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6. 某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为20元/kg，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（单位：kg）关于销售单价x（单位：元/kg）有如下关系：$y=-2x+80$。设这种产品每天的销售利润为W元.
（1）求W关于x的函数解析式.
（2）当该产品销售单价为多少时，每天的销售利润最大？最大销售利润是多少？
（3）如果这种产品的销售单价不得高于28元/kg，那么该农户想要每天获得150元的销售利润，销售单价应为多少？
（1）求W关于x的函数解析式.
（2）当该产品销售单价为多少时，每天的销售利润最大？最大销售利润是多少？
（3）如果这种产品的销售单价不得高于28元/kg，那么该农户想要每天获得150元的销售利润，销售单价应为多少？
答案
6. 解（1）由题意得 W = (x-20)y = (x-20)(-2x+80) = -2x²+120x-1 600.
故 W 关于 x 的函数解析式为 W = -2x²+120x-1 600.
（2）W = -2x²+120x-1 600 = -2(x-30)²+200. 由 a = -2＜0 知，当 x=30 时，W 有最大值，最大值为 200.
故当产品销售单价为 30 元/kg 时，每天的销售利润最大，最大销售利润为 200 元.
（3）当 W=150 时，可得方程 -2(x-30)²+200=150. 解得 x₁=25，x₂=35. 因为 35＞28，所以 x₂=35 不符合题意，舍去.
故该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售单价应为 25 元/kg.
故 W 关于 x 的函数解析式为 W = -2x²+120x-1 600.
（2）W = -2x²+120x-1 600 = -2(x-30)²+200. 由 a = -2＜0 知，当 x=30 时，W 有最大值，最大值为 200.
故当产品销售单价为 30 元/kg 时，每天的销售利润最大，最大销售利润为 200 元.
（3）当 W=150 时，可得方程 -2(x-30)²+200=150. 解得 x₁=25，x₂=35. 因为 35＞28，所以 x₂=35 不符合题意，舍去.
故该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售单价应为 25 元/kg.
解析
【分析】
（1）首先明确销售利润的计算逻辑：总利润=每千克利润×销售量，其中每千克利润=销售单价-成本价。已知成本价、销售量与销售单价的关系式，将对应量代入总利润公式展开化简，即可得到W关于x的函数解析式。
（2）第一问所得W是关于x的二次函数，求最值时先将一般式通过配方法转化为顶点式，结合二次项系数的正负判断抛物线开口方向，开口向下时顶点处取得最大值，顶点的横坐标即为最优销售单价，纵坐标即为最大利润。
（3）已知目标利润为150元，令W=150代入函数解析式得到一元二次方程，求解后结合“销售单价不得高于28元/kg”的限制条件，舍去不符合要求的解，剩余解即为所求销售单价。
【解析】
（1）根据总利润计算公式，已知成本价为20元/kg，销售量$y=-2x+80$，可得：
$\begin{aligned}W&=(x-20)y\\&=(x-20)(-2x+80)\\&=-2x^2+120x-1600\end{aligned}$
（2）将W的一般式配方为顶点式：
$\begin{aligned}W&=-2x^2+120x-1600\\&=-2(x-30)^2+200\end{aligned}$
∵二次项系数$a=-2＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=30$时，W取得最大值，最大值为200。
（3）当$W=150$时，代入解析式得：
$-2(x-30)^2+200=150$
整理得$(x-30)^2=25$，解得$x_1=25$，$x_2=35$。
∵销售单价不得高于28元/kg，$35＞28$，故舍去$x_2=35$。
【答案】
（1）$W=-2x^2+120x-1600$；
（2）当销售单价为30元/kg时，每天的销售利润最大，最大销售利润为200元；
（3）销售单价应为25元/kg。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值，一元二次方程求解
【点评】
本题是销售场景下的函数应用题，核心是将实际数量关系转化为数学函数模型，解题时要注意结合实际限制条件对解进行验证取舍，能有效锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确销售利润的计算逻辑：总利润=每千克利润×销售量，其中每千克利润=销售单价-成本价。已知成本价、销售量与销售单价的关系式，将对应量代入总利润公式展开化简，即可得到W关于x的函数解析式。
（2）第一问所得W是关于x的二次函数，求最值时先将一般式通过配方法转化为顶点式，结合二次项系数的正负判断抛物线开口方向，开口向下时顶点处取得最大值，顶点的横坐标即为最优销售单价，纵坐标即为最大利润。
（3）已知目标利润为150元，令W=150代入函数解析式得到一元二次方程，求解后结合“销售单价不得高于28元/kg”的限制条件，舍去不符合要求的解，剩余解即为所求销售单价。
【解析】
（1）根据总利润计算公式，已知成本价为20元/kg，销售量$y=-2x+80$，可得：
$\begin{aligned}W&=(x-20)y\\&=(x-20)(-2x+80)\\&=-2x^2+120x-1600\end{aligned}$
（2）将W的一般式配方为顶点式：
$\begin{aligned}W&=-2x^2+120x-1600\\&=-2(x-30)^2+200\end{aligned}$
∵二次项系数$a=-2＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=30$时，W取得最大值，最大值为200。
（3）当$W=150$时，代入解析式得：
$-2(x-30)^2+200=150$
整理得$(x-30)^2=25$，解得$x_1=25$，$x_2=35$。
∵销售单价不得高于28元/kg，$35＞28$，故舍去$x_2=35$。
【答案】
（1）$W=-2x^2+120x-1600$；
（2）当销售单价为30元/kg时，每天的销售利润最大，最大销售利润为200元；
（3）销售单价应为25元/kg。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值，一元二次方程求解
【点评】
本题是销售场景下的函数应用题，核心是将实际数量关系转化为数学函数模型，解题时要注意结合实际限制条件对解进行验证取舍，能有效锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
7. 飞机着陆后滑行的距离$s$（单位：m）关于滑行的时间$t$（单位：s）的函数解析式是$s=-1.8t^2+72t$。此飞机着陆后到停止需滑行（
A.18 s
B.20 s
C.40 s
D.72 s
B
）A.18 s
B.20 s
C.40 s
D.72 s
答案
7. B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确飞机着陆后到停止的状态：飞机停止时滑行的距离达到最大值，之后不会再继续滑行。已知滑行距离s是关于时间t的二次函数，且二次项系数为负，函数图像开口向下，因此当t取二次函数顶点的横坐标时，s取得最大值，对应的t就是飞机着陆后到停止需要滑行的时间，我们可以利用二次函数顶点横坐标公式求解。
【解析】
已知滑行距离的函数解析式为$s=-1.8t^2+72t$，其中二次项系数$a=-1.8＜0$，因此该函数图像开口向下，存在最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其顶点的横坐标为$t=-\frac{b}{2a}$，此处$a=-1.8$，$b=72$，代入可得：
$t=-\frac{72}{2×(-1.8)}=\frac{72}{3.6}=20(\mathrm{s})$
即飞机着陆后20s时滑行距离最大，此时飞机停止。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数最值求解
【点评】
本题结合飞机滑行的实际场景考查二次函数的应用，解题的关键是将“飞机停止滑行”的实际条件转化为“二次函数取最大值”的数学问题，再利用二次函数的性质计算即可，整体解题思路清晰，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确飞机着陆后到停止的状态：飞机停止时滑行的距离达到最大值，之后不会再继续滑行。已知滑行距离s是关于时间t的二次函数，且二次项系数为负，函数图像开口向下，因此当t取二次函数顶点的横坐标时，s取得最大值，对应的t就是飞机着陆后到停止需要滑行的时间，我们可以利用二次函数顶点横坐标公式求解。
【解析】
已知滑行距离的函数解析式为$s=-1.8t^2+72t$，其中二次项系数$a=-1.8＜0$，因此该函数图像开口向下，存在最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其顶点的横坐标为$t=-\frac{b}{2a}$，此处$a=-1.8$，$b=72$，代入可得：
$t=-\frac{72}{2×(-1.8)}=\frac{72}{3.6}=20(\mathrm{s})$
即飞机着陆后20s时滑行距离最大，此时飞机停止。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数最值求解
【点评】
本题结合飞机滑行的实际场景考查二次函数的应用，解题的关键是将“飞机停止滑行”的实际条件转化为“二次函数取最大值”的数学问题，再利用二次函数的性质计算即可，整体解题思路清晰，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
8. 某地气象部门进行人工增雨作业，采用发射防雹增雨火箭弹的方式实施. 已知该炮弹的飞行高度$h$（单位：m）和飞行时间$t$（单位：s）的关系满足二次函数$h=at^2+bt$. 若此炮弹在第6 s与第12 s时的高度相等，则炮弹飞行高度最高的时间是（
A.第10 s
B.第9 s
C.第8 s
D.第7 s
B
）A.第10 s
B.第9 s
C.第8 s
D.第7 s
答案
8. B
解析
【分析】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题核心是利用二次函数的对称性求解。首先明确：炮弹飞行高度对应的二次函数图象开口向下，最高点对应函数的顶点，顶点横坐标就是高度最高的时间；已知两个时刻高度相等，说明这两个时刻对应的点关于抛物线的对称轴对称，对称轴就是两个时刻的平均值，计算出对称轴即可得到答案。
【解析】
∵ 飞行高度$h$与时间$t$的函数关系为二次函数$h=at^2+bt$，炮弹飞行时先上升到最高点后下落，因此该二次函数图象开口向下，最高高度对应函数图象的顶点，顶点的横坐标即为高度最高的时间。
又
∵ 炮弹在第6 s和第12 s时的高度相等，
∴ $t=6$和$t=12$对应的抛物线上的点关于对称轴对称，
∴ 抛物线的对称轴为直线$t=\frac{6+12}{2}=9$，
即炮弹飞行高度最高的时间是第9 s。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合人工增雨的实际场景考查二次函数的性质，不需要代入复杂计算，只需要利用对称点的特征求出对称轴即可快速解题，属于基础题，需熟练掌握二次函数图象性质在实际问题中的运用。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题核心是利用二次函数的对称性求解。首先明确：炮弹飞行高度对应的二次函数图象开口向下，最高点对应函数的顶点，顶点横坐标就是高度最高的时间；已知两个时刻高度相等，说明这两个时刻对应的点关于抛物线的对称轴对称，对称轴就是两个时刻的平均值，计算出对称轴即可得到答案。
【解析】
∵ 飞行高度$h$与时间$t$的函数关系为二次函数$h=at^2+bt$，炮弹飞行时先上升到最高点后下落，因此该二次函数图象开口向下，最高高度对应函数图象的顶点，顶点的横坐标即为高度最高的时间。
又
∵ 炮弹在第6 s和第12 s时的高度相等，
∴ $t=6$和$t=12$对应的抛物线上的点关于对称轴对称，
∴ 抛物线的对称轴为直线$t=\frac{6+12}{2}=9$，
即炮弹飞行高度最高的时间是第9 s。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合人工增雨的实际场景考查二次函数的性质，不需要代入复杂计算，只需要利用对称点的特征求出对称轴即可快速解题，属于基础题，需熟练掌握二次函数图象性质在实际问题中的运用。
【难度系数】
0.8
9. 如图，在一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高2.2 m，与篮筐中心的水平距离为8 m，当球出手后水平距离为4 m时到达最大高度4 m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮筐中心距离地面3 m. 运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球命中，运动员应该（
A.跳得比开始高0.8 m
B.跳得比开始高0.4 m
C.跳得比开始低0.8 m
D.跳得比开始低0.4 m
A
）A.跳得比开始高0.8 m
B.跳得比开始高0.4 m
C.跳得比开始低0.8 m
D.跳得比开始低0.4 m
答案
9. A
解析
【分析】
这是一道二次函数在实际生活中的应用题，解题思路如下：①首先建立平面直角坐标系，根据已知的抛物线顶点坐标，设出抛物线的顶点式解析式；②利用原出手点坐标求出二次项系数a，因出手角度和力度不变，所以抛物线形状不变，a值不变；③利用抛物线的对称性可知，x=0（出手点位置）和x=8（篮筐水平位置）关于抛物线对称轴x=4对称，两点的纵坐标相等，因此要让x=8时纵坐标为3m，就需要出手点的纵坐标调整为3m；④计算调整后的出手高度和原出手高度的差值，即可得到结论。
【解析】
解：以运动员站立点的水平地面为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意可知，篮球运动轨迹的抛物线顶点坐标为(4,4)，设抛物线解析式为$ y=a(x-4)^2+4(a≠0) $。
将原出手点坐标(0,2.2)代入解析式得：
$ 2.2 = a(0-4)^2 + 4 $
解得$ a = -\frac{9}{80} $。
因为出手角度和力度不变，所以抛物线的二次项系数a不变，抛物线仅上下平移。
又因为抛物线对称轴为直线$ x=4 $，所以$ x=0 $和$ x=8 $关于对称轴对称，两点对应的函数值相等。
要使球命中篮筐，即$ x=8 $时$ y=3 $，因此调整后出手点$ x=0 $时的y值也为3m。
原出手高度为2.2m，所以需要调高的高度为$ 3 - 2.2 = 0.8\ \mathrm{m} $，即跳得比开始高0.8m。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数对称性；二次函数实际应用
【点评】
本题结合投篮的生活场景考查二次函数的应用，解题的关键是抓住“出手角度和力度不变则抛物线形状不变”这一条件，灵活运用抛物线的对称性简化计算，能有效考查学生构建数学模型解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
这是一道二次函数在实际生活中的应用题，解题思路如下：①首先建立平面直角坐标系，根据已知的抛物线顶点坐标，设出抛物线的顶点式解析式；②利用原出手点坐标求出二次项系数a，因出手角度和力度不变，所以抛物线形状不变，a值不变；③利用抛物线的对称性可知，x=0（出手点位置）和x=8（篮筐水平位置）关于抛物线对称轴x=4对称，两点的纵坐标相等，因此要让x=8时纵坐标为3m，就需要出手点的纵坐标调整为3m；④计算调整后的出手高度和原出手高度的差值，即可得到结论。
【解析】
解：以运动员站立点的水平地面为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意可知，篮球运动轨迹的抛物线顶点坐标为(4,4)，设抛物线解析式为$ y=a(x-4)^2+4(a≠0) $。
将原出手点坐标(0,2.2)代入解析式得：
$ 2.2 = a(0-4)^2 + 4 $
解得$ a = -\frac{9}{80} $。
因为出手角度和力度不变，所以抛物线的二次项系数a不变，抛物线仅上下平移。
又因为抛物线对称轴为直线$ x=4 $，所以$ x=0 $和$ x=8 $关于对称轴对称，两点对应的函数值相等。
要使球命中篮筐，即$ x=8 $时$ y=3 $，因此调整后出手点$ x=0 $时的y值也为3m。
原出手高度为2.2m，所以需要调高的高度为$ 3 - 2.2 = 0.8\ \mathrm{m} $，即跳得比开始高0.8m。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数对称性；二次函数实际应用
【点评】
本题结合投篮的生活场景考查二次函数的应用，解题的关键是抓住“出手角度和力度不变则抛物线形状不变”这一条件，灵活运用抛物线的对称性简化计算，能有效考查学生构建数学模型解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
