ BE $ 翻折到 $ \triangle FEB $ 处, 延长 $ EF $ 交 $ CD $ 边于点 $ G $, 连接 $ BG $. 求证: $ \triangle BFG \cong \triangle BCG $.
(2)【类比迁移】如图②, 在矩形 $ ABCD $ 中, $ E $ 为 $ AD $ 边上一点, 且 $ AD = 8 $, $ AB = 6 $, 将 $ \triangle AEB $ 沿 $ BE $ 翻折到 $ \triangle FEB $ 处, 延长 $ EF $ 交 $ BC $ 边于点 $ G $, 延长 $ BF $ 交 $ CD $ 边于点 $ H $, 且 $ FH = CH $, 求 $ AE $ 的长.
(3)【拓展应用】在菱形 $ ABCD $ 中, $ AB = 6 $, $ E $ 为 $ CD $ 边上的三等分点, $ \angle D = 60^{\circ} $, 将 $ \triangle ADE $ 沿 $ AE $ 翻折得到 $ \triangle AFE $, 直线 $ EF $ 交 $ BC $ 于点 $ P $, 求 $ CP $ 的长. (可利用备用图探究)
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(1)【探究发现】如图①所示, 在正方形 $ ABCD $ 中, $ E $ 为 $ AD $ 边上一点, 将 $ \triangle AEB $ 沿 $ BE $ 翻折到 $ \triangle FEB $ 处, 延长 $ EF $ 交 $ CD $ 边于点 $ G $, 连接 $ BG $. 求证: $ \triangle BFG \cong \triangle BCG $.
(2)【类比迁移】如图②, 在矩形 $ ABCD $ 中, $ E $ 为 $ AD $ 边上一点, 且 $ AD = 8 $, $ AB = 6 $, 将 $ \triangle AEB $ 沿 $ BE $ 翻折到 $ \triangle FEB $ 处, 延长 $ EF $ 交 $ BC $ 边于点 $ G $, 延长 $ BF $ 交 $ CD $ 边于点 $ H $, 且 $ FH = CH $, 求 $ AE $ 的长.
(3)【拓展应用】在菱形 $ ABCD $ 中, $ AB = 6 $, $ E $ 为 $ CD $ 边上的三等分点, $ \angle D = 60^{\circ} $, 将 $ \triangle ADE $ 沿 $ AE $ 翻折得到 $ \triangle AFE $, 直线 $ EF $ 交 $ BC $ 于点 $ P $, 求 $ CP $ 的长. (可利用备用图探究)
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答案
