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9.如图,一次函数$y=x-3$的图象与二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象交于点A,B,且点A在x轴上,则关于x的不等式$ax^2+(b-1)x+c+3＞0$的解集为
x＜0或x＞3
.答案
9.$x＜0$或$x＞3$
解析
【分析】
解决本题的核心是将待解不等式转化为两个函数值的大小比较问题，结合图象求解：第一步，对不等式$ax^2+(b-1)x+c+3＞0$移项变形，可得$ax^2+bx+c ＞ x-3$，即求二次函数值大于一次函数值时x的取值范围；第二步，求两个函数交点的横坐标：先求点A的横坐标，点A是一次函数与x轴的交点，代入一次函数可求得x=3；再观察图象得两函数交于y轴上的点B，代入一次函数得B点横坐标为0；第三步，结合图象判断二次函数在一次函数上方时对应的x范围，即为不等式解集。
【解析】
对不等式$ax^2+(b-1)x+c+3＞0$移项，可得：
$ax^2+bx+c ＞ x - 3$
该不等式的解集对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象在一次函数$y=x-3$图象上方时x的取值范围。
先求两函数交点的横坐标：
1. 求点A的横坐标：点A是一次函数$y=x-3$与x轴的交点，令$y=0$，则$0=x-3$，解得$x=3$，即A点横坐标为3；
2. 求点B的横坐标：由图象可知两函数交于y轴上的点B，令$x=0$，代入一次函数得$y=0-3=-3$，即B点横坐标为0。
结合图象可得：当$x＜0$或$x＞3$时，二次函数图象位于一次函数图象上方，满足$ax^2+bx+c ＞ x - 3$，即原不等式成立。
【答案】
$x＜0$或$x＞3$
【知识点】
1. 二次函数与不等式
2. 一次函数的图象与性质
3. 函数图象交点意义
【点评】
本题属于函数与不等式结合的典型题型，解题关键是通过不等式变形将代数问题转化为函数图象的位置比较问题，渗透了数形结合的思想，要求学生熟练掌握一次函数、二次函数的图象性质。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是将待解不等式转化为两个函数值的大小比较问题，结合图象求解：第一步，对不等式$ax^2+(b-1)x+c+3＞0$移项变形，可得$ax^2+bx+c ＞ x-3$，即求二次函数值大于一次函数值时x的取值范围；第二步，求两个函数交点的横坐标：先求点A的横坐标，点A是一次函数与x轴的交点，代入一次函数可求得x=3；再观察图象得两函数交于y轴上的点B，代入一次函数得B点横坐标为0；第三步，结合图象判断二次函数在一次函数上方时对应的x范围，即为不等式解集。
【解析】
对不等式$ax^2+(b-1)x+c+3＞0$移项，可得：
$ax^2+bx+c ＞ x - 3$
该不等式的解集对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象在一次函数$y=x-3$图象上方时x的取值范围。
先求两函数交点的横坐标：
1. 求点A的横坐标：点A是一次函数$y=x-3$与x轴的交点，令$y=0$，则$0=x-3$，解得$x=3$，即A点横坐标为3；
2. 求点B的横坐标：由图象可知两函数交于y轴上的点B，令$x=0$，代入一次函数得$y=0-3=-3$，即B点横坐标为0。
结合图象可得：当$x＜0$或$x＞3$时，二次函数图象位于一次函数图象上方，满足$ax^2+bx+c ＞ x - 3$，即原不等式成立。
【答案】
$x＜0$或$x＞3$
【知识点】
1. 二次函数与不等式
2. 一次函数的图象与性质
3. 函数图象交点意义
【点评】
本题属于函数与不等式结合的典型题型，解题关键是通过不等式变形将代数问题转化为函数图象的位置比较问题，渗透了数形结合的思想，要求学生熟练掌握一次函数、二次函数的图象性质。
【难度系数】
0.6
10. 已知 $ m,n $ 是方程 $ x^2 -6x +5=0 $ 的两个实数根，且 $ m ＜ n $，抛物线 $ y=-x^2 +bx +c $ 经过点 $ A(m,0), B(0,n) $，如图所示。
(1) 求这条抛物线对应的函数解析式。
(2) 设(1)中的抛物线与 $ x $ 轴的另一个公共点为 $ C $，抛物线的顶点为 $ D $，试求出点 $ C,D $ 的坐标和 $ △ BCD $ 的面积。
(3) 若 $ P $ 是线段 $ OC $ 上的一点(不与端点重合)，过点 $ P $ 作 $ PH ⊥ x $ 轴，与抛物线交于点 $ H $，$ BC $ 所在直线把 $ △ PCH $ 分成面积之比为 $ 2:3 $ 的两部分，请求出点 $ P $ 的坐标。
(1) 求这条抛物线对应的函数解析式。
(2) 设(1)中的抛物线与 $ x $ 轴的另一个公共点为 $ C $，抛物线的顶点为 $ D $，试求出点 $ C,D $ 的坐标和 $ △ BCD $ 的面积。
(3) 若 $ P $ 是线段 $ OC $ 上的一点(不与端点重合)，过点 $ P $ 作 $ PH ⊥ x $ 轴，与抛物线交于点 $ H $，$ BC $ 所在直线把 $ △ PCH $ 分成面积之比为 $ 2:3 $ 的两部分，请求出点 $ P $ 的坐标。
答案
10.【解】(1)解方程$x^2-6x+5=0$,得$x_1=5,x_2=1$.
由$m＜n$,可知$m=1,n=5$,
$\therefore$点$A,B$的坐标分别为$(1,0),(0,5)$.
将$(1,0),(0,5)$分别代入$y=-x^2+bx+c$,得
$\begin{cases}-1+b+c=0,\\c=5.\end{cases}$解这个方程组,得$\begin{cases}b=-4,\\c=5.\end{cases}$
$\therefore$抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2-4x+5$.
(2)对于$y=-x^2-4x+5$,令$y=0$,得$-x^2-4x+5=0$.解这个方程,得$x_1=-5,x_2=1$.
$\therefore$点$C$的坐标为$(-5,0)$.
由顶点坐标公式计算得点$D$的坐标为$(-2,9)$.
如图,过点$D$作$DM⊥ x$轴,垂足为M
.则$S_{△ DMC}=\frac{1}{2}×9×|-5-(-2)|=\frac{27}{2}$,$S_{梯形MDBO}=\frac{1}{2}×2×(9+5)=14$,$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}$.
$\therefore S_{△ BCD}=S_{梯形MDBO}+S_{△ DMC}-S_{△ BOC}=14+\frac{27}{2}-\frac{25}{2}=15$.
(3)设点$P$的坐标为$(a,0)(-5＜a＜0)$.
$\because B(0,5),C(-5,0)$,
$\therefore BC$所在直线对应的函数解析式为$y=x+5$.
设$PH$与$BC$所在直线的交点为$E$,点$E$的坐标为$(a,a+5)$,点$H$的坐标为$(a,-a^2-4a+5)$.
$\because BC$所在直线把$△ PCH$分成面积之比为$2:3$的两部分,
$\therefore EH=\frac{3}{2}EP$或$EH=\frac{2}{3}EP$.
①当$EH=\frac{3}{2}EP$时,$(-a^2-4a+5)-(a+5)=\frac{3}{2}(a+5)$.
解这个方程,得$a=-\frac{3}{2}$或$a=-5$(舍去).
②当$EH=\frac{2}{3}EP$时,$(-a^2-4a+5)-(a+5)=\frac{2}{3}(a+5)$.
解这个方程,得$a=-\frac{2}{3}$或$a=-5$(舍去).
$\therefore$点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2},0)$或$(-\frac{2}{3},0)$.
解析
【分析】
(1) 先求解一元二次方程$x^2-6x+5=0$，结合$m＜n$确定$m、n$的值，得到点A、B的坐标，再用待定系数法将两点坐标代入抛物线解析式，解方程组求出$b、c$即可得到抛物线解析式。
(2) 令抛物线解析式中$y=0$，解方程得到抛物线与x轴的另一个交点C的坐标；利用二次函数顶点坐标公式求出顶点D的坐标；过D作x轴的垂线，用割补法将$△ BCD$的面积转化为梯形面积加小三角形面积减去$△ BOC$的面积计算即可。
(3) 先求出直线BC的解析式，设点P的坐标为$(a,0)$，表示出PH与BC的交点E、与抛物线交点H的坐标；由于BC分割$△ PCH$得到的两个三角形同高，面积比等于底$EH$与$EP$的比，分两种情况列方程求解，舍去不符合范围的解即可得到P的坐标。
【解析】
(1) 解方程$x^2-6x+5=0$，因式分解得$(x-1)(x-5)=0$，得$x_1=5,x_2=1$。
由$m＜n$，可知$m=1,n=5$，$\therefore$点$A,B$的坐标分别为$(1,0),(0,5)$。
将$(1,0),(0,5)$分别代入$y=-x^2+bx+c$，得
$\begin{cases}-1+b+c=0,\\c=5.\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}b=-4,\\c=5.\end{cases}$
$\therefore$抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2-4x+5$。
(2) 对于$y=-x^2-4x+5$，令$y=0$，得$-x^2-4x+5=0$。解这个方程，得$x_1=-5,x_2=1$。
$\therefore$点$C$的坐标为$(-5,0)$。
由顶点坐标公式$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×(-1)}=-2$，$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-1)×5-(-4)^2}{4×(-1)}=9$，得点$D$的坐标为$(-2,9)$。
如图，过点$D$作$DM⊥ x$轴，垂足为M。
则$S_{△ DMC}=\frac{1}{2}×9×|-5-(-2)|=\frac{27}{2}$，$S_{梯形MDBO}=\frac{1}{2}×2×(9+5)=14$，$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}$。
$\therefore S_{△ BCD}=S_{梯形MDBO}+S_{△ DMC}-S_{△ BOC}=14+\frac{27}{2}-\frac{25}{2}=15$。
(3) 设点$P$的坐标为$(a,0)(-5＜a＜0)$。
$\because B(0,5),C(-5,0)$，设BC的解析式为$y=kx+5$，代入C点坐标得$0=-5k+5$，解得$k=1$，$\therefore BC$所在直线对应的函数解析式为$y=x+5$。
设$PH$与$BC$所在直线的交点为$E$，点$E$的坐标为$(a,a+5)$，点$H$的坐标为$(a,-a^2-4a+5)$。
$\because BC$所在直线把$△ PCH$分成面积之比为$2:3$的两部分，两个三角形同高，面积比等于底的比，$\therefore EH=\frac{3}{2}EP$或$EH=\frac{2}{3}EP$。
①当$EH=\frac{3}{2}EP$时，$(-a^2-4a+5)-(a+5)=\frac{3}{2}(a+5)$。
解这个方程，得$a=-\frac{3}{2}$或$a=-5$(舍去)。
②当$EH=\frac{2}{3}EP$时，$(-a^2-4a+5)-(a+5)=\frac{2}{3}(a+5)$。
解这个方程，得$a=-\frac{2}{3}$或$a=-5$(舍去)。
$\therefore$点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2},0)$或$(-\frac{2}{3},0)$。
【答案】
(1) $y=-x^2-4x+5$
(2) $C(-5,0)$，$D(-2,9)$，$△ BCD$的面积为15
(3) $(-\frac{3}{2},0)$或$(-\frac{2}{3},0)$
【知识点】
解一元二次方程，待定系数法求解析式，二次函数几何应用
【点评】
本题综合考查二次函数与方程、一次函数的结合，解题时需熟练掌握待定系数法求函数解析式，灵活运用割补法计算不规则图形面积，解决面积比例问题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 先求解一元二次方程$x^2-6x+5=0$，结合$m＜n$确定$m、n$的值，得到点A、B的坐标，再用待定系数法将两点坐标代入抛物线解析式，解方程组求出$b、c$即可得到抛物线解析式。
(2) 令抛物线解析式中$y=0$，解方程得到抛物线与x轴的另一个交点C的坐标；利用二次函数顶点坐标公式求出顶点D的坐标；过D作x轴的垂线，用割补法将$△ BCD$的面积转化为梯形面积加小三角形面积减去$△ BOC$的面积计算即可。
(3) 先求出直线BC的解析式，设点P的坐标为$(a,0)$，表示出PH与BC的交点E、与抛物线交点H的坐标；由于BC分割$△ PCH$得到的两个三角形同高，面积比等于底$EH$与$EP$的比，分两种情况列方程求解，舍去不符合范围的解即可得到P的坐标。
【解析】
(1) 解方程$x^2-6x+5=0$，因式分解得$(x-1)(x-5)=0$，得$x_1=5,x_2=1$。
由$m＜n$，可知$m=1,n=5$，$\therefore$点$A,B$的坐标分别为$(1,0),(0,5)$。
将$(1,0),(0,5)$分别代入$y=-x^2+bx+c$，得
$\begin{cases}-1+b+c=0,\\c=5.\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}b=-4,\\c=5.\end{cases}$
$\therefore$抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2-4x+5$。
(2) 对于$y=-x^2-4x+5$，令$y=0$，得$-x^2-4x+5=0$。解这个方程，得$x_1=-5,x_2=1$。
$\therefore$点$C$的坐标为$(-5,0)$。
由顶点坐标公式$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×(-1)}=-2$，$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-1)×5-(-4)^2}{4×(-1)}=9$，得点$D$的坐标为$(-2,9)$。
如图，过点$D$作$DM⊥ x$轴，垂足为M
。则$S_{△ DMC}=\frac{1}{2}×9×|-5-(-2)|=\frac{27}{2}$，$S_{梯形MDBO}=\frac{1}{2}×2×(9+5)=14$，$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}$。
$\therefore S_{△ BCD}=S_{梯形MDBO}+S_{△ DMC}-S_{△ BOC}=14+\frac{27}{2}-\frac{25}{2}=15$。
(3) 设点$P$的坐标为$(a,0)(-5＜a＜0)$。
$\because B(0,5),C(-5,0)$，设BC的解析式为$y=kx+5$，代入C点坐标得$0=-5k+5$，解得$k=1$，$\therefore BC$所在直线对应的函数解析式为$y=x+5$。
设$PH$与$BC$所在直线的交点为$E$，点$E$的坐标为$(a,a+5)$，点$H$的坐标为$(a,-a^2-4a+5)$。
$\because BC$所在直线把$△ PCH$分成面积之比为$2:3$的两部分，两个三角形同高，面积比等于底的比，$\therefore EH=\frac{3}{2}EP$或$EH=\frac{2}{3}EP$。
①当$EH=\frac{3}{2}EP$时，$(-a^2-4a+5)-(a+5)=\frac{3}{2}(a+5)$。
解这个方程，得$a=-\frac{3}{2}$或$a=-5$(舍去)。
②当$EH=\frac{2}{3}EP$时，$(-a^2-4a+5)-(a+5)=\frac{2}{3}(a+5)$。
解这个方程，得$a=-\frac{2}{3}$或$a=-5$(舍去)。
$\therefore$点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2},0)$或$(-\frac{2}{3},0)$。
【答案】
(1) $y=-x^2-4x+5$
(2) $C(-5,0)$，$D(-2,9)$，$△ BCD$的面积为15
(3) $(-\frac{3}{2},0)$或$(-\frac{2}{3},0)$
【知识点】
解一元二次方程，待定系数法求解析式，二次函数几何应用
【点评】
本题综合考查二次函数与方程、一次函数的结合，解题时需熟练掌握待定系数法求函数解析式，灵活运用割补法计算不规则图形面积，解决面积比例问题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
11.某数学兴趣小组对函数$y=x^2 - 2|x|$的图象和性质进行了探究,请补充完整下面的探究过程.
(1)自变量$x$的取值范围是全体实数,$x$与$y$的几组对应值列表如下,其中$m=$
(2)根据表中数据,该小组在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.
(3)观察函数图象,写出两条该函数的性质.
(4)进一步观察函数图象发现:
①关于$x$的方程$x^2 - 2|x|=0$的实数根为
②当关于$x$的方程$x^2 - 2|x|=a$有4个实数根时,$a$的取值范围是
(1)自变量$x$的取值范围是全体实数,$x$与$y$的几组对应值列表如下,其中$m=$
0
.(2)根据表中数据,该小组在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.
(3)观察函数图象,写出两条该函数的性质.
(4)进一步观察函数图象发现:
①关于$x$的方程$x^2 - 2|x|=0$的实数根为
$x_1=-2,x_2=0,x_3=2$
.②当关于$x$的方程$x^2 - 2|x|=a$有4个实数根时,$a$的取值范围是
$-1＜a＜0$
.答案
11.【解】(1)$0$
(2)如图
.(3)答案不唯一,示例:
①函数图象关于$y$轴对称.
②当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而增大.
(4)①$x_1=-2,x_2=0,x_3=2$
②$-1＜a＜0$
解析
【分析】
(1) 求m的值可直接将对应x代入函数解析式计算，也可利用该函数关于y轴对称的性质，由对称点的函数值相等得到结果。
(2) 该函数含有绝对值，满足同一函数值对应x和-x两个自变量，图象关于y轴对称，因此只需将已画出的一侧图象沿y轴翻折即可得到完整图象。
(3) 观察函数图象可从对称性、增减性、最值等角度总结性质，合理即可。
(4) ①方程$x^2 - 2|x|=0$的根就是函数$y=x^2 - 2|x|$与直线$y=0$（x轴）交点的横坐标，直接从图象读取交点横坐标即可。②方程$x^2 - 2|x|=a$的根的个数对应函数$y=x^2 - 2|x|$与直线$y=a$的交点个数，观察图象找到有4个交点时a的取值范围即可。
【解析】
(1) 将$x=2$代入函数解析式$y=x^2 - 2|x|$，得$y=2^2 - 2×|2|=4-4=0$，因此$m=0$。
(2) 由于函数中$|x|=|-x|$，因此函数图象关于y轴对称，将已绘制的y轴一侧图象沿y轴翻折，得到完整图象如图。
(3) 观察图象可得到多条性质，示例如下：①函数图象关于y轴对称；②当$x＞1$时，y随x的增大而增大；③函数的最小值为-1（写出两条合理即可）。
(4) ①方程$x^2 - 2|x|=0$的解对应函数$y=x^2 - 2|x|$与x轴的交点横坐标，由图象可知交点为$(-2,0)$、$(0,0)$、$(2,0)$，因此方程的实数根为$x_1=-2,x_2=0,x_3=2$。
②方程$x^2 - 2|x|=a$的实数根个数等价于函数$y=x^2 - 2|x|$与直线$y=a$的交点个数，观察图象可知：当$-1＜a＜0$时，直线$y=a$与函数图象有4个交点，即此时方程有4个实数根，因此a的取值范围是$-1＜a＜0$。
【答案】
(1)$0$
(2)如图.
(3)答案不唯一,示例:
①函数图象关于$y$轴对称.
②当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而增大.
(4)①$x_1=-2,x_2=0,x_3=2$
②$-1＜a＜0$
【知识点】
含绝对值的二次函数性质，二次函数与一元二次方程，数形结合思想
【点评】
本题围绕含绝对值的二次函数的图象与性质展开探究，考查了函数对称性的应用、利用图象求解方程根及参数范围的能力，突出了数形结合思想在函数问题中的重要作用。
【难度系数】
0.7
(1) 求m的值可直接将对应x代入函数解析式计算，也可利用该函数关于y轴对称的性质，由对称点的函数值相等得到结果。
(2) 该函数含有绝对值，满足同一函数值对应x和-x两个自变量，图象关于y轴对称，因此只需将已画出的一侧图象沿y轴翻折即可得到完整图象。
(3) 观察函数图象可从对称性、增减性、最值等角度总结性质，合理即可。
(4) ①方程$x^2 - 2|x|=0$的根就是函数$y=x^2 - 2|x|$与直线$y=0$（x轴）交点的横坐标，直接从图象读取交点横坐标即可。②方程$x^2 - 2|x|=a$的根的个数对应函数$y=x^2 - 2|x|$与直线$y=a$的交点个数，观察图象找到有4个交点时a的取值范围即可。
【解析】
(1) 将$x=2$代入函数解析式$y=x^2 - 2|x|$，得$y=2^2 - 2×|2|=4-4=0$，因此$m=0$。
(2) 由于函数中$|x|=|-x|$，因此函数图象关于y轴对称，将已绘制的y轴一侧图象沿y轴翻折，得到完整图象如图
。(3) 观察图象可得到多条性质，示例如下：①函数图象关于y轴对称；②当$x＞1$时，y随x的增大而增大；③函数的最小值为-1（写出两条合理即可）。
(4) ①方程$x^2 - 2|x|=0$的解对应函数$y=x^2 - 2|x|$与x轴的交点横坐标，由图象可知交点为$(-2,0)$、$(0,0)$、$(2,0)$，因此方程的实数根为$x_1=-2,x_2=0,x_3=2$。
②方程$x^2 - 2|x|=a$的实数根个数等价于函数$y=x^2 - 2|x|$与直线$y=a$的交点个数，观察图象可知：当$-1＜a＜0$时，直线$y=a$与函数图象有4个交点，即此时方程有4个实数根，因此a的取值范围是$-1＜a＜0$。
【答案】
(1)$0$
(2)如图
.(3)答案不唯一,示例:
①函数图象关于$y$轴对称.
②当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而增大.
(4)①$x_1=-2,x_2=0,x_3=2$
②$-1＜a＜0$
【知识点】
含绝对值的二次函数性质，二次函数与一元二次方程，数形结合思想
【点评】
本题围绕含绝对值的二次函数的图象与性质展开探究，考查了函数对称性的应用、利用图象求解方程根及参数范围的能力，突出了数形结合思想在函数问题中的重要作用。
【难度系数】
0.7
