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9 [2025杭州西湖二模]如图,在$△ ABC$中,点D在边BC上,$EG// BC$,分别交AB,AD,AC于点E,F,G,则下列式子成立的是 (
A.$\frac{AE}{EB}=\frac{EF}{BD}$
B.$\frac{EF}{BD}=\frac{FG}{DC}$
C.$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{EG}$
D.$\frac{AF}{FD}=\frac{AG}{AC}$
B
)A.$\frac{AE}{EB}=\frac{EF}{BD}$
B.$\frac{EF}{BD}=\frac{FG}{DC}$
C.$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{EG}$
D.$\frac{AF}{FD}=\frac{AG}{AC}$
答案
9.B
10 如图，在$□ ABCD$中，E为BC延长线上一点，AE交DC于点F，则图中共有
3
对相似三角形。答案
10.3
11 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点D在AB上,$CA=CD$,过点B作$BE⊥ CD$,交CD的延长线于点E.
(1) 求证:$△ ABC∽△ DBE$;
(2) 若$BC=5$,$BE=3$,求AC的长.
(1) 求证:$△ ABC∽△ DBE$;
(2) 若$BC=5$,$BE=3$,求AC的长.
答案
11. (1) 因为$∠ ACB=90°,BE⊥ CD$,所以$∠ ACB=∠ E=90°$. 因为$CA=CD$,所以$∠ A=∠ CDA$. 因为$∠ BDE=∠ CDA$,所以$∠ A=∠ BDE$. 所以$△ ABC ∽ △ DBE$
(2) 因为$∠ E=90°$,$BC=5$,$BE=3$,所以$CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$. 所以$DE=4-CD=4-AC$. 由(1),得$△ ABC ∽ △ DBE$,所以$\frac{AC}{DE}=\frac{BC}{BE}$,即$\frac{AC}{DE}=\frac{BC}{BE}$. 所以$\frac{AC}{5}=\frac{4-AC}{3}$. 所以$AC=\frac{5}{2}$
(2) 因为$∠ E=90°$,$BC=5$,$BE=3$,所以$CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$. 所以$DE=4-CD=4-AC$. 由(1),得$△ ABC ∽ △ DBE$,所以$\frac{AC}{DE}=\frac{BC}{BE}$,即$\frac{AC}{DE}=\frac{BC}{BE}$. 所以$\frac{AC}{5}=\frac{4-AC}{3}$. 所以$AC=\frac{5}{2}$
12 如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，$EF// BC$，$FG// AD$。求证：$\frac{AE}{AB}+\frac{CG}{CD}=1$。
答案
12. 因为 $EF // BC$,$FG // AD$,所以$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$,$\frac{CG}{CD}=\frac{CF}{CA}$. 所以$\frac{AE}{AB}+\frac{CG}{CD}=\frac{AF}{AC}+\frac{CF}{CA}=\frac{AC}{AC}=1$
13 方程思想 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,正方形DEFC的顶点D,E,F分别在AC,AB,BC上,连结AF交DE于点G,AC=15,BC=10,求GE的长.
答案
13. 因为四边形 DEFC 为正方形,所以$DE// CB$. 所以$△ ADE ∽ △ ACB$,$△ AGE ∽ △ AFB$. 所以$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{CB}=\frac{AE}{AB}$. 设正方形DEFC 的边长为 $x$,则$\frac{15-x}{15}=\frac{x}{10}$,所以 $x=6$. 因为$△ AGE ∽ △ AFB$,所以$\frac{AE}{AB}=\frac{GE}{FB}$. 又因为$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{15-6}{15}=\frac{3}{5}$,所以$\frac{GE}{10-6}=\frac{3}{5}$. 所以$GE=\frac{12}{5}$
