登录
1.计算:(1)$(2a - b)(b + 2a) = \_\_\_\_\_\_$;
(2)$(-3x + 2)^2 = \_\_\_\_\_\_$.
(2)$(-3x + 2)^2 = \_\_\_\_\_\_$.
答案
(1) $4a^2 - b^2$ (2) $9x^2 - 12x + 4$
解析
【分析】
(1) 观察式子$(2a - b)(b + 2a)$，可调整因式顺序为$(2a - b)(2a + b)$，符合平方差公式的结构特征：两个数的和与这两个数的差相乘，只需找出相同项$2a$和相反项$b$，代入平方差公式即可快速计算。
(2) 式子$(-3x + 2)^2$是两数和的平方形式，符合完全平方公式的结构特征，确定公式中对应的项后代入展开，注意系数和符号的运算规则即可。
【解析】
(1) 利用平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2 - n^2$计算：
$\begin{aligned}(2a - b)(b + 2a)&=(2a - b)(2a + b)\\&=(2a)^2 - b^2\\&=4a^2 - b^2\end{aligned}$
(2) 利用完全平方公式$(m+n)^2=m^2 + 2mn + n^2$计算：
$\begin{aligned}(-3x + 2)^2&=(-3x)^2 + 2×(-3x)×2 + 2^2\\&=9x^2 - 12x + 4\end{aligned}$
【答案】
(1) $4a^2 - b^2$；(2) $9x^2 - 12x + 4$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查乘法公式的基础运用，解题核心是准确识别式子对应的公式结构，计算时要注意系数的平方运算以及符号处理，避免因漏算系数或符号错误失分。
【难度系数】
0.8
(1) 观察式子$(2a - b)(b + 2a)$，可调整因式顺序为$(2a - b)(2a + b)$，符合平方差公式的结构特征：两个数的和与这两个数的差相乘，只需找出相同项$2a$和相反项$b$，代入平方差公式即可快速计算。
(2) 式子$(-3x + 2)^2$是两数和的平方形式，符合完全平方公式的结构特征，确定公式中对应的项后代入展开，注意系数和符号的运算规则即可。
【解析】
(1) 利用平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2 - n^2$计算：
$\begin{aligned}(2a - b)(b + 2a)&=(2a - b)(2a + b)\\&=(2a)^2 - b^2\\&=4a^2 - b^2\end{aligned}$
(2) 利用完全平方公式$(m+n)^2=m^2 + 2mn + n^2$计算：
$\begin{aligned}(-3x + 2)^2&=(-3x)^2 + 2×(-3x)×2 + 2^2\\&=9x^2 - 12x + 4\end{aligned}$
【答案】
(1) $4a^2 - b^2$；(2) $9x^2 - 12x + 4$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查乘法公式的基础运用，解题核心是准确识别式子对应的公式结构，计算时要注意系数的平方运算以及符号处理，避免因漏算系数或符号错误失分。
【难度系数】
0.8
2. 计算:
(1) $(a-\dfrac{1}{4})(-a-\dfrac{1}{4})$;
(2) $(-mn-1)^2$;
(3) $-(1-m-n)(1+m+n)$.
(1) $(a-\dfrac{1}{4})(-a-\dfrac{1}{4})$;
(2) $(-mn-1)^2$;
(3) $-(1-m-n)(1+m+n)$.
答案
2. 解:(1) 原式$=(-\dfrac{1}{4})^2 -a^2 =\dfrac{1}{16}-a^2$. (2) 原式$=[-(mn+1)]^2=(mn+1)^2=m^2n^2+2mn+1$. (3) 原式$=-[1-(m+n)][1+(m+n)]=-[1^2-(m+n)^2]=-(1-m^2-2mn-n^2)=-1+m^2+2mn+n^2$.
解析
【分析】
这三道题均考查乘法公式的灵活运用，解题时先观察式子结构，通过变形凑出乘法公式的标准形式再计算：
(1) 观察两个因式，相同项是$-\frac{1}{4}$，相反项是$a$和$-a$，可以直接套用平方差公式计算；
(2) 底数是带负号的多项式，可先提取负号，利用平方的非负性消去负号，再套用完全平方公式展开；
(3) 把后两个因式中的$m+n$看作一个整体，可将原式转化为平方差公式的标准形式，先算平方差，再展开完全平方、去括号得到最终结果。
【解析】
(1) 原式符合平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$的形式，其中相同项$x=-\frac{1}{4}$，相反项$y=a$，因此：
原式$=(-\dfrac{1}{4})^2 -a^2 =\dfrac{1}{16}-a^2$
(2) 先提取底数的负号，利用平方运算的性质消去负号，再套用完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，其中$x=mn$，$y=1$，因此：
原式$=[-(mn+1)]^2=(mn+1)^2=m^2n^2+2mn+1$
(3) 将$m+n$看作整体，改写因式后先套用平方差公式，再展开完全平方、去括号：
原式$=-[1-(m+n)][1+(m+n)]=-[1^2-(m+n)^2]=-(1-m^2-2mn-n^2)=-1+m^2+2mn+n^2$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{16}-a^2$
(2) $m^2n^2+2mn+1$
(3) $-1+m^2+2mn+n^2$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 完全平方公式
3. 整式混合运算
【点评】
本题侧重考查乘法公式的灵活运用，解题的核心是准确识别式子的结构特征，必要时运用整体思想将代数式转化为乘法公式的标准形式，计算过程中要注意符号变化，避免去括号、乘方运算时出现符号错误。
【难度系数】
0.75
这三道题均考查乘法公式的灵活运用，解题时先观察式子结构，通过变形凑出乘法公式的标准形式再计算：
(1) 观察两个因式，相同项是$-\frac{1}{4}$，相反项是$a$和$-a$，可以直接套用平方差公式计算；
(2) 底数是带负号的多项式，可先提取负号，利用平方的非负性消去负号，再套用完全平方公式展开；
(3) 把后两个因式中的$m+n$看作一个整体，可将原式转化为平方差公式的标准形式，先算平方差，再展开完全平方、去括号得到最终结果。
【解析】
(1) 原式符合平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$的形式，其中相同项$x=-\frac{1}{4}$，相反项$y=a$，因此：
原式$=(-\dfrac{1}{4})^2 -a^2 =\dfrac{1}{16}-a^2$
(2) 先提取底数的负号，利用平方运算的性质消去负号，再套用完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，其中$x=mn$，$y=1$，因此：
原式$=[-(mn+1)]^2=(mn+1)^2=m^2n^2+2mn+1$
(3) 将$m+n$看作整体，改写因式后先套用平方差公式，再展开完全平方、去括号：
原式$=-[1-(m+n)][1+(m+n)]=-[1^2-(m+n)^2]=-(1-m^2-2mn-n^2)=-1+m^2+2mn+n^2$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{16}-a^2$
(2) $m^2n^2+2mn+1$
(3) $-1+m^2+2mn+n^2$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 完全平方公式
3. 整式混合运算
【点评】
本题侧重考查乘法公式的灵活运用，解题的核心是准确识别式子的结构特征，必要时运用整体思想将代数式转化为乘法公式的标准形式，计算过程中要注意符号变化，避免去括号、乘方运算时出现符号错误。
【难度系数】
0.75
3. 用简便方法计算：
(1) $196^2$；
(2) $219^2 - 218 × 220$.
(1) $196^2$；
(2) $219^2 - 218 × 220$.
答案
3. 解:(1) 原式$=(200-4)^2=200^2-2×200×4+4^2=40000-1600+16=38416$. (2) 原式$=219^2-(219-1)(219+1)=219^2-(219^2-1^2)=219^2-219^2+1^2=1$.
解析
【分析】
(1) 观察到196接近整百数200，可将196改写为200-4的形式，利用完全平方差公式展开计算，避免直接计算大数乘法的繁琐运算。(2) 观察到218和220分别是与219相邻的两个数，可将218写为219-1、220写为219+1，二者的乘积刚好符合平方差公式的结构，展开后可与前面的$219^2$抵消，大幅简化计算。
【解析】
(1) 利用完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$计算：
$\begin{aligned}原式&=(200-4)^2\\&=200^2 - 2×200×4 + 4^2\\&=40000 - 1600 + 16\\&=38416\end{aligned}$
(2) 利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$计算：
$\begin{aligned}原式&=219^2 - (219-1)(219+1)\\&=219^2 - (219^2 - 1^2)\\&=219^2 - 219^2 + 1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{38416}$；(2) $\boxed{1}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式简便运算
【点评】
本题重点考查乘法公式在简便计算中的灵活应用，解题核心是观察数字特征，对原式做合理变形使其匹配乘法公式的结构，既能减少计算量，也能降低大数运算的出错概率，熟练掌握这类变形技巧可有效提升整式运算的效率。
【难度系数】
0.7
(1) 观察到196接近整百数200，可将196改写为200-4的形式，利用完全平方差公式展开计算，避免直接计算大数乘法的繁琐运算。(2) 观察到218和220分别是与219相邻的两个数，可将218写为219-1、220写为219+1，二者的乘积刚好符合平方差公式的结构，展开后可与前面的$219^2$抵消，大幅简化计算。
【解析】
(1) 利用完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$计算：
$\begin{aligned}原式&=(200-4)^2\\&=200^2 - 2×200×4 + 4^2\\&=40000 - 1600 + 16\\&=38416\end{aligned}$
(2) 利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$计算：
$\begin{aligned}原式&=219^2 - (219-1)(219+1)\\&=219^2 - (219^2 - 1^2)\\&=219^2 - 219^2 + 1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{38416}$；(2) $\boxed{1}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式简便运算
【点评】
本题重点考查乘法公式在简便计算中的灵活应用，解题核心是观察数字特征，对原式做合理变形使其匹配乘法公式的结构，既能减少计算量，也能降低大数运算的出错概率，熟练掌握这类变形技巧可有效提升整式运算的效率。
【难度系数】
0.7
4.计算：
(1)$(x^2y^2 + 1)^2 - (x^2y^2 - 1)^2$；
(2)$200^2 + 199^2 - 400×199$。
(1)$(x^2y^2 + 1)^2 - (x^2y^2 - 1)^2$；
(2)$200^2 + 199^2 - 400×199$。
答案
4. 解:(1) 原式$=[x^2y^2+1+(x^2y^2-1)][x^2y^2+1-(x^2y^2-1)]=2x^2y^2×2=4x^2y^2$. (2) 原式$=200^2-2×200×199+199^2=(200-199)^2=1$.
解析
【分析】
(1) 观察式子是两个平方相减的结构，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，无需直接展开两个完全平方，把$x^2y^2+1$看作公式中的$a$，$x^2y^2-1$看作公式中的$b$，套用平方差公式计算更简便。
(2) 观察式子含有$200^2$、$199^2$，可将$400×199$变形为$2×200×199$，刚好符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，套用公式计算可大幅简化运算，无需硬算平方值。
【解析】
(1) 套用平方差公式计算：
$\begin{aligned}原式&=[x^2y^2+1+(x^2y^2-1)][x^2y^2+1-(x^2y^2-1)]\\&=(x^2y^2+1+x^2y^2-1)(x^2y^2+1-x^2y^2+1)\\&=2x^2y^2×2\\&=4x^2y^2\end{aligned}$
(2) 变形后套用完全平方差公式计算：
$\begin{aligned}原式&=200^2-2×200×199+199^2\\&=(200-199)^2\\&=1^2\\&=1\end{aligned}$
【答案】
(1) $4x^2y^2$；(2) $1$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；乘法公式简便运算
【点评】
解题的核心是先观察式子的结构特征，匹配对应的乘法公式，可避免繁琐的直接展开运算，有效降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.75
(1) 观察式子是两个平方相减的结构，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，无需直接展开两个完全平方，把$x^2y^2+1$看作公式中的$a$，$x^2y^2-1$看作公式中的$b$，套用平方差公式计算更简便。
(2) 观察式子含有$200^2$、$199^2$，可将$400×199$变形为$2×200×199$，刚好符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，套用公式计算可大幅简化运算，无需硬算平方值。
【解析】
(1) 套用平方差公式计算：
$\begin{aligned}原式&=[x^2y^2+1+(x^2y^2-1)][x^2y^2+1-(x^2y^2-1)]\\&=(x^2y^2+1+x^2y^2-1)(x^2y^2+1-x^2y^2+1)\\&=2x^2y^2×2\\&=4x^2y^2\end{aligned}$
(2) 变形后套用完全平方差公式计算：
$\begin{aligned}原式&=200^2-2×200×199+199^2\\&=(200-199)^2\\&=1^2\\&=1\end{aligned}$
【答案】
(1) $4x^2y^2$；(2) $1$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；乘法公式简便运算
【点评】
解题的核心是先观察式子的结构特征，匹配对应的乘法公式，可避免繁琐的直接展开运算，有效降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.75
5. 计算:
(1)$(m-2)(m+2)(m^2 - 4)$;
(2)$(3x - y)(9x^2 + y^2)(3x + y)$;
(3)$2(3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1) - 3^8$.
(1)$(m-2)(m+2)(m^2 - 4)$;
(2)$(3x - y)(9x^2 + y^2)(3x + y)$;
(3)$2(3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1) - 3^8$.
答案
5. 解:(1) 原式$=(m^2-4)(m^2-4)=(m^2-4)^2=m^4-8m^2+16$. (2) 原式$=(3x-y)(3x+y)(9x^2+y^2)=(9x^2-y^2)(9x^2+y^2)=81x^4-y^4$. (3) 原式$=(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)-3^8=(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)-3^8=(3^4-1)(3^4+1)-3^8=3^8-1-3^8=-1$.
解析
【分析】
这三道题均考查整式乘法中乘法公式的灵活运用，解题思路如下：(1)先利用平方差公式计算前两个二项式的乘积，得到的结果与第三个因式完全相同，再利用完全平方公式展开即可；(2)观察发现$(3x-y)$和$(3x+y)$符合平方差公式的形式，因此先利用乘法交换律调整后两个因式的顺序，连续两次运用平方差公式计算；(3)注意到2可以写成$(3-1)$，构造出平方差公式的形式，之后连续多次运用平方差公式化简，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 先利用平方差公式计算前两个因式的乘积：
原式$=(m^2-4)(m^2-4)$
得到完全平方形式后展开：
$=(m^2-4)^2$
$=m^4-8m^2+16$
(2) 利用乘法交换律调整因式顺序，优先计算符合平方差公式的部分：
原式$=(3x-y)(3x+y)(9x^2+y^2)$
第一次运用平方差公式：
$=(9x^2-y^2)(9x^2+y^2)$
第二次运用平方差公式：
$=81x^4-y^4$
(3) 将系数2改写为$3-1$，构造平方差公式的适用条件：
原式$=(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)-3^8$
连续三次运用平方差公式化简：
$=(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)-3^8$
$=(3^4-1)(3^4+1)-3^8$
$=3^8-1-3^8$
合并同类项得：
$=-1$
【答案】
(1)$m^4-8m^2+16$；(2)$81x^4-y^4$；(3)$-1$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式简便运算
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活使用，通过调整运算顺序、对常数变形构造公式适用条件是解题的核心，熟练掌握乘法公式的结构特征可大幅提升运算效率与准确率。
【难度系数】
0.65
这三道题均考查整式乘法中乘法公式的灵活运用，解题思路如下：(1)先利用平方差公式计算前两个二项式的乘积，得到的结果与第三个因式完全相同，再利用完全平方公式展开即可；(2)观察发现$(3x-y)$和$(3x+y)$符合平方差公式的形式，因此先利用乘法交换律调整后两个因式的顺序，连续两次运用平方差公式计算；(3)注意到2可以写成$(3-1)$，构造出平方差公式的形式，之后连续多次运用平方差公式化简，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 先利用平方差公式计算前两个因式的乘积：
原式$=(m^2-4)(m^2-4)$
得到完全平方形式后展开：
$=(m^2-4)^2$
$=m^4-8m^2+16$
(2) 利用乘法交换律调整因式顺序，优先计算符合平方差公式的部分：
原式$=(3x-y)(3x+y)(9x^2+y^2)$
第一次运用平方差公式：
$=(9x^2-y^2)(9x^2+y^2)$
第二次运用平方差公式：
$=81x^4-y^4$
(3) 将系数2改写为$3-1$，构造平方差公式的适用条件：
原式$=(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)-3^8$
连续三次运用平方差公式化简：
$=(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)-3^8$
$=(3^4-1)(3^4+1)-3^8$
$=3^8-1-3^8$
合并同类项得：
$=-1$
【答案】
(1)$m^4-8m^2+16$；(2)$81x^4-y^4$；(3)$-1$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式简便运算
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活使用，通过调整运算顺序、对常数变形构造公式适用条件是解题的核心，熟练掌握乘法公式的结构特征可大幅提升运算效率与准确率。
【难度系数】
0.65
