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1. 某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润$y$(单位:元)与降价金额$x$(单位:元)之间满足函数关系式$y = -3x^2 + 60x + 950$，则获利最多为
1250
元.答案
1. 1250
解析
【分析】
本题是二次函数求实际最值的问题，首先观察利润的函数表达式是二次函数，二次项系数为-3小于0，因此函数图象开口向下，顶点处的函数值就是最大利润，可通过配方法或二次函数最值公式求解。
【解析】
方法一：配方法
对函数解析式变形：
$\begin{aligned}y&=-3x^2 + 60x + 950\\&=-3(x^2 - 20x) + 950\\&=-3(x^2 - 20x + 100 - 100) + 950\\&=-3[(x-10)^2 - 100] + 950\\&=-3(x-10)^2 + 300 + 950\\&=-3(x-10)^2 + 1250\end{aligned}$
因为$-3(x-10)^2≤0$，所以当$x=10$时，$y$取得最大值1250。
方法二：顶点最值公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时，函数最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
代入$a=-3,b=60,c=950$：
$\begin{aligned}y_{\mathrm{max}}&=\frac{4×(-3)×950 - 60^2}{4×(-3)}\\&=\frac{-11400 - 3600}{-12}\\&=\frac{-15000}{-12}\\&=1250\end{aligned}$
【答案】
1250
【知识点】
二次函数最值、配方法
【点评】
本题是二次函数在实际问题中的基础应用，解题关键是明确开口向下的二次函数顶点处取最大值，熟练掌握配方法或顶点最值公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数求实际最值的问题，首先观察利润的函数表达式是二次函数，二次项系数为-3小于0，因此函数图象开口向下，顶点处的函数值就是最大利润，可通过配方法或二次函数最值公式求解。
【解析】
方法一：配方法
对函数解析式变形：
$\begin{aligned}y&=-3x^2 + 60x + 950\\&=-3(x^2 - 20x) + 950\\&=-3(x^2 - 20x + 100 - 100) + 950\\&=-3[(x-10)^2 - 100] + 950\\&=-3(x-10)^2 + 300 + 950\\&=-3(x-10)^2 + 1250\end{aligned}$
因为$-3(x-10)^2≤0$，所以当$x=10$时，$y$取得最大值1250。
方法二：顶点最值公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时，函数最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
代入$a=-3,b=60,c=950$：
$\begin{aligned}y_{\mathrm{max}}&=\frac{4×(-3)×950 - 60^2}{4×(-3)}\\&=\frac{-11400 - 3600}{-12}\\&=\frac{-15000}{-12}\\&=1250\end{aligned}$
【答案】
1250
【知识点】
二次函数最值、配方法
【点评】
本题是二次函数在实际问题中的基础应用，解题关键是明确开口向下的二次函数顶点处取最大值，熟练掌握配方法或顶点最值公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 某水果店销售一批水果，平均每天可售出40 kg，每千克盈利4元，经调查发现，每千克降价0.5元，商店平均每天可多售出10 kg水果，则商店平均每天的最高利润为
180
元.答案
2. 180
解析
【分析】
这是销售利润的最值问题，解题核心是利用“总利润=每千克利润×销售量”的等量关系构建函数模型，再结合二次函数性质求最大值。首先设每千克降价x元，先分别表示出降价后的每千克盈利、总销售量，再列出总利润关于x的二次函数，最后计算二次函数的最大值即可。
【解析】
设每千克降价x元，商店平均每天的总利润为y元。
1. 表示相关量：
降价后每千克盈利为$\boldsymbol{(4-x)}$元；
每降价0.5元多售出10kg，降价x元后多售出的重量为$\frac{x}{0.5}×10=20x$ kg，因此总销售量为$\boldsymbol{(40+20x)}$ kg。
2. 列函数表达式：
根据总利润公式可得：
$y=(4-x)(40+20x)$
展开整理为二次函数一般式：
$y=-20x^2+40x+160$
3. 求最大值：
该二次函数中$a=-20＜0$，图像开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点坐标公式，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{40}{2×(-20)}=1$时，y取最大值。
将$x=1$代入函数得：
$y=-20×1^2+40×1+160=180$
【答案】
180
【知识点】
二次函数的应用、销售利润计算、二次函数最值
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题关键是找准数量关系列出正确的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，是考试中常考的实际应用类题型。
【难度系数】
0.7
这是销售利润的最值问题，解题核心是利用“总利润=每千克利润×销售量”的等量关系构建函数模型，再结合二次函数性质求最大值。首先设每千克降价x元，先分别表示出降价后的每千克盈利、总销售量，再列出总利润关于x的二次函数，最后计算二次函数的最大值即可。
【解析】
设每千克降价x元，商店平均每天的总利润为y元。
1. 表示相关量：
降价后每千克盈利为$\boldsymbol{(4-x)}$元；
每降价0.5元多售出10kg，降价x元后多售出的重量为$\frac{x}{0.5}×10=20x$ kg，因此总销售量为$\boldsymbol{(40+20x)}$ kg。
2. 列函数表达式：
根据总利润公式可得：
$y=(4-x)(40+20x)$
展开整理为二次函数一般式：
$y=-20x^2+40x+160$
3. 求最大值：
该二次函数中$a=-20＜0$，图像开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点坐标公式，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{40}{2×(-20)}=1$时，y取最大值。
将$x=1$代入函数得：
$y=-20×1^2+40×1+160=180$
【答案】
180
【知识点】
二次函数的应用、销售利润计算、二次函数最值
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题关键是找准数量关系列出正确的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，是考试中常考的实际应用类题型。
【难度系数】
0.7
3. (2025大庆)为推进我市“红色研学”文化旅游发展,大庆博物馆新推出A,B两种文创纪念品.已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元;4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元.一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成.规定:每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元(每套售价为整数).如果每套纪念品的售价为72元,那么每天可销售80套.经调查发现,每套纪念品的售价每降价1元,其销售量相应增加10套.设每天的利润为W(单位:元),每套纪念品的售价为a元(65≤a≤72且a为整数).
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本;
(2)求当a为何值时,每天的利润W最大.
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本;
(2)求当a为何值时,每天的利润W最大.
答案
3. 解:(1)设每个A纪念品成本x元,每个B纪念品的成本y元.
由题意,得$\begin{cases}2x + 3y = 155,\\4x + y = 135.\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 25,\\y = 35.\end{cases}$
答:每个A纪念品成本25元,每个B纪念品的成本35元.
(2)由题意,得$W = [a - (25 + 35)][80 + 10(72 - a)] = -10a^2 + 1 400a - 48 000.$
$\because -10 ＜ 0$,对称轴为直线$a = -\dfrac{1\ 400}{2×(-10)} = 70,65≤ a≤ 72$且a为整数,$\therefore$ 当$a = 70$时,W取最大值.
答:当$a = 70$时,每天的利润W最大.
由题意,得$\begin{cases}2x + 3y = 155,\\4x + y = 135.\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 25,\\y = 35.\end{cases}$
答:每个A纪念品成本25元,每个B纪念品的成本35元.
(2)由题意,得$W = [a - (25 + 35)][80 + 10(72 - a)] = -10a^2 + 1 400a - 48 000.$
$\because -10 ＜ 0$,对称轴为直线$a = -\dfrac{1\ 400}{2×(-10)} = 70,65≤ a≤ 72$且a为整数,$\therefore$ 当$a = 70$时,W取最大值.
答:当$a = 70$时,每天的利润W最大.
解析
【分析】
(1) 第一问求A、B两种纪念品的成本，存在两个未知量，题目给出两个明确的成本等量关系，因此可通过设二元一次方程组求解。
(2) 第二问求利润最大时的售价，需结合利润公式：总利润=单套利润×销售量。首先计算单套纪念品的成本，再根据售价和销量的变化关系列出利润关于售价a的二次函数，最后结合二次函数的开口方向、对称轴以及a的取值范围，即可求出利润最大时对应的a值。
【解析】
(1) 设每个A纪念品成本为x元，每个B纪念品的成本为y元。
由题意得：
$\begin{cases}2x + 3y = 155\\4x + y = 135\end{cases}$
用加减消元或代入消元法解方程组：将第二个方程变形为$y=135-4x$，代入第一个方程可得$2x+3(135-4x)=155$，解得$x=25$，再代入得$y=35$。
(2) 单套纪念品的成本为$25+35=60$元，售价为a元时，单套利润为$(a-60)$元；售价相比72元降低了$(72-a)$元，因此销售量为$80+10(72-a)$套。
总利润$W=(a-60)[80+10(72-a)]$，展开化简得：
$W=-10a^2 + 1400a - 48000$
$\because -10＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$a=-\frac{1400}{2×(-10)}=70$，且$65≤a≤72$，a为整数，70在取值范围内，因此当$a=70$时，W取最大值。
【答案】
(1) 每个A纪念品成本25元，每个B纪念品成本35元；
(2) 当$a=70$时，每天的利润W最大。
【知识点】
二元一次方程组的应用；销售利润计算；二次函数的性质
【点评】
本题结合文创销售的生活场景出题，既考查了方程组解决实际问题的基础能力，又考查了二次函数求最值的应用，解题时需注意自变量的取值范围对最值的影响，属于代数实际应用的常规题型。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问求A、B两种纪念品的成本，存在两个未知量，题目给出两个明确的成本等量关系，因此可通过设二元一次方程组求解。
(2) 第二问求利润最大时的售价，需结合利润公式：总利润=单套利润×销售量。首先计算单套纪念品的成本，再根据售价和销量的变化关系列出利润关于售价a的二次函数，最后结合二次函数的开口方向、对称轴以及a的取值范围，即可求出利润最大时对应的a值。
【解析】
(1) 设每个A纪念品成本为x元，每个B纪念品的成本为y元。
由题意得：
$\begin{cases}2x + 3y = 155\\4x + y = 135\end{cases}$
用加减消元或代入消元法解方程组：将第二个方程变形为$y=135-4x$，代入第一个方程可得$2x+3(135-4x)=155$，解得$x=25$，再代入得$y=35$。
(2) 单套纪念品的成本为$25+35=60$元，售价为a元时，单套利润为$(a-60)$元；售价相比72元降低了$(72-a)$元，因此销售量为$80+10(72-a)$套。
总利润$W=(a-60)[80+10(72-a)]$，展开化简得：
$W=-10a^2 + 1400a - 48000$
$\because -10＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$a=-\frac{1400}{2×(-10)}=70$，且$65≤a≤72$，a为整数，70在取值范围内，因此当$a=70$时，W取最大值。
【答案】
(1) 每个A纪念品成本25元，每个B纪念品成本35元；
(2) 当$a=70$时，每天的利润W最大。
【知识点】
二元一次方程组的应用；销售利润计算；二次函数的性质
【点评】
本题结合文创销售的生活场景出题，既考查了方程组解决实际问题的基础能力，又考查了二次函数求最值的应用，解题时需注意自变量的取值范围对最值的影响，属于代数实际应用的常规题型。
【难度系数】
0.7
4. 综合与实践：
【问题情境】小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A,B,C,D,E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
【数据整理】(1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
【模型建立】
(2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系.
【拓广应用】(3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中：
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少元时，每天能够获得最大利润？
【问题情境】小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A,B,C,D,E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
【数据整理】(1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
【模型建立】
(2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系.
【拓广应用】(3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中：
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少元时，每天能够获得最大利润？
答案
4. 解:(1)
| 售价/(元/盆) | 18 | 20 | 22 | 26 | 30 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 日销售量/盆 | 54 | 50 | 46 | 38 | 30 |
(2)由表格可知,售价每涨价2元,日销售量少4盆.
(3)设定价为x元.
①$\because$ 每天获得400元的利润,
$\therefore (x - 15)[54 - \dfrac{(x - 18)}{2}×4] = 400.$ 解得$x = 25$或$x = 35.$
答:要想每天获得400元的利润,定价为25元/盆或35元/盆.
②设每天获得的利润为w元. 根据题意,得
$w = (x - 15)[54 - \dfrac{(x - 18)}{2}×4] = -2x^2 + 120x - 1 350 = -2(x - 30)^2 + 450.$
$\because -2 ＜ 0,\therefore$ 当$x = 30$时,w取最大值.
答:售价定为每盆30元时,每天能够获得最大利润.
| 售价/(元/盆) | 18 | 20 | 22 | 26 | 30 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 日销售量/盆 | 54 | 50 | 46 | 38 | 30 |
(2)由表格可知,售价每涨价2元,日销售量少4盆.
(3)设定价为x元.
①$\because$ 每天获得400元的利润,
$\therefore (x - 15)[54 - \dfrac{(x - 18)}{2}×4] = 400.$ 解得$x = 25$或$x = 35.$
答:要想每天获得400元的利润,定价为25元/盆或35元/盆.
②设每天获得的利润为w元. 根据题意,得
$w = (x - 15)[54 - \dfrac{(x - 18)}{2}×4] = -2x^2 + 120x - 1 350 = -2(x - 30)^2 + 450.$
$\because -2 ＜ 0,\therefore$ 当$x = 30$时,w取最大值.
答:售价定为每盆30元时,每天能够获得最大利润.
解析
【分析】
1. 第(1)问为数据整理题，只需将收集到的售价按照从小到大的顺序排列，对应匹配各售价下的日销售量填入表格即可；
2. 第(2)问分析数据规律，通过计算相邻售价的差值和对应日销售量的差值，可总结出二者的变化关系，能判断日销售量是售价的一次函数；
3. 第(3)问为利润类应用题，核心等量关系为“总利润=单盆利润×日销售量”：①设定价为x元，先根据第(2)问的规律用含x的代数式表示日销售量，再结合总利润为400元列一元二次方程求解；②设总利润为w元，将w表示为关于x的二次函数，结合二次函数的开口方向，通过配方即可求出最大利润对应的售价。
【解析】
(1) 将售价按从小到大排序后，对应填写日销售量，表格如下：
| 售价/(元/盆) | 18 | 20 | 22 | 26 | 30 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 日销售量/盆 | 54 | 50 | 46 | 38 | 30 |
(2) 观察表格数据可知：售价每涨价2元，日销售量减少4盆，即日销售量随售价升高均匀降低，二者为一次函数关系。
(3) 设定价为$x$元。
① 单盆利润为$(x-15)$元，日销售量可表示为$54-\frac{(x-18)}{2}×4$盆，若每天获得400元利润，可列方程：
$(x - 15)[54 - \dfrac{(x - 18)}{2}×4] = 400$
整理求解得：$x = 25$或$x = 35$。
② 设每天获得的利润为$w$元，根据总利润公式可得：
$\begin{aligned}w &= (x - 15)[54 - \dfrac{(x - 18)}{2}×4] \\&= -2x^2 + 120x - 1350 \\&= -2(x - 30)^2 + 450\end{aligned}$
$\because -2 ＜ 0$，二次函数图象开口向下，$\therefore$ 当$x = 30$时，$w$取最大值。
【答案】
(1) 售价依次为18、20、22、26、30元/盆，对应日销售量依次为54、50、46、38、30盆；
(2) 售价每涨价2元，日销售量少4盆；
(3) ①定价为25元/盆或35元/盆；②售价定为每盆30元时，每天能够获得最大利润。
【知识点】
数据整理，一元二次方程的应用，二次函数的最值
【点评】
本题以实际销售场景为载体，综合考查了数据处理能力、方程与函数模型的建立能力，要求学生熟练掌握利润的计算逻辑，能灵活运用一元二次方程和二次函数的性质解决实际问题，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问为数据整理题，只需将收集到的售价按照从小到大的顺序排列，对应匹配各售价下的日销售量填入表格即可；
2. 第(2)问分析数据规律，通过计算相邻售价的差值和对应日销售量的差值，可总结出二者的变化关系，能判断日销售量是售价的一次函数；
3. 第(3)问为利润类应用题，核心等量关系为“总利润=单盆利润×日销售量”：①设定价为x元，先根据第(2)问的规律用含x的代数式表示日销售量，再结合总利润为400元列一元二次方程求解；②设总利润为w元，将w表示为关于x的二次函数，结合二次函数的开口方向，通过配方即可求出最大利润对应的售价。
【解析】
(1) 将售价按从小到大排序后，对应填写日销售量，表格如下：
| 售价/(元/盆) | 18 | 20 | 22 | 26 | 30 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 日销售量/盆 | 54 | 50 | 46 | 38 | 30 |
(2) 观察表格数据可知：售价每涨价2元，日销售量减少4盆，即日销售量随售价升高均匀降低，二者为一次函数关系。
(3) 设定价为$x$元。
① 单盆利润为$(x-15)$元，日销售量可表示为$54-\frac{(x-18)}{2}×4$盆，若每天获得400元利润，可列方程：
$(x - 15)[54 - \dfrac{(x - 18)}{2}×4] = 400$
整理求解得：$x = 25$或$x = 35$。
② 设每天获得的利润为$w$元，根据总利润公式可得：
$\begin{aligned}w &= (x - 15)[54 - \dfrac{(x - 18)}{2}×4] \\&= -2x^2 + 120x - 1350 \\&= -2(x - 30)^2 + 450\end{aligned}$
$\because -2 ＜ 0$，二次函数图象开口向下，$\therefore$ 当$x = 30$时，$w$取最大值。
【答案】
(1) 售价依次为18、20、22、26、30元/盆，对应日销售量依次为54、50、46、38、30盆；
(2) 售价每涨价2元，日销售量少4盆；
(3) ①定价为25元/盆或35元/盆；②售价定为每盆30元时，每天能够获得最大利润。
【知识点】
数据整理，一元二次方程的应用，二次函数的最值
【点评】
本题以实际销售场景为载体，综合考查了数据处理能力、方程与函数模型的建立能力，要求学生熟练掌握利润的计算逻辑，能灵活运用一元二次方程和二次函数的性质解决实际问题，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.6
