登录
10. 某抛物线形拱桥如图所示，已知该抛物线的函数解析式为 $y=-\dfrac{3}{16}x^2 + 10$，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面AB高为7 m的点E，F处各悬挂了一个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离EF为
8
m.答案
10. 8
解析
【分析】
解题时首先明确实际量与坐标系中坐标的对应关系：水面AB在x轴上，对应纵坐标y=0，距水面高7m的E、F两点纵坐标均为y=7；其次E、F在抛物线上，坐标满足抛物线解析式，将y=7代入解析式即可求出两点的横坐标；最后两点在同一水平线上，横坐标的差的绝对值就是两点的水平距离EF。
【解析】
解：由题意得，E、F两点距水面高7m，因此两点的纵坐标为$y=7$。
将$y=7$代入抛物线解析式$y=-\dfrac{3}{16}x^2 + 10$，可得：
$7 = -\dfrac{3}{16}x^2 + 10$
移项整理得：
$\dfrac{3}{16}x^2 = 3$
两边同时乘$\dfrac{16}{3}$得：
$x^2=16$
解得$x_1=4$，$x_2=-4$，即E点横坐标为-4，F点横坐标为4。
因此水平距离$EF=4 - (-4)=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的基础应用，核心是建立实际量与函数坐标的对应关系，代入解析式计算即可得到结果，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确实际量与坐标系中坐标的对应关系：水面AB在x轴上，对应纵坐标y=0，距水面高7m的E、F两点纵坐标均为y=7；其次E、F在抛物线上，坐标满足抛物线解析式，将y=7代入解析式即可求出两点的横坐标；最后两点在同一水平线上，横坐标的差的绝对值就是两点的水平距离EF。
【解析】
解：由题意得，E、F两点距水面高7m，因此两点的纵坐标为$y=7$。
将$y=7$代入抛物线解析式$y=-\dfrac{3}{16}x^2 + 10$，可得：
$7 = -\dfrac{3}{16}x^2 + 10$
移项整理得：
$\dfrac{3}{16}x^2 = 3$
两边同时乘$\dfrac{16}{3}$得：
$x^2=16$
解得$x_1=4$，$x_2=-4$，即E点横坐标为-4，F点横坐标为4。
因此水平距离$EF=4 - (-4)=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的基础应用，核心是建立实际量与函数坐标的对应关系，代入解析式计算即可得到结果，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
11. 如图，某游乐园要建造一个直径为30 m的圆形喷水池，并计划在水池周边安装一圈喷水头，每个喷水头出水口与水面等高，喷出的水柱在距池中心6 m处达到最高，高度为9 m，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为
5
m.答案
11. 5
解析
【分析】
要解决本题，需将水柱轨迹转化为二次函数模型求解：首先确定右侧抛物线的已知条件，圆形喷水池直径为30m，因此右边缘点C坐标为(15,0)；水柱在距池中心6m处达到最高9m，即右侧抛物线顶点为(6,9)。我们可先设二次函数的顶点式，代入点C坐标求出解析式，再将池中心x=0代入解析式，计算得到的y值就是装饰物的设计高度。
【解析】
设右侧抛物线的解析式为$ y=a(x-h)^2+k $，由题意得抛物线顶点坐标为$(6,9)$，因此解析式可写为：
$ y=a(x-6)^2+9 $
已知喷水池直径为30m，因此抛物线与x轴右交点C的坐标为$(15,0)$，将$(15,0)$代入解析式得：
$ 0=a(15-6)^2+9 $
$ 81a+9=0 $
解得$ a=-\frac{1}{9} $
因此右侧抛物线解析式为$ y=-\frac{1}{9}(x-6)^2+9 $
装饰物在池中心，即$ x=0 $处，将$ x=0 $代入解析式：
$ y=-\frac{1}{9}×(0-6)^2+9=-\frac{1}{9}×36 +9=-4+9=5 $
即装饰物设计高度为5m。
【答案】
5
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的应用问题，解题的核心是准确提取题目中的坐标信息，选择合适的二次函数表达式求解，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需将水柱轨迹转化为二次函数模型求解：首先确定右侧抛物线的已知条件，圆形喷水池直径为30m，因此右边缘点C坐标为(15,0)；水柱在距池中心6m处达到最高9m，即右侧抛物线顶点为(6,9)。我们可先设二次函数的顶点式，代入点C坐标求出解析式，再将池中心x=0代入解析式，计算得到的y值就是装饰物的设计高度。
【解析】
设右侧抛物线的解析式为$ y=a(x-h)^2+k $，由题意得抛物线顶点坐标为$(6,9)$，因此解析式可写为：
$ y=a(x-6)^2+9 $
已知喷水池直径为30m，因此抛物线与x轴右交点C的坐标为$(15,0)$，将$(15,0)$代入解析式得：
$ 0=a(15-6)^2+9 $
$ 81a+9=0 $
解得$ a=-\frac{1}{9} $
因此右侧抛物线解析式为$ y=-\frac{1}{9}(x-6)^2+9 $
装饰物在池中心，即$ x=0 $处，将$ x=0 $代入解析式：
$ y=-\frac{1}{9}×(0-6)^2+9=-\frac{1}{9}×36 +9=-4+9=5 $
即装饰物设计高度为5m。
【答案】
5
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的应用问题，解题的核心是准确提取题目中的坐标信息，选择合适的二次函数表达式求解，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
12. 掷实心球是初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目之一. 某男生在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线可近似看作一条抛物线，行进高度 $ y $（单位：m）与水平距离 $ x $（单位：m）之间的函数关系如图所示，已知该男生掷球时，实心球的起点高度是$\frac{5}{3}$ m，当水平距离为4 m时，实心球行进至最高点3 m处.
（1）求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式；
（2）根据初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于9.4 m，则此项考试得分为满分，按此评分标准，该生在此项考试中能否得满分，请说明理由.
（1）求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式；
（2）根据初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于9.4 m，则此项考试得分为满分，按此评分标准，该生在此项考试中能否得满分，请说明理由.
答案
12. 解（1）由题可知抛物线的顶点为（4，3）.
所以 $y=a(x-4)^2+3$. 把点$(0,\ \frac{5}{3})$代入解析式，得 $\frac{5}{3}=a(0-4)^2+3$，解得 $a=-\frac{1}{12}$. 所以 $y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$.
（2）该男生在此项考试中能得到满分. 理由如下：令 y=0，即 $0=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$.
解得 x₁=10，x₂=-2＜0（负值舍去）.
因为 10＞9.4，
所以该男生在此项考试中能得到满分.
所以 $y=a(x-4)^2+3$. 把点$(0,\ \frac{5}{3})$代入解析式，得 $\frac{5}{3}=a(0-4)^2+3$，解得 $a=-\frac{1}{12}$. 所以 $y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$.
（2）该男生在此项考试中能得到满分. 理由如下：令 y=0，即 $0=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$.
解得 x₁=10，x₂=-2＜0（负值舍去）.
因为 10＞9.4，
所以该男生在此项考试中能得到满分.
解析
【分析】
（1）已知抛物线的顶点坐标为$(4,3)$，优先选用顶点式设二次函数解析式，再将实心球起点坐标$(0,\frac{5}{3})$代入所设解析式，求出未知参数$a$即可得到函数解析式。
（2）实心球落地时高度$y=0$，因此令函数中$y=0$，求解对应一元二次方程的正根，即为实心球落地的水平距离，将该距离和满分标准9.4m比较，即可判断是否能得满分。
【解析】
（1）由题意得抛物线的顶点为$(4,3)$，设抛物线解析式为$y=a(x-4)^2+3(a≠0)$。
将点$(0,\frac{5}{3})$代入解析式得：
$\frac{5}{3}=a(0-4)^2+3$
解得$a=-\frac{1}{12}$
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$。
（2）该生能得满分，理由如下：
当实心球落地时$y=0$，令$y=0$得：
$0=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$
解方程得$x_1=10$，$x_2=-2$。
水平距离不能为负，舍去$x_2=-2$，即实心球落地的水平距离为10m。
因为$10＞9.4$，所以该生在此项考试中能得满分。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{12}(x-4)^2+3}$
（2）该生在此项考试中能得满分。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数实际应用；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题结合体育考试的实际场景考查二次函数的应用，解题核心是合理选择二次函数的解析式形式，掌握函数与方程的转化方法，能有效考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
（1）已知抛物线的顶点坐标为$(4,3)$，优先选用顶点式设二次函数解析式，再将实心球起点坐标$(0,\frac{5}{3})$代入所设解析式，求出未知参数$a$即可得到函数解析式。
（2）实心球落地时高度$y=0$，因此令函数中$y=0$，求解对应一元二次方程的正根，即为实心球落地的水平距离，将该距离和满分标准9.4m比较，即可判断是否能得满分。
【解析】
（1）由题意得抛物线的顶点为$(4,3)$，设抛物线解析式为$y=a(x-4)^2+3(a≠0)$。
将点$(0,\frac{5}{3})$代入解析式得：
$\frac{5}{3}=a(0-4)^2+3$
解得$a=-\frac{1}{12}$
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$。
（2）该生能得满分，理由如下：
当实心球落地时$y=0$，令$y=0$得：
$0=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$
解方程得$x_1=10$，$x_2=-2$。
水平距离不能为负，舍去$x_2=-2$，即实心球落地的水平距离为10m。
因为$10＞9.4$，所以该生在此项考试中能得满分。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{12}(x-4)^2+3}$
（2）该生在此项考试中能得满分。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数实际应用；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题结合体育考试的实际场景考查二次函数的应用，解题核心是合理选择二次函数的解析式形式，掌握函数与方程的转化方法，能有效考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
