8. 如图,将小球从点O正上方3 m的点A处投出,把小球看成点,其飞行路线将是一条抛物线.小球的飞行高度y(单位:m)与飞出的水平距离x(单位:m)的关系近似为$y=-\dfrac{1}{4}x^2+bx+c$.
(1)若当小球飞出的水平距离为1 m时,小球达到最大飞行高度,则小球达到的最大飞行高度为m.
(2)若小球达到的最大飞行高度为4 m,求达到最大飞行高度时小球飞出的水平距离.
(3)在(2)的条件下,在小球的飞行方向上放一个截面为矩形的球筐CDEF,其中OC=5 m,CD=2 m,DE=1 m.小球能落入筐中吗?若能,请直接写出小球落在筐底处的点的坐标;若不能,请说明理由.(不考虑其他因素)

(1)$\dfrac{13}{4}$
(2)$\because A(0,3)$,
$\therefore c=3$.
$\therefore y=-\dfrac{1}{4}x^2+bx+3$.
$\because$小球达到的最大飞行高度为 4 m,
$\therefore \dfrac{4×(-\dfrac{1}{4})×3-b^2}{4×(-\dfrac{1}{4})}=4$.
解方程,得 $b_1=1$,$b_2=-1$.
$\therefore$当 $b=1$ 时,$-\dfrac{b}{2×(-\dfrac{1}{4})}=-\dfrac{1}{2×(-\dfrac{1}{4})}=2$.
当 $b=-1$ 时,$-\dfrac{b}{2×(-\dfrac{1}{4})}=-\dfrac{-1}{2×(-\dfrac{1}{4})}=-2$,不合题意,舍去.
$\therefore$当小球达到最大飞行高度时飞出的水平距离为 2 m.
(3)能落入筐中,小球落在筐底处的点的坐标为$(6,0)$.

【分析】
(1) 先根据点A的坐标确定c的值，再由“水平距离为1m时达到最大高度”得到抛物线对称轴为x=1，利用对称轴公式求出b的值，最后将x=1代入解析式即可求得最大高度；
(2) 先代入A点坐标得c=3，再根据二次函数顶点纵坐标为最大高度4m，列方程求出b的值，结合小球向右飞行的实际意义舍去负的b，再通过对称轴公式求出最大高度对应的水平距离；
(3) 先确定(2)条件下的函数解析式，再根据矩形筐的坐标范围，判断函数在x∈[5,7]区间内的y值是否落在筐的高度范围内，再令y=0求解x，验证是否在x的范围内即可。
【解析】
(1) 由题意得，点A坐标为(0,3)，代入$y=-\dfrac{1}{4}x^2+bx+c$，得$c=3$。
∵ 水平距离为1m时小球达到最大高度，即抛物线对称轴为$x=1$，
由对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，$a=-\dfrac{1}{4}$，得$-\dfrac{b}{2×(-\dfrac{1}{4})}=1$，解得$b=\dfrac{1}{2}$。
∴ 解析式为$y=-\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}x+3$，将$x=1$代入得：
$y=-\dfrac{1}{4}×1^2+\dfrac{1}{2}×1+3=\dfrac{13}{4}$。
(2)
∵ 点$A(0,3)$，代入解析式得$c=3$，
∴ 解析式为$y=-\dfrac{1}{4}x^2+bx+3$。
∵ 最大飞行高度为4m，即抛物线顶点纵坐标为4，
由顶点纵坐标公式$\dfrac{4ac-b^2}{4a}=4$，代入$a=-\dfrac{1}{4},c=3$得：
$\dfrac{4×(-\dfrac{1}{4})×3 - b^2}{4×(-\dfrac{1}{4})}=4$，
整理得$b^2 +3=4$，解得$b_1=1,b_2=-1$。
小球向右飞行，对称轴应在x正半轴，当$b=-1$时，对称轴$x=-\dfrac{-1}{2×(-\dfrac{1}{4})}=-2$，不合题意舍去；
当$b=1$时，对称轴$x=-\dfrac{1}{2×(-\dfrac{1}{4})}=2$，即最大高度对应的水平距离为2m。
(3) 能落入筐中。
由(2)得函数解析式为$y=-\dfrac{1}{4}x^2+x+3$，
由题意得，筐的x范围为$5≤ x≤7$，y范围为$0≤ y≤1$。
令$y=0$，则$-\dfrac{1}{4}x^2+x+3=0$，
整理得$x^2-4x-12=0$，因式分解得$(x-6)(x+2)=0$，
解得$x_1=6,x_2=-2$（舍去），
$x=6$在$5≤ x≤7$范围内，符合要求，故小球落在筐底的坐标为$(6,0)$。
【答案】
(1)$\dfrac{13}{4}$；(2)2 m；(3)能落入筐中，落点坐标为$(6,0)$
【知识点】
二次函数的性质；待定系数法求解析式；二次函数的实际应用
【点评】
本题以抛小球的实际场景为载体，考查二次函数的顶点、求值等核心知识点，解题时要注意结合实际意义对解进行取舍，能有效提升运用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65

9.现有一块边长为 120 cm 的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大.
(1)某数学兴趣小组经讨论得出结论:在水流速度一定的情况下，水槽横截面的面积越大，通过水槽的水的流量越大.为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索.
①方案一:如图，把铁皮折成横截面为直角三角形的水槽.

已知$∠ ACB=90°$，设$AC=x$(单位: cm)，该水槽横截面的面积为$y$(单位: $\mathrm{cm}^2$)，请你求出$y$关于$x$的函数解析式(不必写出$x$的取值范围)，并求出当$x$取何值时，$y$的值最大，最大值是多少.
②方案二:如图，把铁皮折成横截面为等腰梯形的水槽.

若$∠ ABC=120°$，请你求出该水槽横截面的面积的最大值，并与方案一中水槽横截面的面积最大值比较大小.
(2)假如你是该兴趣小组的成员，通过对两个方案的探究，你能得出什么结论?

(1) ① $y=\dfrac{1}{2}x(120-x)=-\dfrac{1}{2}x^2+60x=-\dfrac{1}{2}(x-60)^2+1800$.
当 $x=60\ \mathrm{cm}$ 时, $y$ 的值最大, 最大值为 $1800\ \mathrm{cm}^2$.
②如图,过点 B 作 $BE⊥ AD$,垂足为 E,过点 C 作 $CF⊥ AD$,垂足为 F.

设 $AB=CD=x$(单位:cm),该水槽横截面的面积为 S(单位:$\mathrm{cm}^2$).
易得四边形 BCFE 为矩形.
$\therefore EF=BC=(120-2x)\mathrm{cm}$.
$\because$ 四边形 ABCD 为等腰梯形,$∠ ABC=120°$,
$\therefore ∠ ABE=∠ DCF=30°$.
$\therefore AE=DF=\dfrac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$,$AD=(120-x)\mathrm{cm}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中, 由勾股定理, 得 $BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x\ \mathrm{cm}$.
$\therefore S=\dfrac{1}{2}·\dfrac{\sqrt{3}}{2}x(120-2x+120-x)=-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}x^2+60\sqrt{3}x=-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}(x-40)^2+1200\sqrt{3}$.
$\therefore$ 当 $x=40\ \mathrm{cm}$ 时,S 取得最大值,最大值为 $1200\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$.
$\because 1200\sqrt{3}＞1800$,
$\therefore$ 方案二中水槽横截面的面积的最大值更大.
(2)答案不唯一,示例:折成的水槽横截面的边数越多,横截面的面积的最大值越大,因此当折的边数无限多,即折成横截面为半圆的水槽时,通过水槽的水的流量最大.

【分析】
①方案一：横截面为直角三角形，铁皮总长度120cm即两条直角边长度和为120cm，已知AC=x，可得另一条直角边长为(120-x)cm，代入直角三角形面积公式即可得到y关于x的函数解析式，再通过配方法转化为顶点式，利用二次函数的性质求最值即可。
②方案二：横截面为等腰梯形，通过作两条高将梯形分割为两个全等的直角三角形和一个矩形，结合∠ABC=120°可得直角三角形的锐角为30°，利用30°直角三角形的性质和勾股定理分别表示出梯形的上底、下底和高，代入梯形面积公式得到面积S关于x的函数解析式，配成顶点式求出最大值后，与方案一的最大值比较大小即可。
(2)对比两个方案的最大面积，结合图形特征总结合理结论即可。
【解析】
(1)① 由题意得，直角三角形另一条直角边长为(120-x)cm，根据三角形面积公式：
$y=\dfrac{1}{2}x(120-x)=-\dfrac{1}{2}x^2+60x$
配方得$y=-\dfrac{1}{2}(x-60)^2+1800$，
因为二次项系数$-\dfrac{1}{2}＜0$，所以当x=60时，y取得最大值。
② 过点B作$BE⊥ AD$，垂足为E，过点C作$CF⊥ AD$，垂足为F，可得四边形BCFE为矩形，故$EF=BC$。
设$AB=CD=x\ \mathrm{cm}$，则$BC=120-2x\ \mathrm{cm}$，即$EF=120-2x\ \mathrm{cm}$。
因为四边形ABCD为等腰梯形，$∠ ABC=120°$，所以$∠ ABE=∠ DCF=30°$，
可得$AE=DF=\dfrac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$，下底$AD=AE+EF+DF=120-x\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得高$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x\ \mathrm{cm}$，
代入梯形面积公式：
$S=\dfrac{1}{2}×(AD+BC)× BE=\dfrac{1}{2}·\dfrac{\sqrt{3}}{2}x(120-2x+120-x)$
整理配方得$S=-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}(x-40)^2+1200\sqrt{3}$，
因为二次项系数$-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}＜0$，所以当x=40时，S取得最大值。
比较得$1200\sqrt{3}＞1800$，故方案二的横截面面积最大值更大。
(2)结合两个方案的结果，可从横截面形状与面积的关系总结结论即可。
【答案】
(1) ① $y=\dfrac{1}{2}x(120-x)=-\dfrac{1}{2}x^2+60x=-\dfrac{1}{2}(x-60)^2+1800$.
当 $x=60\ \mathrm{cm}$ 时, $y$ 的值最大, 最大值为 $1800\ \mathrm{cm}^2$.
②如图,过点 B 作 $BE⊥ AD$,垂足为 E,过点 C 作 $CF⊥ AD$,垂足为 F.

设 $AB=CD=x$(单位:cm),该水槽横截面的面积为 S(单位:$\mathrm{cm}^2$).
易得四边形 BCFE 为矩形.
$\therefore EF=BC=(120-2x)\mathrm{cm}$.
$\because$ 四边形 ABCD 为等腰梯形,$∠ ABC=120°$,
$\therefore ∠ ABE=∠ DCF=30°$.
$\therefore AE=DF=\dfrac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$,$AD=(120-x)\mathrm{cm}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中, 由勾股定理, 得 $BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x\ \mathrm{cm}$.
$\therefore S=\dfrac{1}{2}·\dfrac{\sqrt{3}}{2}x(120-2x+120-x)=-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}x^2+60\sqrt{3}x=-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}(x-40)^2+1200\sqrt{3}$.
$\therefore$ 当 $x=40\ \mathrm{cm}$ 时,S 取得最大值,最大值为 $1200\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$.
$\because 1200\sqrt{3}＞1800$,
$\therefore$ 方案二中水槽横截面的面积的最大值更大.
(2)答案不唯一,示例:折成的水槽横截面的边数越多,横截面的面积的最大值越大,因此当折的边数无限多,即折成横截面为半圆的水槽时,通过水槽的水的流量最大.
【知识点】
二次函数最值应用，等腰梯形性质，直角三角形性质
【点评】
本题以生活中水槽设计的实际问题为载体，将几何图形的面积计算和二次函数求最值的知识点结合考查，需要学生建立函数模型解决实际问题，既检验了基础知识点的掌握情况，也锻炼了知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.6