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1.下列长度的三条线段,能构成三角形的是（
A.1,3,4
B.2,2,7
C.4,5,7
D.3,3,6
C
）A.1,3,4
B.2,2,7
C.4,5,7
D.3,3,6
答案
1. C
解析
【分析】
要判断三条线段能否构成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们可以只比较较短两条线段的长度和与最长线段的长度：如果较短两边之和大于最长边，就能构成三角形；如果小于或等于最长边，就不能构成三角形，我们只需按这个规则逐个判断选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系，判断时优先比较较短两边之和与最长边的大小：
A选项：三条线段长为1，3，4，较短两边和为1+3=4，等于最长边4，不能构成三角形；
B选项：三条线段长为2，2，7，较短两边和为2+2=4，4＜7，小于最长边7，不能构成三角形；
C选项：三条线段长为4，5，7，较短两边和为4+5=9，9＞7，大于最长边7，满足三边关系，可以构成三角形；
D选项：三条线段长为3，3，6，较短两边和为3+3=6，等于最长边6，不能构成三角形。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，掌握简化判断的技巧可以快速得出答案，是考试中常见的送分类题型。
【难度系数】
0.9
要判断三条线段能否构成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们可以只比较较短两条线段的长度和与最长线段的长度：如果较短两边之和大于最长边，就能构成三角形；如果小于或等于最长边，就不能构成三角形，我们只需按这个规则逐个判断选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系，判断时优先比较较短两边之和与最长边的大小：
A选项：三条线段长为1，3，4，较短两边和为1+3=4，等于最长边4，不能构成三角形；
B选项：三条线段长为2，2，7，较短两边和为2+2=4，4＜7，小于最长边7，不能构成三角形；
C选项：三条线段长为4，5，7，较短两边和为4+5=9，9＞7，大于最长边7，满足三边关系，可以构成三角形；
D选项：三条线段长为3，3，6，较短两边和为3+3=6，等于最长边6，不能构成三角形。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，掌握简化判断的技巧可以快速得出答案，是考试中常见的送分类题型。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，点D在边AC上，$DE // BC$。若$∠ B=65°$，则$∠ ADE$的度数为 （
A.$125°$
B.$135°$
C.$145°$
D.$155°$
（第2题图）
（第4题图）
D
）A.$125°$
B.$135°$
C.$145°$
D.$155°$
（第2题图）
（第4题图）
答案
2. D
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是直角三角形，已知两个内角，可先利用三角形内角和定理求出∠C的度数；再结合DE//BC的条件，利用平行线的内错角相等得到∠EDC的度数；最后根据∠ADE与∠EDC互为邻补角，和为180°，即可求出∠ADE的度数。
【解析】
在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，$∠ B=65°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-90°-65°=25°$
$\because DE// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
$∠ EDC=∠ C=25°$
又$\because ∠ ADE$与$∠ EDC$互为邻补角，即$∠ ADE+∠ EDC=180°$，
$\therefore ∠ ADE=180°-∠ EDC=180°-25°=155°$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质；邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查几何基础定理的综合应用，解题的关键是理清图中角的位置关系，结合对应定理推导角的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是直角三角形，已知两个内角，可先利用三角形内角和定理求出∠C的度数；再结合DE//BC的条件，利用平行线的内错角相等得到∠EDC的度数；最后根据∠ADE与∠EDC互为邻补角，和为180°，即可求出∠ADE的度数。
【解析】
在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，$∠ B=65°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-90°-65°=25°$
$\because DE// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
$∠ EDC=∠ C=25°$
又$\because ∠ ADE$与$∠ EDC$互为邻补角，即$∠ ADE+∠ EDC=180°$，
$\therefore ∠ ADE=180°-∠ EDC=180°-25°=155°$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质；邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查几何基础定理的综合应用，解题的关键是理清图中角的位置关系，结合对应定理推导角的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.8
3.已知在$△ ABC$中，$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:7$，则$△ ABC$一定是（
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
B
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
答案
3. B
解析
【分析】
要判断三角形的类型，只需确定三角形中最大内角的度数即可，因为最大内角的类型决定了三角形的类型。已知三个内角的度数比，结合三角形内角和为180°的定理，我们可以通过设参数的方式表示三个角的度数，列方程求出最大角的度数，进而判断三角形类型。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。
已知∠A:∠B:∠C=3:4:7，设∠A=3x，∠B=4x，∠C=7x（x＞0），可列方程：
$3x + 4x + 7x = 180°$
合并同类项得：$14x = 180°$
则最大角$∠ C=7x = 180°÷2 = 90°$
有一个角是直角的三角形是直角三角形，因此△ABC是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 三角形按角分类
【点评】
本题属于三角形的基础题型，解题核心是利用三角形内角和定理，结合角度比例关系求出最大内角的度数，进而判断三角形类型，解题时也可直接通过比例关系发现最大角占内角和的一半，快速得到最大角为90°。
【难度系数】
0.9
要判断三角形的类型，只需确定三角形中最大内角的度数即可，因为最大内角的类型决定了三角形的类型。已知三个内角的度数比，结合三角形内角和为180°的定理，我们可以通过设参数的方式表示三个角的度数，列方程求出最大角的度数，进而判断三角形类型。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。
已知∠A:∠B:∠C=3:4:7，设∠A=3x，∠B=4x，∠C=7x（x＞0），可列方程：
$3x + 4x + 7x = 180°$
合并同类项得：$14x = 180°$
则最大角$∠ C=7x = 180°÷2 = 90°$
有一个角是直角的三角形是直角三角形，因此△ABC是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 三角形按角分类
【点评】
本题属于三角形的基础题型，解题核心是利用三角形内角和定理，结合角度比例关系求出最大内角的度数，进而判断三角形类型，解题时也可直接通过比例关系发现最大角占内角和的一半，快速得到最大角为90°。
【难度系数】
0.9
4.如图，BP是∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P的度数为（
A.$30°$
B.$35°$
C.$25°$
D.$40°$
A
）A.$30°$
B.$35°$
C.$25°$
D.$40°$
答案
4. A
解析
【分析】
解题时先利用角平分线的定义，结合已知的角平分线分出的角的度数，先求出∠PBC和∠PCM的度数；再根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可知∠PCM是△PBC的外角，即∠PCM=∠PBC+∠P，代入已知角度即可求出∠P的度数。
【解析】
解：
∵BP是∠ABC的平分线，∠ABP=20°，
∴∠PBC=∠ABP=20°。
∵CP是△ABC外角∠ACM的平分线，∠ACP=50°，
∴∠PCM=∠ACP=50°。
∵∠PCM是△PBC的外角，根据三角形外角的性质可得：
∠PCM=∠PBC + ∠P，
∴∠P=∠PCM - ∠PBC=50° - 20°=30°。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和三角形外角的性质，通过角之间的数量关系建立等式求解，是角平分线和三角形外角结合的典型考题。
【难度系数】
0.7
解题时先利用角平分线的定义，结合已知的角平分线分出的角的度数，先求出∠PBC和∠PCM的度数；再根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可知∠PCM是△PBC的外角，即∠PCM=∠PBC+∠P，代入已知角度即可求出∠P的度数。
【解析】
解：
∵BP是∠ABC的平分线，∠ABP=20°，
∴∠PBC=∠ABP=20°。
∵CP是△ABC外角∠ACM的平分线，∠ACP=50°，
∴∠PCM=∠ACP=50°。
∵∠PCM是△PBC的外角，根据三角形外角的性质可得：
∠PCM=∠PBC + ∠P，
∴∠P=∠PCM - ∠PBC=50° - 20°=30°。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和三角形外角的性质，通过角之间的数量关系建立等式求解，是角平分线和三角形外角结合的典型考题。
【难度系数】
0.7
5. 学科融合·跨物理 如图,一束平行于主光轴(图中的虚线)的光线经凸透镜折射后,其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P,F为焦点.若∠1=150°,∠2=25°,则∠3的度数为 (
A.75°
B.65°
C.55°
D.45°
(第5题图)
(第6题图)
C
)A.75°
B.65°
C.55°
D.45°
(第5题图)
(第6题图)
答案
5. C
解析
【分析】
解题时首先结合凸透镜的特殊光线性质确定两条光线的传播规律：平行于主光轴的光线经折射后过焦点F，过光心的光线传播方向不变。再利用邻补角的性质求出折射光线与入射光线的锐角夹角，结合入射光线和主光轴平行的条件，得到折射光线与主光轴的夹角，最后通过角度和差关系计算∠3的度数即可。
【解析】
1. 根据凸透镜的光学规律：平行于主光轴的光线经凸透镜折射后过焦点F，因此光线1的折射光线经过点F；过光心O的光线传播方向不变，因此光线2经过光心后沿原直线传播。
2. 已知∠1=150°，则入射光线与折射光线的锐角夹角为$180°-150°=30°$，由于入射光线平行于主光轴，根据平行线的性质可得折射光线与主光轴的夹角为$30°$。
3. 已知光线2与主光轴的夹角$∠2=25°$，∠3为折射光线和过光心光线的夹角，因此$∠3=30°+25°=55°$。
【答案】
C
【知识点】
凸透镜特殊光线、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题属于跨学科融合题型，将物理光学规律和数学几何角度计算结合考查，需要学生熟练掌握基础的光学规律，同时能灵活运用几何角度关系求解，侧重对知识综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合凸透镜的特殊光线性质确定两条光线的传播规律：平行于主光轴的光线经折射后过焦点F，过光心的光线传播方向不变。再利用邻补角的性质求出折射光线与入射光线的锐角夹角，结合入射光线和主光轴平行的条件，得到折射光线与主光轴的夹角，最后通过角度和差关系计算∠3的度数即可。
【解析】
1. 根据凸透镜的光学规律：平行于主光轴的光线经凸透镜折射后过焦点F，因此光线1的折射光线经过点F；过光心O的光线传播方向不变，因此光线2经过光心后沿原直线传播。
2. 已知∠1=150°，则入射光线与折射光线的锐角夹角为$180°-150°=30°$，由于入射光线平行于主光轴，根据平行线的性质可得折射光线与主光轴的夹角为$30°$。
3. 已知光线2与主光轴的夹角$∠2=25°$，∠3为折射光线和过光心光线的夹角，因此$∠3=30°+25°=55°$。
【答案】
C
【知识点】
凸透镜特殊光线、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题属于跨学科融合题型，将物理光学规律和数学几何角度计算结合考查，需要学生熟练掌握基础的光学规律，同时能灵活运用几何角度关系求解，侧重对知识综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
6.如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AD$是高,$BE$是中线,$CF$是角平分线,$CF$交$AD$于点$G$,交$BE$于点$H$.有下列结论:①$BF=AF$;②$∠ AFG=∠ AGF$;③$∠ FAG=2∠ ACF$;④$S_{△ ABE}=S_{△ BCE}$;⑤$BH=CH$.其中正确的结论有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
B
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
6. B
解析
【分析】
我们可逐个判断5个结论是否正确：首先结合角平分线、中线、高的定义，利用直角三角形两锐角互余、等角的余角相等判断角的数量关系，再根据“等底同高的三角形面积相等”判断面积相关结论，最后结合已知条件判断线段相等是否成立。
【解析】
我们逐一分析每个结论：
1. 分析结论①：CF是△ABC的角平分线，不是AB边上的中线，无法推出$BF=AF$，故①错误；
2. 分析结论②：$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore ∠ AFG + ∠ ACF = 90°$。$\because AD$是$BC$边上的高，$\therefore ∠ ADC=90°$，$\therefore ∠ CGD + ∠ DCG = 90°$。$\because CF$是角平分线，$\therefore ∠ ACF=∠ DCG$，$\therefore ∠ AFG=∠ CGD$。又$\because ∠ CGD=∠ AGF$（对顶角相等），$\therefore ∠ AFG=∠ AGF$，故②正确；
3. 分析结论③：$\because ∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，$\therefore ∠ FAG$（即$∠ BAD$）$+ ∠ B = 90°$，$∠ ACB + ∠ B = 90°$，$\therefore ∠ FAG=∠ ACB$。$\because CF$平分$∠ ACB$，$\therefore ∠ ACB=2∠ ACF$，$\therefore ∠ FAG=2∠ ACF$，故③正确；
4. 分析结论④：$\because BE$是$AC$边上的中线，$\therefore AE=EC$。$△ ABE$和$△ BCE$以$AE$、$EC$为底时，高均为点$B$到$AC$的距离，根据三角形面积公式，等底同高的三角形面积相等，$\therefore S_{△ ABE}=S_{△ BCE}$，故④正确；
5. 分析结论⑤：若$BH=CH$，则需$∠ HBC=∠ HCB$，题中没有给出对应角相等的条件，无法推出该结论，故⑤错误。
综上，正确的结论是②③④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的性质；角平分线的定义；三角形中线的性质
【点评】
本题综合考查三角形中三线（角平分线、中线、高）的相关性质，需要灵活运用角的等量代换、三角形面积公式等知识逐一判断，解题时注意不要默认图形满足未给出的特殊条件。
【难度系数】
0.7
我们可逐个判断5个结论是否正确：首先结合角平分线、中线、高的定义，利用直角三角形两锐角互余、等角的余角相等判断角的数量关系，再根据“等底同高的三角形面积相等”判断面积相关结论，最后结合已知条件判断线段相等是否成立。
【解析】
我们逐一分析每个结论：
1. 分析结论①：CF是△ABC的角平分线，不是AB边上的中线，无法推出$BF=AF$，故①错误；
2. 分析结论②：$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore ∠ AFG + ∠ ACF = 90°$。$\because AD$是$BC$边上的高，$\therefore ∠ ADC=90°$，$\therefore ∠ CGD + ∠ DCG = 90°$。$\because CF$是角平分线，$\therefore ∠ ACF=∠ DCG$，$\therefore ∠ AFG=∠ CGD$。又$\because ∠ CGD=∠ AGF$（对顶角相等），$\therefore ∠ AFG=∠ AGF$，故②正确；
3. 分析结论③：$\because ∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，$\therefore ∠ FAG$（即$∠ BAD$）$+ ∠ B = 90°$，$∠ ACB + ∠ B = 90°$，$\therefore ∠ FAG=∠ ACB$。$\because CF$平分$∠ ACB$，$\therefore ∠ ACB=2∠ ACF$，$\therefore ∠ FAG=2∠ ACF$，故③正确；
4. 分析结论④：$\because BE$是$AC$边上的中线，$\therefore AE=EC$。$△ ABE$和$△ BCE$以$AE$、$EC$为底时，高均为点$B$到$AC$的距离，根据三角形面积公式，等底同高的三角形面积相等，$\therefore S_{△ ABE}=S_{△ BCE}$，故④正确；
5. 分析结论⑤：若$BH=CH$，则需$∠ HBC=∠ HCB$，题中没有给出对应角相等的条件，无法推出该结论，故⑤错误。
综上，正确的结论是②③④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的性质；角平分线的定义；三角形中线的性质
【点评】
本题综合考查三角形中三线（角平分线、中线、高）的相关性质，需要灵活运用角的等量代换、三角形面积公式等知识逐一判断，解题时注意不要默认图形满足未给出的特殊条件。
【难度系数】
0.7
7.照相机的底部用三脚架支撑着，这样做的依据是
三角形具有稳定性
。答案
7. 三角形具有稳定性
解析
【分析】
解题时先提取题目中的几何特征：三脚架的三个支撑脚与地面接触的点可构成三角形，再回忆三角形区别于其他多边形的特有性质，三角形相比四边形等多边形不易变形，有稳固的特点，对应三角形的稳定性这一性质，即可推导出答案。
【解析】
用三脚架支撑照相机时，三脚架的三个脚与地面的接触点共同形成了三角形结构，三角形具有稳定性，能够保持固定形状、不易发生形变晃动，可以稳定支撑照相机，因此该做法的依据是三角形具有稳定性。
【答案】
三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是数学知识结合生活实际的基础应用题，需要大家学会观察生活中的几何结构，将书本上的性质和实际场景对应，注重知识的实际应用。
【难度系数】
0.9
解题时先提取题目中的几何特征：三脚架的三个支撑脚与地面接触的点可构成三角形，再回忆三角形区别于其他多边形的特有性质，三角形相比四边形等多边形不易变形，有稳固的特点，对应三角形的稳定性这一性质，即可推导出答案。
【解析】
用三脚架支撑照相机时，三脚架的三个脚与地面的接触点共同形成了三角形结构，三角形具有稳定性，能够保持固定形状、不易发生形变晃动，可以稳定支撑照相机，因此该做法的依据是三角形具有稳定性。
【答案】
三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是数学知识结合生活实际的基础应用题，需要大家学会观察生活中的几何结构，将书本上的性质和实际场景对应，注重知识的实际应用。
【难度系数】
0.9
8.如图,在△ABC中,∠B=47°,∠C=23°,AD是△ABC的角平分线,则∠CAD的度数为
55°
。答案
8. 55°
解析
【分析】
要计算∠CAD的度数，首先根据角平分线的性质可知，角平分线将角分成两个相等的角，因此∠CAD=½∠BAC，所以需要先求出△ABC中∠BAC的度数。已知△ABC的两个内角∠B和∠C，根据三角形内角和为180°，即可求出∠BAC，再代入角平分线的数量关系就能得到∠CAD的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 47° - 23° = 110°
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×110° = 55°
【答案】
55°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，结合三角形内角和定理与角平分线的定义考察，计算量小，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要计算∠CAD的度数，首先根据角平分线的性质可知，角平分线将角分成两个相等的角，因此∠CAD=½∠BAC，所以需要先求出△ABC中∠BAC的度数。已知△ABC的两个内角∠B和∠C，根据三角形内角和为180°，即可求出∠BAC，再代入角平分线的数量关系就能得到∠CAD的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 47° - 23° = 110°
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×110° = 55°
【答案】
55°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，结合三角形内角和定理与角平分线的定义考察，计算量小，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
9.若$(a-3)^2 + \sqrt{b-5}=0$，则以$a,b$为边长的等腰三角形的周长为
11或13
。答案
9. 11或13
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步，根据平方和算术平方根的非负性，两个非负数相加为0时各自为0，可求出a、b的数值；第二步，等腰三角形的腰长未明确，需分腰长为a、腰长为b两种情况讨论；第三步，每种情况都要根据三角形三边关系判断能否构成三角形，符合条件的再计算周长，避免出现不符合实际的错误解。
【解析】
解：
∵ 偶次幂、算术平方根均为非负数，即$(a-3)^2≥0$，$\sqrt{b-5}≥0$，且两者和为0
∴ $\begin{cases}a-3=0\\b-5=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=3\\b=5\end{cases}$
接下来分两种情况讨论等腰三角形的边长：
① 当腰长为3，底边长为5时，三边长为3、3、5
验证三边关系：$3+3＞5$，满足三角形两边之和大于第三边，可构成三角形
周长为：$3+3+5=11$
② 当腰长为5，底边长为3时，三边长为5、5、3
验证三边关系：$3+5＞5$，满足三角形两边之和大于第三边，可构成三角形
周长为：$5+5+3=13$
综上，该等腰三角形的周长为11或13。
【答案】
11或13
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，解题时要注意分类讨论等腰三角形的腰长，同时必须验证三边是否满足三角形构成条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步，根据平方和算术平方根的非负性，两个非负数相加为0时各自为0，可求出a、b的数值；第二步，等腰三角形的腰长未明确，需分腰长为a、腰长为b两种情况讨论；第三步，每种情况都要根据三角形三边关系判断能否构成三角形，符合条件的再计算周长，避免出现不符合实际的错误解。
【解析】
解：
∵ 偶次幂、算术平方根均为非负数，即$(a-3)^2≥0$，$\sqrt{b-5}≥0$，且两者和为0
∴ $\begin{cases}a-3=0\\b-5=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=3\\b=5\end{cases}$
接下来分两种情况讨论等腰三角形的边长：
① 当腰长为3，底边长为5时，三边长为3、3、5
验证三边关系：$3+3＞5$，满足三角形两边之和大于第三边，可构成三角形
周长为：$3+3+5=11$
② 当腰长为5，底边长为3时，三边长为5、5、3
验证三边关系：$3+5＞5$，满足三角形两边之和大于第三边，可构成三角形
周长为：$5+5+3=13$
综上，该等腰三角形的周长为11或13。
【答案】
11或13
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，解题时要注意分类讨论等腰三角形的腰长，同时必须验证三边是否满足三角形构成条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
10.一副三角尺按如图所示的方式摆放，若$∠ 1=80°$，则$∠ 2$的度数是
95°
.答案
10. 95°
解析
【分析】
解题时可利用三角形内角和与对顶角相等的性质推导：首先观察图形，两个相交的三角形形成一组对顶角，根据三角形内角和为180°，对顶角相等，可得两个三角形中除对顶角外的另外两组内角之和相等，即∠1加45°的和等于∠2加30°的和，代入已知∠1的度数即可求出∠2。
【解析】
∵ 两个三角形相交形成的一组对顶角相等，且三角形内角和均为180°
∴ ∠1 + 45° = ∠2 + 30°
已知∠1=80°，代入得：
$80° + 45° = ∠2 + 30°$
∴ $∠2 = 125° - 30° = 95°$
【答案】
$95°$
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是三角板拼接类的角度计算基础题，解题核心是挖掘图形中隐含的对顶角相等、三角形内角和固定的等量关系，熟练掌握基础几何性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时可利用三角形内角和与对顶角相等的性质推导：首先观察图形，两个相交的三角形形成一组对顶角，根据三角形内角和为180°，对顶角相等，可得两个三角形中除对顶角外的另外两组内角之和相等，即∠1加45°的和等于∠2加30°的和，代入已知∠1的度数即可求出∠2。
【解析】
∵ 两个三角形相交形成的一组对顶角相等，且三角形内角和均为180°
∴ ∠1 + 45° = ∠2 + 30°
已知∠1=80°，代入得：
$80° + 45° = ∠2 + 30°$
∴ $∠2 = 125° - 30° = 95°$
【答案】
$95°$
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是三角板拼接类的角度计算基础题，解题核心是挖掘图形中隐含的对顶角相等、三角形内角和固定的等量关系，熟练掌握基础几何性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共54分)
11.(8分)如图,在$△ BCD$中,$CD=5$,$BD=7$.
(1)求$BC$的长的范围;
(2)作$AE// BD$,分别交$CB$,$CD$的延长线于点$A$,$E$,且$∠ A=55°$,$∠ BDE=115°$,求$∠ C$的度数.
11.(8分)如图,在$△ BCD$中,$CD=5$,$BD=7$.
(1)求$BC$的长的范围;
(2)作$AE// BD$,分别交$CB$,$CD$的延长线于点$A$,$E$,且$∠ A=55°$,$∠ BDE=115°$,求$∠ C$的度数.
答案
11. 解:(1)由题意,得 7−5＜BC＜7+5,
∴2＜BC＜12.
(2)
∵AE//BD,
∴∠CBD=∠A=55°.
∵∠BDE=115°,
∴∠C=∠BDE−∠CBD=60°.
∴2＜BC＜12.
(2)
∵AE//BD,
∴∠CBD=∠A=55°.
∵∠BDE=115°,
∴∠C=∠BDE−∠CBD=60°.
解析
【分析】
(1) 求解BC的取值范围，可直接运用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，将△BCD中已知的两条边长代入计算即可。
(2) 求∠C的度数，首先根据AE//BD的条件，利用平行线的同位角相等性质得到∠CBD的度数，再观察到∠BDE是△BCD的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，代入已知角度即可求出∠C。
【解析】
(1) 在△BCD中，已知CD=5，BD=7，根据三角形三边关系可得：
$BD - CD ＜ BC ＜ BD + CD$
代入数值计算得：$7 - 5 ＜ BC ＜ 7 + 5$
即$2 ＜ BC ＜ 12$。
(2)
∵AE//BD，根据两直线平行，同位角相等的性质，
∴$∠ CBD = ∠ A = 55°$，
∵$∠ BDE$是△BCD的外角，根据三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ BDE = ∠ C + ∠ CBD$，
∴$∠ C = ∠ BDE - ∠ CBD = 115° - 55° = 60°$。
【答案】
(1) $2＜BC＜12$；(2) $∠ C=60°$
【知识点】
三角形三边关系、平行线的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础综合题，主要考查三角形相关基础性质和平行线性质的应用，解题的关键是准确识别同位角、三角形外角的位置，熟练掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(1) 求解BC的取值范围，可直接运用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，将△BCD中已知的两条边长代入计算即可。
(2) 求∠C的度数，首先根据AE//BD的条件，利用平行线的同位角相等性质得到∠CBD的度数，再观察到∠BDE是△BCD的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，代入已知角度即可求出∠C。
【解析】
(1) 在△BCD中，已知CD=5，BD=7，根据三角形三边关系可得：
$BD - CD ＜ BC ＜ BD + CD$
代入数值计算得：$7 - 5 ＜ BC ＜ 7 + 5$
即$2 ＜ BC ＜ 12$。
(2)
∵AE//BD，根据两直线平行，同位角相等的性质，
∴$∠ CBD = ∠ A = 55°$，
∵$∠ BDE$是△BCD的外角，根据三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ BDE = ∠ C + ∠ CBD$，
∴$∠ C = ∠ BDE - ∠ CBD = 115° - 55° = 60°$。
【答案】
(1) $2＜BC＜12$；(2) $∠ C=60°$
【知识点】
三角形三边关系、平行线的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础综合题，主要考查三角形相关基础性质和平行线性质的应用，解题的关键是准确识别同位角、三角形外角的位置，熟练掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
