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1. 在距离地面的高度为$h_0$(单位:m)处以初速度$v_0$(单位:m/s)竖直向上抛某物体，抛出后该物体离地面的高度$h$(单位:m)与运动时间$t$(单位:s)之间的关系可近似用$h=h_0 + v_0 t -5t^2$表示.若小明将一个小球从距离地面2 m的高度处以10 m/s的初速度竖直向上抛出，则该小球能达到的离地面的最大高度为
7
m.答案
7
解析
【分析】
首先我们需要将题目给出的已知条件代入高度公式，得到高度h关于时间t的二次函数表达式。由于二次项系数为负，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，因此只需要计算该二次函数的顶点纵坐标，即可得到小球能达到的最大高度。
【解析】
已知$h_0=2\mathrm{m}$，$v_0=10\mathrm{m/s}$，代入公式$h=h_0 + v_0 t -5t^2$得：
$h = 2 + 10t -5t^2$
整理为二次函数一般形式：$h = -5t^2 +10t +2$
用配方法求最值：
$\begin{aligned}h &= -5(t^2 - 2t) + 2 \\&= -5(t^2 - 2t +1 -1) +2 \\&= -5(t-1)^2 +5 +2 \\&= -5(t-1)^2 +7\end{aligned}$
因为$-5＜0$，所以当$t=1$时，$h$取得最大值，最大值为$7\mathrm{m}$。
【答案】
7
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数最值计算
【点评】
本题结合竖直上抛运动的实际场景考查二次函数的应用，解题核心是先代入参数得到正确的函数解析式，再利用二次函数的性质求最值，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
首先我们需要将题目给出的已知条件代入高度公式，得到高度h关于时间t的二次函数表达式。由于二次项系数为负，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，因此只需要计算该二次函数的顶点纵坐标，即可得到小球能达到的最大高度。
【解析】
已知$h_0=2\mathrm{m}$，$v_0=10\mathrm{m/s}$，代入公式$h=h_0 + v_0 t -5t^2$得：
$h = 2 + 10t -5t^2$
整理为二次函数一般形式：$h = -5t^2 +10t +2$
用配方法求最值：
$\begin{aligned}h &= -5(t^2 - 2t) + 2 \\&= -5(t^2 - 2t +1 -1) +2 \\&= -5(t-1)^2 +5 +2 \\&= -5(t-1)^2 +7\end{aligned}$
因为$-5＜0$，所以当$t=1$时，$h$取得最大值，最大值为$7\mathrm{m}$。
【答案】
7
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数最值计算
【点评】
本题结合竖直上抛运动的实际场景考查二次函数的应用，解题核心是先代入参数得到正确的函数解析式，再利用二次函数的性质求最值，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
【典型例题 2】如图,某农户准备用长24 m的铁栅栏围成一个一边靠墙(墙足够长)的矩形羊圈ABCD和一块边长为1 m的正方形空地CEFG.设AB=x(单位:m),羊的活动范围(图中阴影部分)的面积为S(单位:m²).
(1)求S关于x的函数解析式.
(2)求羊的活动范围的最大面积.
【解】(1)∵AB=x,
∴BC=22−2x.
∴S=x⋅(22−2x)−1×1=−2x²+22x−1.
∵BC＞1,
∴22−2x＞1.
解不等式,得x＜10.5.
∵x＞0,
∴x的取值范围为0＜x＜10.5.
∴S=−2x²+22x−1(0＜x＜10.5).
(2)S=−2x²+22x−1=−2(x²−11x+30.25)+59.5=−2(x−5.5)²+59.5.
当x=5.5时,S有最大值,最大值为59.5.
因此,羊的活动范围的最大面积为59.5 m².
规律方法 解决最大面积问题的一般方法:
利用几何图形的面积公式得到二次函数解析式.有限制条件的要求出自变量的取值范围,并结合二次函数图象的开口方向判断在何处取得最值;在无限制条件的题目中,面积的最值就是抛物线顶点的纵坐标.
(1)求S关于x的函数解析式.
(2)求羊的活动范围的最大面积.
【解】(1)∵AB=x,
∴BC=22−2x.
∴S=x⋅(22−2x)−1×1=−2x²+22x−1.
∵BC＞1,
∴22−2x＞1.
解不等式,得x＜10.5.
∵x＞0,
∴x的取值范围为0＜x＜10.5.
∴S=−2x²+22x−1(0＜x＜10.5).
(2)S=−2x²+22x−1=−2(x²−11x+30.25)+59.5=−2(x−5.5)²+59.5.
当x=5.5时,S有最大值,最大值为59.5.
因此,羊的活动范围的最大面积为59.5 m².
规律方法 解决最大面积问题的一般方法:
利用几何图形的面积公式得到二次函数解析式.有限制条件的要求出自变量的取值范围,并结合二次函数图象的开口方向判断在何处取得最值;在无限制条件的题目中,面积的最值就是抛物线顶点的纵坐标.
答案
解：(1) ∵ AB = x，
铁栅栏总长度为24 m，正方形空地CEFG的边长为1 m，
∴ BC = 24 - 2x - 1 = 22 - 2x，
∴ 阴影部分面积$S = AB· BC - S_{正方形CEFG} = x·(22-2x) - 1×1 = -2x^2 + 22x - 1$。
由实际边长为正可得不等式组：
$\begin{cases}x＞0 \\ 22-2x＞1\end{cases}$
解得$0＜x＜10.5$，
∴ S关于x的函数解析式为$S=-2x^2+22x-1\ (0＜x＜10.5)$。
(2) 对二次函数解析式配方得：
$S=-2x^2+22x-1=-2(x-5.5)^2+59.5$，
∵ 二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，且顶点横坐标$x=5.5$在取值范围$0＜x＜10.5$内，
∴ 当$x=5.5$时，S取得最大值，最大值为59.5。
答：羊的活动范围的最大面积为$59.5\ \mathrm{m}^2$。
铁栅栏总长度为24 m，正方形空地CEFG的边长为1 m，
∴ BC = 24 - 2x - 1 = 22 - 2x，
∴ 阴影部分面积$S = AB· BC - S_{正方形CEFG} = x·(22-2x) - 1×1 = -2x^2 + 22x - 1$。
由实际边长为正可得不等式组：
$\begin{cases}x＞0 \\ 22-2x＞1\end{cases}$
解得$0＜x＜10.5$，
∴ S关于x的函数解析式为$S=-2x^2+22x-1\ (0＜x＜10.5)$。
(2) 对二次函数解析式配方得：
$S=-2x^2+22x-1=-2(x-5.5)^2+59.5$，
∵ 二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，且顶点横坐标$x=5.5$在取值范围$0＜x＜10.5$内，
∴ 当$x=5.5$时，S取得最大值，最大值为59.5。
答：羊的活动范围的最大面积为$59.5\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
解决本题分两步思考：(1)求函数解析式：首先根据铁栅栏总长度、正方形边长和AB的长度x，表示出矩形ABCD的边BC的长度，再根据阴影部分面积=矩形ABCD的面积-正方形CEFG的面积列出S与x的关系式，再结合边长为正的实际意义，求出自变量x的取值范围即可。(2)求最大面积：对所得二次函数解析式进行配方，结合二次函数开口方向和自变量的取值范围，判断最大值的取值位置，代入计算即可得到最大面积。
【解析】
(1) 已知$AB = x\ \mathrm{m}$，铁栅栏总长度为24 m，正方形空地CEFG的边长为1 m，
∴ 矩形ABCD的边$BC = 24 - 2x - 1 = (22 - 2x)\ \mathrm{m}$，
阴影部分面积为矩形ABCD面积减去正方形CEFG的面积，因此：
$S = AB· BC - S_{正方形CEFG} = x(22-2x) - 1×1 = -2x^2 + 22x - 1$
由实际边长为正，可列不等式组：
$\begin{cases}x＞0 \\ 22-2x＞1\end{cases}$
解得$0＜x＜10.5$，
∴ S关于x的函数解析式为$S=-2x^2+22x-1\ (0＜x＜10.5)$。
(2) 对二次函数解析式配方得：
$S=-2x^2+22x-1=-2(x^2-11x) -1=-2(x^2-11x+\frac{121}{4}) + 2×\frac{121}{4} -1=-2(x-5.5)^2+59.5$
∵ 二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，且顶点横坐标$x=5.5$在取值范围$0＜x＜10.5$内，
∴ 当$x=5.5$时，S取得最大值，最大值为$59.5\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $S=-2x^2+22x-1\ (0＜x＜10.5)$；
(2) $59.5\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；面积计算
【点评】
本题是二次函数解决实际面积问题的典型题型，解题的核心是正确根据几何图形的边长关系列出函数解析式，需特别注意自变量的取值要符合实际意义，求最值时要验证顶点横坐标是否在自变量取值范围内，避免直接套用顶点坐标导致错误。
【难度系数】
0.65
解决本题分两步思考：(1)求函数解析式：首先根据铁栅栏总长度、正方形边长和AB的长度x，表示出矩形ABCD的边BC的长度，再根据阴影部分面积=矩形ABCD的面积-正方形CEFG的面积列出S与x的关系式，再结合边长为正的实际意义，求出自变量x的取值范围即可。(2)求最大面积：对所得二次函数解析式进行配方，结合二次函数开口方向和自变量的取值范围，判断最大值的取值位置，代入计算即可得到最大面积。
【解析】
(1) 已知$AB = x\ \mathrm{m}$，铁栅栏总长度为24 m，正方形空地CEFG的边长为1 m，
∴ 矩形ABCD的边$BC = 24 - 2x - 1 = (22 - 2x)\ \mathrm{m}$，
阴影部分面积为矩形ABCD面积减去正方形CEFG的面积，因此：
$S = AB· BC - S_{正方形CEFG} = x(22-2x) - 1×1 = -2x^2 + 22x - 1$
由实际边长为正，可列不等式组：
$\begin{cases}x＞0 \\ 22-2x＞1\end{cases}$
解得$0＜x＜10.5$，
∴ S关于x的函数解析式为$S=-2x^2+22x-1\ (0＜x＜10.5)$。
(2) 对二次函数解析式配方得：
$S=-2x^2+22x-1=-2(x^2-11x) -1=-2(x^2-11x+\frac{121}{4}) + 2×\frac{121}{4} -1=-2(x-5.5)^2+59.5$
∵ 二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，且顶点横坐标$x=5.5$在取值范围$0＜x＜10.5$内，
∴ 当$x=5.5$时，S取得最大值，最大值为$59.5\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $S=-2x^2+22x-1\ (0＜x＜10.5)$；
(2) $59.5\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；面积计算
【点评】
本题是二次函数解决实际面积问题的典型题型，解题的核心是正确根据几何图形的边长关系列出函数解析式，需特别注意自变量的取值要符合实际意义，求最值时要验证顶点横坐标是否在自变量取值范围内，避免直接套用顶点坐标导致错误。
【难度系数】
0.65
2.某小区计划把一块长 40 m、宽 30 m 的矩形空地改建成健身广场,设计方案如图所示.已知阴影部分为 4 个全等的矩形花坛,每个花坛的长比宽多 4 m,其余部分为健身活动区域.设每个花坛的长为 x(单位:m)(6≤x≤10),健身活动区域的面积为 S(单位:m²).
(1)求 S 关于 x 的函数解析式.
(2)求健身活动区域的最大面积.
(1)求 S 关于 x 的函数解析式.
(2)求健身活动区域的最大面积.
答案
(1)根据题意,得 $S=40×30-4x(x-4)=-4x^2+16x+1200(6≤x≤10)$.
(2)$S=-4x^2+16x+1200=-4(x-2)^2+1216$.
当 $6≤x≤10$ 时,S 随 x 的增大而减小.
∴当 $x=6$ 时,S 取最大值,最大值为 $-4×(6-2)^2+1216=1152$.
∴健身活动区域的最大面积为 $1152\ \mathrm{m}^2$.
(2)$S=-4x^2+16x+1200=-4(x-2)^2+1216$.
当 $6≤x≤10$ 时,S 随 x 的增大而减小.
∴当 $x=6$ 时,S 取最大值,最大值为 $-4×(6-2)^2+1216=1152$.
∴健身活动区域的最大面积为 $1152\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
(1)求健身活动区域面积，可利用“总面积减花坛面积”的思路求解：先算出整块矩形空地的总面积，再根据花坛长为x、长比宽多4m得到花坛宽为(x-4)m，求出4个花坛的总面积，用空地总面积减去花坛总面积即可得到S关于x的函数解析式，同时注意标注x的取值范围。
(2)求健身活动区域的最大面积，先将(1)得到的二次函数配方，判断开口方向和对称轴，再结合x的取值范围，根据二次函数的增减性确定S取最大值时对应的x值，代入计算即可得到最大面积。
【解析】
(1) 矩形空地的总面积为$40×30=1200\ \mathrm{m}^2$。
由题意可知，每个矩形花坛的宽为$(x-4)\ \mathrm{m}$，4个花坛的总面积为$4x(x-4)\ \mathrm{m}^2$。
因此健身活动区域的面积为：
$S=1200-4x(x-4)=-4x^2+16x+1200\ (6≤ x≤10)$。
(2) 将函数解析式配方得：
$S=-4x^2+16x+1200=-4(x-2)^2+1216$。
$\because$ 二次项系数$-4＜0$，函数图象开口向下，对称轴为直线$x=2$，
$\therefore$ 当$x＞2$时，S随x的增大而减小。
又$\because 6≤ x≤10$，该区间在对称轴右侧，
$\therefore$ 当$x=6$时，S取得最大值，代入得：
$S_{\mathrm{max}}=-4×(6-2)^2+1216=1152\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $S=-4x^2+16x+1200\ (6≤ x≤10)$
(2) $1152\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数应用、二次函数最值、矩形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，解题的易错点是忽略自变量的取值范围，直接将顶点处的函数值作为最值，需结合函数增减性在给定区间内求解最值，有助于提升将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1)求健身活动区域面积，可利用“总面积减花坛面积”的思路求解：先算出整块矩形空地的总面积，再根据花坛长为x、长比宽多4m得到花坛宽为(x-4)m，求出4个花坛的总面积，用空地总面积减去花坛总面积即可得到S关于x的函数解析式，同时注意标注x的取值范围。
(2)求健身活动区域的最大面积，先将(1)得到的二次函数配方，判断开口方向和对称轴，再结合x的取值范围，根据二次函数的增减性确定S取最大值时对应的x值，代入计算即可得到最大面积。
【解析】
(1) 矩形空地的总面积为$40×30=1200\ \mathrm{m}^2$。
由题意可知，每个矩形花坛的宽为$(x-4)\ \mathrm{m}$，4个花坛的总面积为$4x(x-4)\ \mathrm{m}^2$。
因此健身活动区域的面积为：
$S=1200-4x(x-4)=-4x^2+16x+1200\ (6≤ x≤10)$。
(2) 将函数解析式配方得：
$S=-4x^2+16x+1200=-4(x-2)^2+1216$。
$\because$ 二次项系数$-4＜0$，函数图象开口向下，对称轴为直线$x=2$，
$\therefore$ 当$x＞2$时，S随x的增大而减小。
又$\because 6≤ x≤10$，该区间在对称轴右侧，
$\therefore$ 当$x=6$时，S取得最大值，代入得：
$S_{\mathrm{max}}=-4×(6-2)^2+1216=1152\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $S=-4x^2+16x+1200\ (6≤ x≤10)$
(2) $1152\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数应用、二次函数最值、矩形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，解题的易错点是忽略自变量的取值范围，直接将顶点处的函数值作为最值，需结合函数增减性在给定区间内求解最值，有助于提升将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
