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1. 某位同学掷铅球，如果铅球掷出后离地面的高度$y$(单位:$\mathrm{m}$)关于掷出的水平距离$x$(单位:$\mathrm{m}$)的函数解析式为 $y=-\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$，那么铅球在运动过程中离地面的最大高度为 （
A.$\dfrac{13}{8}$ m
B.$\dfrac{13}{4}$ m
C.$1$ m
D.$2$ m
D
）A.$\dfrac{13}{8}$ m
B.$\dfrac{13}{4}$ m
C.$1$ m
D.$2$ m
答案
D
解析
【分析】
本题是二次函数在实际问题中的应用，求铅球的最大高度本质是求给定二次函数的最大值。首先观察二次项系数$a=-\frac{1}{8}＜0$，可知抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，因此只需计算二次函数顶点的纵坐标即可得到最大高度，可选择配方法或顶点坐标公式两种九年级阶段要求掌握的方法求解。
【解析】
我们用顶点坐标公式法求解：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时，函数的最大值为顶点的纵坐标，公式为$y_{\mathrm{max}}=\frac{4ac-b^2}{4a}$。
在函数$y=-\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$中，$a=-\dfrac{1}{8}$，$b=\dfrac{1}{2}$，$c=\dfrac{3}{2}$，代入公式计算：
1. 计算分子：$4ac-b^2=4×(-\frac{1}{8})×\frac{3}{2}-(\frac{1}{2})^2=-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=-1$
2. 计算分母：$4a=4×(-\frac{1}{8})=-\frac{1}{2}$
3. 代入得最大值：$\frac{-1}{-\frac{1}{2}}=2$，即铅球离地面的最大高度为2m。
也可用配方法验证：
将函数配方得$y=-\frac{1}{8}(x-2)^2+2$，因$-\frac{1}{8}＜0$，当$x=2$时$y$取最大值2。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数实际应用
【点评】
本题属于二次函数最值的基础应用题型，解题核心是将实际问题中的最大高度转化为开口向下的二次函数的顶点纵坐标，熟练掌握配方法或顶点坐标公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数在实际问题中的应用，求铅球的最大高度本质是求给定二次函数的最大值。首先观察二次项系数$a=-\frac{1}{8}＜0$，可知抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，因此只需计算二次函数顶点的纵坐标即可得到最大高度，可选择配方法或顶点坐标公式两种九年级阶段要求掌握的方法求解。
【解析】
我们用顶点坐标公式法求解：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时，函数的最大值为顶点的纵坐标，公式为$y_{\mathrm{max}}=\frac{4ac-b^2}{4a}$。
在函数$y=-\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$中，$a=-\dfrac{1}{8}$，$b=\dfrac{1}{2}$，$c=\dfrac{3}{2}$，代入公式计算：
1. 计算分子：$4ac-b^2=4×(-\frac{1}{8})×\frac{3}{2}-(\frac{1}{2})^2=-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=-1$
2. 计算分母：$4a=4×(-\frac{1}{8})=-\frac{1}{2}$
3. 代入得最大值：$\frac{-1}{-\frac{1}{2}}=2$，即铅球离地面的最大高度为2m。
也可用配方法验证：
将函数配方得$y=-\frac{1}{8}(x-2)^2+2$，因$-\frac{1}{8}＜0$，当$x=2$时$y$取最大值2。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数实际应用
【点评】
本题属于二次函数最值的基础应用题型，解题核心是将实际问题中的最大高度转化为开口向下的二次函数的顶点纵坐标，熟练掌握配方法或顶点坐标公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 如图，用长为12 m的木条做一个有一条横档的矩形窗户，为使透进的光线最多，窗户的高AB（木条粗细忽略不计）应为（
A.1 m
B.2 m
C.3 m
D.4 m
C
）A.1 m
B.2 m
C.3 m
D.4 m
答案
C
解析
【分析】
要使透进的光线最多，本质是让矩形窗户的面积最大。解题时先设AB的长度为未知数，结合木条总长度表示出窗户水平边的长度，再根据矩形面积公式列出面积关于AB长度的二次函数，最后利用二次函数的最值性质求解即可。
【解析】
设窗户的高AB为$x\ \mathrm{m}$，窗户的面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
由题意可知，窗户有2条长度为$x$的竖直边，3条等长的水平边，因此每条水平边的长度为$\frac{12-2x}{3}\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=x·\frac{12-2x}{3}\\&=-\frac{2}{3}x^2+4x\end{aligned}$
该二次函数中$a=-\frac{2}{3}＜0$，函数图象开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$S$取得最大值。
代入$a=-\frac{2}{3}$，$b=4$得：
$x=-\frac{4}{2×(-\frac{2}{3})}=3$
即当AB为3m时，窗户面积最大，透进的光线最多。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值应用；矩形面积计算；列函数关系式
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类题目，解题的核心是将“透进光线最多”的实际问题转化为“矩形面积最大”的数学问题，再结合二次函数的性质求解，侧重考查对基础知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
要使透进的光线最多，本质是让矩形窗户的面积最大。解题时先设AB的长度为未知数，结合木条总长度表示出窗户水平边的长度，再根据矩形面积公式列出面积关于AB长度的二次函数，最后利用二次函数的最值性质求解即可。
【解析】
设窗户的高AB为$x\ \mathrm{m}$，窗户的面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
由题意可知，窗户有2条长度为$x$的竖直边，3条等长的水平边，因此每条水平边的长度为$\frac{12-2x}{3}\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=x·\frac{12-2x}{3}\\&=-\frac{2}{3}x^2+4x\end{aligned}$
该二次函数中$a=-\frac{2}{3}＜0$，函数图象开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$S$取得最大值。
代入$a=-\frac{2}{3}$，$b=4$得：
$x=-\frac{4}{2×(-\frac{2}{3})}=3$
即当AB为3m时，窗户面积最大，透进的光线最多。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值应用；矩形面积计算；列函数关系式
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类题目，解题的核心是将“透进光线最多”的实际问题转化为“矩形面积最大”的数学问题，再结合二次函数的性质求解，侧重考查对基础知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图,一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线,喷水头的高度(即OB的长度)为1 m,水流能达到的最大高度为1.8 m,则水流喷射的最远水平距离OC是（
A.6 m
B.5 m
C.4 m
D.1 m
(第3题图)
(第4题图)
B
）A.6 m
B.5 m
C.4 m
D.1 m
(第3题图)
(第4题图)
答案
B
解析
【分析】
本题是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：首先根据抛物线的顶点坐标，设出二次函数的顶点式解析式；再代入已知的y轴交点坐标，求出解析式中的未知参数；最后令函数值y=0，求解x的正根，即为水流喷射的最远水平距离OC。
【解析】
由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(2,1.8)$，设抛物线的解析式为：
$ y=a(x-2)^2+1.8 \quad (a≠0) $
已知喷水头高度$OB=1\mathrm{m}$，即抛物线过点$(0,1)$，将$x=0,y=1$代入解析式：
$\begin{aligned}1&=a(0-2)^2+1.8\\1&=4a+1.8\\4a&=-0.8\\a&=-0.2\end{aligned}$
因此抛物线解析式为$ y=-0.2(x-2)^2+1.8 $。
求水流最远水平距离$OC$，即求$y=0$时$x$的正数值，令$y=0$：
$\begin{aligned}0&=-0.2(x-2)^2+1.8\\0.2(x-2)^2&=1.8\\(x-2)^2&=9\\x-2&=\pm3\end{aligned}$
解得$x_1=5$，$x_2=-1$（不符合实际意义，舍去），故$OC=5\mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的核心是合理选择二次函数的解析式形式，结合函数与方程的关系求解，同时要注意结合实际意义对解进行取舍。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：首先根据抛物线的顶点坐标，设出二次函数的顶点式解析式；再代入已知的y轴交点坐标，求出解析式中的未知参数；最后令函数值y=0，求解x的正根，即为水流喷射的最远水平距离OC。
【解析】
由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(2,1.8)$，设抛物线的解析式为：
$ y=a(x-2)^2+1.8 \quad (a≠0) $
已知喷水头高度$OB=1\mathrm{m}$，即抛物线过点$(0,1)$，将$x=0,y=1$代入解析式：
$\begin{aligned}1&=a(0-2)^2+1.8\\1&=4a+1.8\\4a&=-0.8\\a&=-0.2\end{aligned}$
因此抛物线解析式为$ y=-0.2(x-2)^2+1.8 $。
求水流最远水平距离$OC$，即求$y=0$时$x$的正数值，令$y=0$：
$\begin{aligned}0&=-0.2(x-2)^2+1.8\\0.2(x-2)^2&=1.8\\(x-2)^2&=9\\x-2&=\pm3\end{aligned}$
解得$x_1=5$，$x_2=-1$（不符合实际意义，舍去），故$OC=5\mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的核心是合理选择二次函数的解析式形式，结合函数与方程的关系求解，同时要注意结合实际意义对解进行取舍。
【难度系数】
0.7
4.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=3\ \mathrm{cm}$,$BC=4\ \mathrm{cm}$.点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿AB向点B运动;同时,点Q从点B出发,以2 cm/s的速度沿BC向点C运动.当点Q到达点C时,P,Q两点同时停止运动.在此运动过程中,$△ PBQ$的面积最大是
$\dfrac{9}{4}\ \mathrm{cm}^2$
.答案
$\dfrac{9}{4}\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
本题属于动点求最值问题，解题核心是将几何问题转化为二次函数求最值问题。首先设运动时间为t，先根据点Q的运动限制确定t的取值范围；再用含t的代数式分别表示出Rt△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；接着根据直角三角形面积公式写出面积关于t的函数关系式；最后利用二次函数的性质结合t的取值范围求出最大值即可。
【解析】
设运动时间为$ t\ \mathrm{s} $，由题意可知：
点Q从B到C的运动时间为$ 4÷2=2\ \mathrm{s} $，因此$ 0≤ t≤ 2 $。
$ AP = 1× t = t\ \mathrm{cm} $，则$ PB = AB - AP = (3-t)\ \mathrm{cm} $；
$ BQ = 2× t = 2t\ \mathrm{cm} $。
因为$ ∠ B=90° $，所以$ △ PBQ $的面积：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}× PB × BQ\\&=\frac{1}{2}× (3-t) × 2t\\&= -t^2 +3t\end{aligned}$
该二次函数$ a=-1＜0 $，开口向下，存在最大值，对称轴为$ t=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2} $，$ \frac{3}{2} $在$ 0≤ t≤2 $范围内。
将$ t=\frac{3}{2} $代入得：
$ S_{\mathrm{最大}}= -(\frac{3}{2})^2 +3×\frac{3}{2} = \frac{9}{4}\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$\dfrac{9}{4}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
二次函数的最值应用；动点问题分析；直角三角形面积计算
【点评】
本题是动态几何与二次函数结合的常规题型，解题的关键是准确建立面积关于运动时间的函数关系式，求解最值时要注意验证自变量的取值是否符合实际运动的限制，避免求出不符合题意的最值。
【难度系数】
0.7
本题属于动点求最值问题，解题核心是将几何问题转化为二次函数求最值问题。首先设运动时间为t，先根据点Q的运动限制确定t的取值范围；再用含t的代数式分别表示出Rt△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；接着根据直角三角形面积公式写出面积关于t的函数关系式；最后利用二次函数的性质结合t的取值范围求出最大值即可。
【解析】
设运动时间为$ t\ \mathrm{s} $，由题意可知：
点Q从B到C的运动时间为$ 4÷2=2\ \mathrm{s} $，因此$ 0≤ t≤ 2 $。
$ AP = 1× t = t\ \mathrm{cm} $，则$ PB = AB - AP = (3-t)\ \mathrm{cm} $；
$ BQ = 2× t = 2t\ \mathrm{cm} $。
因为$ ∠ B=90° $，所以$ △ PBQ $的面积：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}× PB × BQ\\&=\frac{1}{2}× (3-t) × 2t\\&= -t^2 +3t\end{aligned}$
该二次函数$ a=-1＜0 $，开口向下，存在最大值，对称轴为$ t=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2} $，$ \frac{3}{2} $在$ 0≤ t≤2 $范围内。
将$ t=\frac{3}{2} $代入得：
$ S_{\mathrm{最大}}= -(\frac{3}{2})^2 +3×\frac{3}{2} = \frac{9}{4}\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$\dfrac{9}{4}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
二次函数的最值应用；动点问题分析；直角三角形面积计算
【点评】
本题是动态几何与二次函数结合的常规题型，解题的关键是准确建立面积关于运动时间的函数关系式，求解最值时要注意验证自变量的取值是否符合实际运动的限制，避免求出不符合题意的最值。
【难度系数】
0.7
5. 从地面竖直向上抛出一小球,小球的离地高度$h$(单位:$\mathrm{m}$)与小球的运动时间$t$(单位:$\mathrm{s}$)的关系近似为$h=-5t^2 + 20t$（$0≤t≤4$）,则下列说法正确的是 (
A.当$t=0.5$和$t=3$时,小球的高度相同
B.当$t=2.5$时,小球到达最高点
C.当$t=3.5$时,小球回到地面
D.当$2＜t＜3$时,小球处于下降阶段
D
)A.当$t=0.5$和$t=3$时,小球的高度相同
B.当$t=2.5$时,小球到达最高点
C.当$t=3.5$时,小球回到地面
D.当$2＜t＜3$时,小球处于下降阶段
答案
D
解析
【分析】
本题考查二次函数在实际运动场景中的应用，解题思路如下：1. 先明确h关于t的函数是开口向下的二次函数，先求出其对称轴、最高点对应的t值；2. 再结合二次函数的增减性、函数值计算、解方程的方法，逐一验证四个选项的正误即可。
【解析】
已知小球离地高度与运动时间的函数关系为$h=-5t^2 + 20t$（$0≤t≤4$），其中二次项系数$a=-5＜0$，因此抛物线开口向下。
首先计算对称轴：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴为$t=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-5$，$b=20$得：
$t=-\frac{20}{2×(-5)}=2\ \mathrm{s}$，即当$t=2$时，$h$取最大值，小球到达最高点。
接下来逐一判断选项：
选项A：分别代入$t=0.5$和$t=3$计算高度：
$t=0.5$时，$h=-5×(0.5)^2 + 20×0.5 = -1.25 + 10 = 8.75\ \mathrm{m}$；
$t=3$时，$h=-5×3^2 + 20×3 = -45 + 60 = 15\ \mathrm{m}$，二者高度不同，A错误。
选项B：由上述计算可知，小球在$t=2\ \mathrm{s}$时到达最高点，不是$t=2.5\ \mathrm{s}$，B错误。
选项C：小球回到地面时$h=0$，令$-5t^2 + 20t=0$，因式分解得$-5t(t-4)=0$，解得$t=0$（抛出时刻）或$t=4\ \mathrm{s}$，即$t=4\ \mathrm{s}$时小球回到地面，C错误。
选项D：因为抛物线开口向下，对称轴为$t=2$，因此当$t＞2$时，$h$随$t$的增大而减小，即小球处于下降阶段，因此$2＜t＜3$时小球处于下降阶段，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数的实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题结合竖直上抛运动的实际情境，综合考查二次函数的对称轴、最值、增减性的应用，以及函数值计算、一元二次方程求解的能力，需要学生熟练掌握二次函数的核心性质，并能灵活运用到实际问题的分析中。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数在实际运动场景中的应用，解题思路如下：1. 先明确h关于t的函数是开口向下的二次函数，先求出其对称轴、最高点对应的t值；2. 再结合二次函数的增减性、函数值计算、解方程的方法，逐一验证四个选项的正误即可。
【解析】
已知小球离地高度与运动时间的函数关系为$h=-5t^2 + 20t$（$0≤t≤4$），其中二次项系数$a=-5＜0$，因此抛物线开口向下。
首先计算对称轴：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴为$t=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-5$，$b=20$得：
$t=-\frac{20}{2×(-5)}=2\ \mathrm{s}$，即当$t=2$时，$h$取最大值，小球到达最高点。
接下来逐一判断选项：
选项A：分别代入$t=0.5$和$t=3$计算高度：
$t=0.5$时，$h=-5×(0.5)^2 + 20×0.5 = -1.25 + 10 = 8.75\ \mathrm{m}$；
$t=3$时，$h=-5×3^2 + 20×3 = -45 + 60 = 15\ \mathrm{m}$，二者高度不同，A错误。
选项B：由上述计算可知，小球在$t=2\ \mathrm{s}$时到达最高点，不是$t=2.5\ \mathrm{s}$，B错误。
选项C：小球回到地面时$h=0$，令$-5t^2 + 20t=0$，因式分解得$-5t(t-4)=0$，解得$t=0$（抛出时刻）或$t=4\ \mathrm{s}$，即$t=4\ \mathrm{s}$时小球回到地面，C错误。
选项D：因为抛物线开口向下，对称轴为$t=2$，因此当$t＞2$时，$h$随$t$的增大而减小，即小球处于下降阶段，因此$2＜t＜3$时小球处于下降阶段，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数的实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题结合竖直上抛运动的实际情境，综合考查二次函数的对称轴、最值、增减性的应用，以及函数值计算、一元二次方程求解的能力，需要学生熟练掌握二次函数的核心性质，并能灵活运用到实际问题的分析中。
【难度系数】
0.7
6. 如图,有一块矩形空地$ABCD$,学校规划在其中间的一块四边形空地$EFGH$上种花,其余的四块三角形空地上铺设草坪,其中点$E,F,G,H$分别在$AD,AB,BC,CD$上,且$AE=AF=CG=CH$,已知$AD=20\ \mathrm{m}$,$AB=40\ \mathrm{m}$.有下列结论:
①铺设草坪的面积可以是$360\ \mathrm{m}^2$;
②种花的面积最大为$450\ \mathrm{m}^2$;
③$AF$的长有两个不同的值满足种花的面积为$378\ \mathrm{m}^2$.
其中,正确结论的个数是 (
A.0
B.1
C.2
D.3
(第6题图) (第7题图)
①铺设草坪的面积可以是$360\ \mathrm{m}^2$;
②种花的面积最大为$450\ \mathrm{m}^2$;
③$AF$的长有两个不同的值满足种花的面积为$378\ \mathrm{m}^2$.
其中,正确结论的个数是 (
C
)A.0
B.1
C.2
D.3
(第6题图) (第7题图)
答案
C
解析
【分析】
我们先设$AE=AF=CG=CH=x\ \mathrm{m}$，确定$x$的取值范围为$0＜x＜20$。先分别计算四块三角形草坪的面积，求和得到草坪面积的表达式，再用矩形总面积减去草坪面积得到种花面积的二次函数表达式，最后结合二次函数的性质、一元二次方程求解，逐一判断三个结论是否成立。
【解析】
设$AE=AF=CG=CH=x\ \mathrm{m}$，由$AD=20\ \mathrm{m}$、$AB=40\ \mathrm{m}$可得$0＜x＜20$。
矩形$ABCD$的面积为：$20×40=800\ \mathrm{m^2}$。
四块草坪的面积计算：
1. $△ AEF$和$△ CHG$是全等的等腰直角三角形，面积和为$2×\frac{1}{2}x^2=x^2$；
2. $△ BFG$和$△ DEH$是全等的直角三角形，$BF=40-x$，$BG=20-x$，面积和为$2×[\frac{1}{2}(40-x)(20-x)]=(40-x)(20-x)$。
因此草坪总面积：
$S_{\mathrm{草}}=x^2+(40-x)(20-x)=2x^2-60x+800$
种花面积：
$S_{\mathrm{花}}=800-S_{\mathrm{草}}=-2x^2+60x=-2(x-15)^2+450$
逐一判断结论：
① 令$S_{\mathrm{草}}=360$，得$2x^2-60x+800=360$，整理为$x^2-30x+220=0$，判别式$\Delta=900-880=20＞0$，解得$x=15\pm\sqrt{5}$，两个解均满足$0＜x＜20$，故①正确；
② $S_{\mathrm{花}}=-2(x-15)^2+450$是开口向下的二次函数，顶点$x=15$在取值范围内，种花面积最大值为$450\ \mathrm{m^2}$，故②正确；
③ 令$S_{\mathrm{花}}=378$，得$-2x^2+60x=378$，整理为$x^2-30x+189=0$，解得$x_1=9$，$x_2=21$，其中$x_2=21＞20$不符合题意舍去，仅1个值满足条件，故③错误。
综上，正确的结论共2个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，二次函数的最值
【点评】
本题结合几何图形面积计算考查二次函数的实际应用，解题的关键是合理设未知数，准确列出面积的函数表达式，注意结合自变量的实际取值范围判断解的合理性。
【难度系数】
0.6
我们先设$AE=AF=CG=CH=x\ \mathrm{m}$，确定$x$的取值范围为$0＜x＜20$。先分别计算四块三角形草坪的面积，求和得到草坪面积的表达式，再用矩形总面积减去草坪面积得到种花面积的二次函数表达式，最后结合二次函数的性质、一元二次方程求解，逐一判断三个结论是否成立。
【解析】
设$AE=AF=CG=CH=x\ \mathrm{m}$，由$AD=20\ \mathrm{m}$、$AB=40\ \mathrm{m}$可得$0＜x＜20$。
矩形$ABCD$的面积为：$20×40=800\ \mathrm{m^2}$。
四块草坪的面积计算：
1. $△ AEF$和$△ CHG$是全等的等腰直角三角形，面积和为$2×\frac{1}{2}x^2=x^2$；
2. $△ BFG$和$△ DEH$是全等的直角三角形，$BF=40-x$，$BG=20-x$，面积和为$2×[\frac{1}{2}(40-x)(20-x)]=(40-x)(20-x)$。
因此草坪总面积：
$S_{\mathrm{草}}=x^2+(40-x)(20-x)=2x^2-60x+800$
种花面积：
$S_{\mathrm{花}}=800-S_{\mathrm{草}}=-2x^2+60x=-2(x-15)^2+450$
逐一判断结论：
① 令$S_{\mathrm{草}}=360$，得$2x^2-60x+800=360$，整理为$x^2-30x+220=0$，判别式$\Delta=900-880=20＞0$，解得$x=15\pm\sqrt{5}$，两个解均满足$0＜x＜20$，故①正确；
② $S_{\mathrm{花}}=-2(x-15)^2+450$是开口向下的二次函数，顶点$x=15$在取值范围内，种花面积最大值为$450\ \mathrm{m^2}$，故②正确；
③ 令$S_{\mathrm{花}}=378$，得$-2x^2+60x=378$，整理为$x^2-30x+189=0$，解得$x_1=9$，$x_2=21$，其中$x_2=21＞20$不符合题意舍去，仅1个值满足条件，故③错误。
综上，正确的结论共2个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，二次函数的最值
【点评】
本题结合几何图形面积计算考查二次函数的实际应用，解题的关键是合理设未知数，准确列出面积的函数表达式，注意结合自变量的实际取值范围判断解的合理性。
【难度系数】
0.6
7. 有一块梯形木板$ABCD$，$AD // BC$，$∠ BCD = 90°$，$AD = 4 \ \mathrm{m}$，$BC = 10 \ \mathrm{m}$，$CD = 6 \ \mathrm{m}$，按如图所示的方式裁下一个矩形木板$EFCG$（点$E$在边$AB$上）。当$EF=\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}$时，矩形木板的面积最大，最大面积为$\mathrm{m}^2$。
答案
5 25
解析
【分析】
要解决矩形面积最大的问题，首先需结合梯形和矩形的性质，利用相似三角形找到矩形邻边的数量关系，再设未知数将矩形面积表示为关于未知数的二次函数，最后根据二次函数的性质求最大值。首先过A作BC的垂线构造矩形和相似三角形，先求出梯形底边剩余段长度和高，再通过相似推导EF和BF的等量关系，进而表示出矩形的邻边，列函数式求解即可。
【解析】
解：过点A作$AH ⊥ BC$于点H，
$\because AD // BC$，$∠ BCD=90°$，$AH ⊥ BC$，
$\therefore$ 四边形AHCD是矩形，
$\therefore AH=CD=6\ \mathrm{m}$，$HC=AD=4\ \mathrm{m}$，
$\therefore BH=BC-HC=10-4=6\ \mathrm{m}$。
设$EF=x\ \mathrm{m}$，
$\because$ 四边形EFCG是矩形，
$\therefore EF ⊥ BC$，则$EF // AH$，
$\therefore △ BEF ∽ △ BAH$，
$\therefore \frac{EF}{AH}=\frac{BF}{BH}$，代入数据得$\frac{x}{6}=\frac{BF}{6}$，即$BF=x\ \mathrm{m}$，
$\therefore FC=BC-BF=(10-x)\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 矩形EFCG的面积$S=EF · FC=x(10-x)=-x^2+10x$。
该二次函数开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-1)}=5$时，S取得最大值，
最大值为$S_{\mathrm{max}}=-5^2+10×5=25$。
【答案】
5；25
【知识点】
相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；梯形的性质
【点评】
本题是几何与函数结合的典型最值应用题，解题核心是利用相似三角形建立矩形邻边的关系，正确列出面积的二次函数表达式，掌握二次函数求最值的方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决矩形面积最大的问题，首先需结合梯形和矩形的性质，利用相似三角形找到矩形邻边的数量关系，再设未知数将矩形面积表示为关于未知数的二次函数，最后根据二次函数的性质求最大值。首先过A作BC的垂线构造矩形和相似三角形，先求出梯形底边剩余段长度和高，再通过相似推导EF和BF的等量关系，进而表示出矩形的邻边，列函数式求解即可。
【解析】
解：过点A作$AH ⊥ BC$于点H，
$\because AD // BC$，$∠ BCD=90°$，$AH ⊥ BC$，
$\therefore$ 四边形AHCD是矩形，
$\therefore AH=CD=6\ \mathrm{m}$，$HC=AD=4\ \mathrm{m}$，
$\therefore BH=BC-HC=10-4=6\ \mathrm{m}$。
设$EF=x\ \mathrm{m}$，
$\because$ 四边形EFCG是矩形，
$\therefore EF ⊥ BC$，则$EF // AH$，
$\therefore △ BEF ∽ △ BAH$，
$\therefore \frac{EF}{AH}=\frac{BF}{BH}$，代入数据得$\frac{x}{6}=\frac{BF}{6}$，即$BF=x\ \mathrm{m}$，
$\therefore FC=BC-BF=(10-x)\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 矩形EFCG的面积$S=EF · FC=x(10-x)=-x^2+10x$。
该二次函数开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-1)}=5$时，S取得最大值，
最大值为$S_{\mathrm{max}}=-5^2+10×5=25$。
【答案】
5；25
【知识点】
相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；梯形的性质
【点评】
本题是几何与函数结合的典型最值应用题，解题核心是利用相似三角形建立矩形邻边的关系，正确列出面积的二次函数表达式，掌握二次函数求最值的方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
