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1. 等边三角形的三个角都
并且每一个角都等于
相等
，并且每一个角都等于
$60°$
。答案
1. 相等 $60°$
解析
【分析】
解题时可结合已学的几何定理逐步推导：首先回忆等边三角形的定义和等腰三角形的性质，等边三角形是三条边都相等的特殊等腰三角形，根据“等边对等角”可推出三个角的大小关系；再结合三角形内角和为180°的定理，就能计算出每个角的具体度数。
【解析】
1. 由等边三角形的定义可知，等边三角形的三条边全部相等，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得等边三角形的三个角都相等；
2. 因为三角形的内角和为$180°$，且等边三角形三个角相等，因此每个角的度数为$180° ÷ 3 = 60°$。
【答案】
相等；$60°$
【知识点】
等边三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对基础知识的识记与简单推导能力的检验，等边三角形的相关性质是后续解决等边三角形相关几何题的基础，需牢固掌握。
【难度系数】
0.9
解题时可结合已学的几何定理逐步推导：首先回忆等边三角形的定义和等腰三角形的性质，等边三角形是三条边都相等的特殊等腰三角形，根据“等边对等角”可推出三个角的大小关系；再结合三角形内角和为180°的定理，就能计算出每个角的具体度数。
【解析】
1. 由等边三角形的定义可知，等边三角形的三条边全部相等，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得等边三角形的三个角都相等；
2. 因为三角形的内角和为$180°$，且等边三角形三个角相等，因此每个角的度数为$180° ÷ 3 = 60°$。
【答案】
相等；$60°$
【知识点】
等边三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对基础知识的识记与简单推导能力的检验，等边三角形的相关性质是后续解决等边三角形相关几何题的基础，需牢固掌握。
【难度系数】
0.9
2. 三个角都相等的三角形是
等边
三角形.答案
2. 等边
解析
【分析】
解题时可按照以下思路推导：首先回忆三角形内角和定理，明确三角形三个内角的和是180°；其次结合“三个角都相等”的条件，可推出每个角的度数，再依据“等角对等边”的性质，可得三个角对应的三条边长度相等；最后结合等边三角形的定义或判定定理，即可得出结论。也可直接调用等边三角形的判定定理直接作答。
【解析】
已知三角形的三个角都相等：
1. 根据三角形内角和为180°，可得每个内角的度数为 $180° ÷ 3 = 60°$；
2. 根据等腰三角形“等角对等边”的性质，三个相等的角分别对应的三条边也相等；
3. 三条边都相等的三角形是等边三角形，也可直接根据等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形，直接得出结果。
【答案】
等边
【知识点】
三角形内角和定理；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对特殊三角形判定规则的掌握情况，属于识记类基础题，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时可按照以下思路推导：首先回忆三角形内角和定理，明确三角形三个内角的和是180°；其次结合“三个角都相等”的条件，可推出每个角的度数，再依据“等角对等边”的性质，可得三个角对应的三条边长度相等；最后结合等边三角形的定义或判定定理，即可得出结论。也可直接调用等边三角形的判定定理直接作答。
【解析】
已知三角形的三个角都相等：
1. 根据三角形内角和为180°，可得每个内角的度数为 $180° ÷ 3 = 60°$；
2. 根据等腰三角形“等角对等边”的性质，三个相等的角分别对应的三条边也相等；
3. 三条边都相等的三角形是等边三角形，也可直接根据等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形，直接得出结果。
【答案】
等边
【知识点】
三角形内角和定理；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对特殊三角形判定规则的掌握情况，属于识记类基础题，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.9
3. 有一个角是
$60°$
的等腰三角形是等边三角形。答案
3. $60°$
解析
【分析】
解题时先回忆等腰三角形的性质和等边三角形的判定方法。我们知道等腰三角形两个底角相等，要判定它是等边三角形，需要证明三个内角都相等（都为60°）。我们可以分两种情况讨论这个已知角的位置：一种是该角为等腰三角形的顶角，另一种是该角为等腰三角形的底角，分别计算剩下的角的度数，验证是否所有角都是60°，就能得出结论。
【解析】
已知三角形为等腰三角形，设存在一个角为60°，分两种情况讨论：
1. 若该角是等腰三角形的顶角：
根据等腰三角形两底角相等的性质，两个底角的度数均为$\frac{180° - 60°}{2}=60°$，此时三角形三个内角均为60°，属于等边三角形。
2. 若该角是等腰三角形的底角：
则另一个底角也为60°，顶角的度数为$180° - 60° × 2 = 60°$，此时三角形三个内角也均为60°，属于等边三角形。
综上，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【答案】
$60°$
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对等边三角形判定定理的记忆和理解，解题时结合等腰三角形的性质分类讨论角的位置即可顺利得出结果，是对基础知识点掌握情况的直接检验。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆等腰三角形的性质和等边三角形的判定方法。我们知道等腰三角形两个底角相等，要判定它是等边三角形，需要证明三个内角都相等（都为60°）。我们可以分两种情况讨论这个已知角的位置：一种是该角为等腰三角形的顶角，另一种是该角为等腰三角形的底角，分别计算剩下的角的度数，验证是否所有角都是60°，就能得出结论。
【解析】
已知三角形为等腰三角形，设存在一个角为60°，分两种情况讨论：
1. 若该角是等腰三角形的顶角：
根据等腰三角形两底角相等的性质，两个底角的度数均为$\frac{180° - 60°}{2}=60°$，此时三角形三个内角均为60°，属于等边三角形。
2. 若该角是等腰三角形的底角：
则另一个底角也为60°，顶角的度数为$180° - 60° × 2 = 60°$，此时三角形三个内角也均为60°，属于等边三角形。
综上，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【答案】
$60°$
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对等边三角形判定定理的记忆和理解，解题时结合等腰三角形的性质分类讨论角的位置即可顺利得出结果，是对基础知识点掌握情况的直接检验。
【难度系数】
0.9
例 如图15.3-21，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD=BE=CF.求证：△DEF是等边三角形.
图15.3-21
证明 ∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∠A=∠B=∠C=60°.
∵AD=BE=CF，
∴AF=BD.
在△ADF和△BED中，
$\begin{cases} AD=BE, \\ ∠A=∠B, \\ AF=BD, \end{cases}$
∴△ADF≌△BED（SAS）.
∴FD=DE.
同理可证 DE = EF，∴ DE = FD = EF，
∴△DEF是等边三角形.
方法感悟 等边三角形的判定方法有：三条边相等、两个角是60°、有一个角是60°的等腰三角形.
图15.3-21
证明 ∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∠A=∠B=∠C=60°.
∵AD=BE=CF，
∴AF=BD.
在△ADF和△BED中，
$\begin{cases} AD=BE, \\ ∠A=∠B, \\ AF=BD, \end{cases}$
∴△ADF≌△BED（SAS）.
∴FD=DE.
同理可证 DE = EF，∴ DE = FD = EF，
∴△DEF是等边三角形.
方法感悟 等边三角形的判定方法有：三条边相等、两个角是60°、有一个角是60°的等腰三角形.
答案
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°。
∵AD=BE=CF，
∴AB-AD=BC-BE=AC-CF，
即BD=CE=AF。
在△ADF和△BED中，
$\begin{cases}AD=BE, \\∠A=∠B, \\AF=BD,\end{cases}$
∴△ADF≌△BED（SAS），
∴FD=DE。
同理可证△BED≌△CFE，得DE=EF。
∴DE=EF=FD，
∴△DEF是等边三角形。
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°。
∵AD=BE=CF，
∴AB-AD=BC-BE=AC-CF，
即BD=CE=AF。
在△ADF和△BED中，
$\begin{cases}AD=BE, \\∠A=∠B, \\AF=BD,\end{cases}$
∴△ADF≌△BED（SAS），
∴FD=DE。
同理可证△BED≌△CFE，得DE=EF。
∴DE=EF=FD，
∴△DEF是等边三角形。
解析
【分析】
要证明△DEF是等边三角形，可优先考虑证明它的三条边相等。首先由等边三角形的性质可知△ABC的三边相等、三个内角都为60°，结合已知AD=BE=CF，可推导出BD=CE=AF；再利用SAS判定定理证明△ADF、△BED、△CFE两两全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=EF=FD，即可判定△DEF是等边三角形。
【解析】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°。
∵AD=BE=CF，
∴AB-AD=BC-BE=AC-CF，
即BD=CE=AF。
在△ADF和△BED中，
$\begin{cases}AD=BE, \\∠A=∠B, \\AF=BD,\end{cases}$
∴△ADF≌△BED（SAS），
∴FD=DE。
同理可证△BED≌△CFE，得DE=EF。
∴DE=EF=FD，
∴△DEF是等边三角形。
【答案】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°。
∵AD=BE=CF，
∴AB-AD=BC-BE=AC-CF，
即BD=CE=AF。
在△ADF和△BED中，
$\begin{cases}AD=BE, \\∠A=∠B, \\AF=BD,\end{cases}$
∴△ADF≌△BED（SAS），
∴FD=DE。
同理可证△BED≌△CFE，得DE=EF。
∴DE=EF=FD，
∴△DEF是等边三角形。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是等边三角形相关的基础证明题，解题的关键是利用等边三角形的性质得到全等三角形判定所需的边角条件，通过证明三角形全等推导线段相等，进而完成等边三角形的判定，解题时需注意全等三角形的边角对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
要证明△DEF是等边三角形，可优先考虑证明它的三条边相等。首先由等边三角形的性质可知△ABC的三边相等、三个内角都为60°，结合已知AD=BE=CF，可推导出BD=CE=AF；再利用SAS判定定理证明△ADF、△BED、△CFE两两全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=EF=FD，即可判定△DEF是等边三角形。
【解析】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°。
∵AD=BE=CF，
∴AB-AD=BC-BE=AC-CF，
即BD=CE=AF。
在△ADF和△BED中，
$\begin{cases}AD=BE, \\∠A=∠B, \\AF=BD,\end{cases}$
∴△ADF≌△BED（SAS），
∴FD=DE。
同理可证△BED≌△CFE，得DE=EF。
∴DE=EF=FD，
∴△DEF是等边三角形。
【答案】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°。
∵AD=BE=CF，
∴AB-AD=BC-BE=AC-CF，
即BD=CE=AF。
在△ADF和△BED中，
$\begin{cases}AD=BE, \\∠A=∠B, \\AF=BD,\end{cases}$
∴△ADF≌△BED（SAS），
∴FD=DE。
同理可证△BED≌△CFE，得DE=EF。
∴DE=EF=FD，
∴△DEF是等边三角形。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是等边三角形相关的基础证明题，解题的关键是利用等边三角形的性质得到全等三角形判定所需的边角条件，通过证明三角形全等推导线段相等，进而完成等边三角形的判定，解题时需注意全等三角形的边角对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
1. 等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是（
A.有一个内角是$60°$
B.有一个外角是$120°$
C.有两个角相等
D.腰与底边相等
C
）.A.有一个内角是$60°$
B.有一个外角是$120°$
C.有两个角相等
D.腰与底边相等
答案
1. C
解析
【分析】
解题时先明确等边三角形的判定规则，结合等腰三角形本身的固有性质，逐一分析每个选项补充条件后是否必然能判定为等边三角形，最终选出“不一定成为等边三角形”的选项。思考逻辑：首先回忆等腰三角形已有的性质（两腰相等、两底角相等），再对应等边三角形的判定方法，逐个验证选项即可。
【解析】
已知题干给出的图形是等腰三角形，已满足“两腰相等、两个底角相等”的性质，逐一分析选项：
A. 若等腰三角形有一个内角是60°：若该角为顶角，两个底角均为$\frac{180°-60°}{2}=60°$；若该角为底角，顶角为$180°-2×60°=60°$，三个内角均为60°，一定是等边三角形，不符合题意。
B. 若等腰三角形有一个外角是120°，则对应的相邻内角为$180°-120°=60°$，和A选项情形一致，一定是等边三角形，不符合题意。
C. 等腰三角形本身就存在两个相等的底角，补充“有两个角相等”的条件后，仍然可能是普通等腰三角形（比如顶角为90°、两个底角为45°的等腰直角三角形），不一定是等边三角形，符合题意。
D. 等腰三角形两腰已经相等，若腰与底边相等，则三边长度全部相等，一定是等边三角形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；等边三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查等腰三角形与等边三角形的联系和区别，解题时要注意不要忽略等腰三角形本身自带的性质，只要熟练掌握两类三角形的性质与判定规则，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
解题时先明确等边三角形的判定规则，结合等腰三角形本身的固有性质，逐一分析每个选项补充条件后是否必然能判定为等边三角形，最终选出“不一定成为等边三角形”的选项。思考逻辑：首先回忆等腰三角形已有的性质（两腰相等、两底角相等），再对应等边三角形的判定方法，逐个验证选项即可。
【解析】
已知题干给出的图形是等腰三角形，已满足“两腰相等、两个底角相等”的性质，逐一分析选项：
A. 若等腰三角形有一个内角是60°：若该角为顶角，两个底角均为$\frac{180°-60°}{2}=60°$；若该角为底角，顶角为$180°-2×60°=60°$，三个内角均为60°，一定是等边三角形，不符合题意。
B. 若等腰三角形有一个外角是120°，则对应的相邻内角为$180°-120°=60°$，和A选项情形一致，一定是等边三角形，不符合题意。
C. 等腰三角形本身就存在两个相等的底角，补充“有两个角相等”的条件后，仍然可能是普通等腰三角形（比如顶角为90°、两个底角为45°的等腰直角三角形），不一定是等边三角形，符合题意。
D. 等腰三角形两腰已经相等，若腰与底边相等，则三边长度全部相等，一定是等边三角形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；等边三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查等腰三角形与等边三角形的联系和区别，解题时要注意不要忽略等腰三角形本身自带的性质，只要熟练掌握两类三角形的性质与判定规则，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
2. 如图15.3 - 22，在$△ ABC$中，$∠ A = 60°$，$AB = AC$，若$△ ABC$的周长为12，则$BC$的长为（
A.3
B.4
C.8
D.9
B
）。A.3
B.4
C.8
D.9
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，再结合∠A=60°，根据等边三角形的判定定理“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可确定△ABC为等边三角形，等边三角形三条边长度相等，已知三角形周长，将周长平均分成3份，每份的长度就是BC的长度。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°
∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
∴AB=AC=BC
∵△ABC的周长为12，即AB+AC+BC=12
∴3BC=12
解得BC=4
故选：B
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质；周长计算
【点评】
本题侧重考查等边三角形的判定与性质的应用，解题的关键是先根据已知条件判断三角形的类型，再结合周长定义求解，熟练掌握相关定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知条件入手：首先由AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，再结合∠A=60°，根据等边三角形的判定定理“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可确定△ABC为等边三角形，等边三角形三条边长度相等，已知三角形周长，将周长平均分成3份，每份的长度就是BC的长度。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°
∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
∴AB=AC=BC
∵△ABC的周长为12，即AB+AC+BC=12
∴3BC=12
解得BC=4
故选：B
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质；周长计算
【点评】
本题侧重考查等边三角形的判定与性质的应用，解题的关键是先根据已知条件判断三角形的类型，再结合周长定义求解，熟练掌握相关定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85
3. 如图15.3-23，一张等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则$∠α + ∠β$的度数是（
A.$180°$
B.$220°$
C.$240°$
D.$300°$
C
）。A.$180°$
B.$220°$
C.$240°$
D.$300°$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先回忆等边三角形的内角特点和四边形内角和公式：等边三角形三个内角均为60°，四边形内角和为360°。观察图形可知，剪去一个角得到的四边形中，除∠α和∠β外的另外两个内角，就是原等边三角形未被剪掉的两个内角，均为60°，因此用四边形内角和减去这两个60°的角，即可求出∠α+∠β的度数。
【解析】
解：
∵原三角形是等边三角形
∴原三角形的三个内角都等于60°，即得到的四边形中除∠α、∠β外的两个内角度数均为60°
∵四边形的内角和为$(4-2)×180°=360°$
∴$∠α + ∠β = 360° - 60° - 60° = 240°$
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；多边形内角和定理
【点评】
本题是基础计算题，解题的核心是准确找到剪去角后四边形中已知角的度数，结合多边形内角和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆等边三角形的内角特点和四边形内角和公式：等边三角形三个内角均为60°，四边形内角和为360°。观察图形可知，剪去一个角得到的四边形中，除∠α和∠β外的另外两个内角，就是原等边三角形未被剪掉的两个内角，均为60°，因此用四边形内角和减去这两个60°的角，即可求出∠α+∠β的度数。
【解析】
解：
∵原三角形是等边三角形
∴原三角形的三个内角都等于60°，即得到的四边形中除∠α、∠β外的两个内角度数均为60°
∵四边形的内角和为$(4-2)×180°=360°$
∴$∠α + ∠β = 360° - 60° - 60° = 240°$
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；多边形内角和定理
【点评】
本题是基础计算题，解题的核心是准确找到剪去角后四边形中已知角的度数，结合多边形内角和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.85
