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9. 要使算式$-3^4□(2^3 - (-2)^3)$的计算结果最大，在“”里填入的运算符号应是 【 】
A.$+$
B.$-$
C.$×$
D.$÷$
A.$+$
B.$-$
C.$×$
D.$÷$
答案
D
解析
【分析】
要确定填入哪个运算符号时算式结果最大，首先按照有理数混合运算顺序，先计算出算式中固定部分的结果，即先算乘方，再算括号内的运算，得到两个固定的数值，再分别将四个选项的运算符号代入计算结果，最后比较四个结果的大小，选出结果最大对应的运算符号即可。
【解析】
第一步，计算固定部分的数值：
① 计算$-3^4$：指数仅作用于3，因此$-3^4=-(3×3×3×3)=-81$；
② 计算括号内的$2^3 - (-2)^3$：
先算乘方：$2^3=8$，$(-2)^3=-8$，
再算减法：$2^3 - (-2)^3=8 - (-8)=8+8=16$。
此时原式简化为$-81□16$。
第二步，分别代入四个运算符号计算结果：
A. 填入“$+$”：$-81 + 16 = -65$；
B. 填入“$-$”：$-81 - 16 = -97$；
C. 填入“$×$”：$-81 × 16 = -1296$；
D. 填入“$÷$”：$-81 ÷ 16 = -\frac{81}{16}=-5.0625$。
第三步，比较结果大小：负数比较大小，绝对值越小的数越大。
因为$|-5.0625|＜|-65|＜|-97|＜|-1296|$，所以$-5.0625＞-65＞-97＞-1296$，即填入“÷”时结果最大。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算，有理数混合运算，有理数大小比较
【点评】
本题易错点是区分$-3^4$和$(-3)^4$的运算结果，解题时先化简固定部分再代入运算计算，能有效降低计算量，同时要熟练掌握负数比较大小的规则。
【难度系数】
0.7
要确定填入哪个运算符号时算式结果最大，首先按照有理数混合运算顺序，先计算出算式中固定部分的结果，即先算乘方，再算括号内的运算，得到两个固定的数值，再分别将四个选项的运算符号代入计算结果，最后比较四个结果的大小，选出结果最大对应的运算符号即可。
【解析】
第一步，计算固定部分的数值：
① 计算$-3^4$：指数仅作用于3，因此$-3^4=-(3×3×3×3)=-81$；
② 计算括号内的$2^3 - (-2)^3$：
先算乘方：$2^3=8$，$(-2)^3=-8$，
再算减法：$2^3 - (-2)^3=8 - (-8)=8+8=16$。
此时原式简化为$-81□16$。
第二步，分别代入四个运算符号计算结果：
A. 填入“$+$”：$-81 + 16 = -65$；
B. 填入“$-$”：$-81 - 16 = -97$；
C. 填入“$×$”：$-81 × 16 = -1296$；
D. 填入“$÷$”：$-81 ÷ 16 = -\frac{81}{16}=-5.0625$。
第三步，比较结果大小：负数比较大小，绝对值越小的数越大。
因为$|-5.0625|＜|-65|＜|-97|＜|-1296|$，所以$-5.0625＞-65＞-97＞-1296$，即填入“÷”时结果最大。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算，有理数混合运算，有理数大小比较
【点评】
本题易错点是区分$-3^4$和$(-3)^4$的运算结果，解题时先化简固定部分再代入运算计算，能有效降低计算量，同时要熟练掌握负数比较大小的规则。
【难度系数】
0.7
10. 对于有理数$a$、$b$，规定一种运算：$a\otimes b = a^2 - ab$，例如$1\otimes 2 = 1^2 - 1× 2 = -1$，则计算$-5\otimes [3\otimes (-2)]$的结果是
【 】
A.$-100$
B.$100$
C.$-1$
D.$90$
【 】
A.$-100$
B.$100$
C.$-1$
D.$90$
答案
B
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题需分两步：首先明确新运算规则$a\otimes b = a^2 - ab$，其次遵循有理数混合运算“有括号先算括号内”的顺序，先计算内层的$3\otimes (-2)$，再将所得结果代入外层运算计算最终值，计算时注意符号处理。
【解析】
按照运算顺序，先计算括号内的$3\otimes (-2)$：
根据$a\otimes b = a^2 - ab$，此处$a=3$，$b=-2$，代入得：
$3\otimes (-2)=3^2 - 3×(-2)=9 + 6=15$
再计算外层的$-5\otimes 15$，此处$a=-5$，$b=15$，代入得：
$-5\otimes 15=(-5)^2 - (-5)×15=25 + 75=100$
【答案】
B
【知识点】
新定义运算；有理数混合运算
【点评】
本题核心考查对新运算规则的理解和有理数混合运算的应用，解题关键是严格遵循运算顺序分步计算，处理有理数乘法、减法时要注意符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算类题目，解题需分两步：首先明确新运算规则$a\otimes b = a^2 - ab$，其次遵循有理数混合运算“有括号先算括号内”的顺序，先计算内层的$3\otimes (-2)$，再将所得结果代入外层运算计算最终值，计算时注意符号处理。
【解析】
按照运算顺序，先计算括号内的$3\otimes (-2)$：
根据$a\otimes b = a^2 - ab$，此处$a=3$，$b=-2$，代入得：
$3\otimes (-2)=3^2 - 3×(-2)=9 + 6=15$
再计算外层的$-5\otimes 15$，此处$a=-5$，$b=15$，代入得：
$-5\otimes 15=(-5)^2 - (-5)×15=25 + 75=100$
【答案】
B
【知识点】
新定义运算；有理数混合运算
【点评】
本题核心考查对新运算规则的理解和有理数混合运算的应用，解题关键是严格遵循运算顺序分步计算，处理有理数乘法、减法时要注意符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
11. 下列计算中，正确的是 【 】
A.$-8 - 2 × 6 = (-8 - 2) × 6$
B.$2 ÷ \dfrac{4}{3} × \dfrac{3}{4} = 2 ÷ ( \dfrac{4}{3} × \dfrac{3}{4} )$
C.$(-1)^{2024} + (-1)^{2025} = 1 + (-1)$
D.$-(-3^2) = -9$
A.$-8 - 2 × 6 = (-8 - 2) × 6$
B.$2 ÷ \dfrac{4}{3} × \dfrac{3}{4} = 2 ÷ ( \dfrac{4}{3} × \dfrac{3}{4} )$
C.$(-1)^{2024} + (-1)^{2025} = 1 + (-1)$
D.$-(-3^2) = -9$
答案
C
解析
【分析】
本题考查有理数混合运算的正误判断，解题思路是逐个验证每个选项：首先明确有理数混合运算的规则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算按照从左到右的顺序计算；有括号先算括号内的，同时要牢记乘方的符号法则、运算律的适用条件，依次计算每个选项的左右两边，对比是否相等即可得出答案。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A选项：
左边先算乘法，再算减法：$-8 - 2×6 = -8 - 12 = -20$
右边先算括号内的减法，再算乘法：$(-8 - 2)×6 = -10×6 = -60$
两边结果不相等，A错误。
B选项：
乘除是同级运算，需从左到右依次计算，不能随意使用结合律：
左边：$2 ÷ \dfrac{4}{3} × \dfrac{3}{4} = 2 × \dfrac{3}{4} × \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{8}$
右边：$2 ÷ (\dfrac{4}{3} × \dfrac{3}{4}) = 2 ÷ 1 = 2$
两边结果不相等，B错误。
C选项：
根据乘方的符号法则：负数的偶次幂为正，奇次幂为负：
$(-1)^{2024}=1$（2024是偶数），$(-1)^{2025}=-1$（2025是奇数）
所以$(-1)^{2024} + (-1)^{2025} = 1 + (-1)$，C正确。
D选项：
先算乘方，再处理符号：$3^2=9$，所以$-(-3^2) = -(-9) = 9 ≠ -9$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
1.有理数混合运算顺序
2.乘方的符号法则
【点评】
本题是有理数运算的基础常考题，主要易错点在于混淆运算优先级、错用运算律、弄错乘方的符号，只要熟练掌握运算规则，仔细计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数混合运算的正误判断，解题思路是逐个验证每个选项：首先明确有理数混合运算的规则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算按照从左到右的顺序计算；有括号先算括号内的，同时要牢记乘方的符号法则、运算律的适用条件，依次计算每个选项的左右两边，对比是否相等即可得出答案。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A选项：
左边先算乘法，再算减法：$-8 - 2×6 = -8 - 12 = -20$
右边先算括号内的减法，再算乘法：$(-8 - 2)×6 = -10×6 = -60$
两边结果不相等，A错误。
B选项：
乘除是同级运算，需从左到右依次计算，不能随意使用结合律：
左边：$2 ÷ \dfrac{4}{3} × \dfrac{3}{4} = 2 × \dfrac{3}{4} × \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{8}$
右边：$2 ÷ (\dfrac{4}{3} × \dfrac{3}{4}) = 2 ÷ 1 = 2$
两边结果不相等，B错误。
C选项：
根据乘方的符号法则：负数的偶次幂为正，奇次幂为负：
$(-1)^{2024}=1$（2024是偶数），$(-1)^{2025}=-1$（2025是奇数）
所以$(-1)^{2024} + (-1)^{2025} = 1 + (-1)$，C正确。
D选项：
先算乘方，再处理符号：$3^2=9$，所以$-(-3^2) = -(-9) = 9 ≠ -9$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
1.有理数混合运算顺序
2.乘方的符号法则
【点评】
本题是有理数运算的基础常考题，主要易错点在于混淆运算优先级、错用运算律、弄错乘方的符号，只要熟练掌握运算规则，仔细计算即可得分。
【难度系数】
0.8
12. 对于有理数$a$、$b$定义一种新运算：$a※b=\dfrac{ab - b^2}{2a}$，则$2※(-2)=$
$-2$
.答案
12. $-2$
解析
【分析】
这是一道新定义运算的题目，解题思路分为两步：第一步先明确新运算的规则，确定所求式子2※(-2)中，对应公式里的a=2，b=-2；第二步将a、b的取值代入新运算的表达式，按照有理数混合运算的运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的）逐步计算，计算时重点注意负数的运算符号，避免出错。
【解析】
解：根据新运算规则$a※b=\dfrac{ab - b^2}{2a}$，可得在$2※(-2)$中，$a=2$，$b=-2$，代入公式得：
$\begin{aligned}2※(-2)&=\frac{2×(-2)-(-2)^2}{2×2}\\&=\frac{-4 - 4}{4}\\&=\frac{-8}{4}\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
$-2$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题难度较低，核心是正确理解新定义的对应关系，代入数值时注意区分a、b的取值，计算时遵循有理数运算的符号规则即可得分。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算的题目，解题思路分为两步：第一步先明确新运算的规则，确定所求式子2※(-2)中，对应公式里的a=2，b=-2；第二步将a、b的取值代入新运算的表达式，按照有理数混合运算的运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的）逐步计算，计算时重点注意负数的运算符号，避免出错。
【解析】
解：根据新运算规则$a※b=\dfrac{ab - b^2}{2a}$，可得在$2※(-2)$中，$a=2$，$b=-2$，代入公式得：
$\begin{aligned}2※(-2)&=\frac{2×(-2)-(-2)^2}{2×2}\\&=\frac{-4 - 4}{4}\\&=\frac{-8}{4}\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
$-2$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题难度较低，核心是正确理解新定义的对应关系，代入数值时注意区分a、b的取值，计算时遵循有理数运算的符号规则即可得分。
【难度系数】
0.8
13. 计算：$(-\dfrac{1}{2})× 8× (-\dfrac{3}{4})-(-\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{3})÷ 2^3$. 小明同学的解题过程如下：
解：$(-\dfrac{1}{2})× 8× (-\dfrac{3}{4})-(-\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{3})÷ 2^3$
$=4× (-\dfrac{3}{4})-\dfrac{1}{2}÷ 8$
$=-3-\dfrac{1}{16}$
$=-3\dfrac{1}{16}$.
(1) 请指出最早开始出错的步骤，并说明错误原因；
(2) 写出你的解答过程.
解：$(-\dfrac{1}{2})× 8× (-\dfrac{3}{4})-(-\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{3})÷ 2^3$
$=4× (-\dfrac{3}{4})-\dfrac{1}{2}÷ 8$
$=-3-\dfrac{1}{16}$
$=-3\dfrac{1}{16}$.
(1) 请指出最早开始出错的步骤，并说明错误原因；
(2) 写出你的解答过程.
答案
(1) 最早开始出错的步骤是：$4 × (-\dfrac{3}{4})-\dfrac{1}{2}÷ 8$. 错误原因是$(-\dfrac{1}{2})×8$和$(-\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{3})$计算错误
(2) 原式$=-4×(-\dfrac{3}{4})-(-\dfrac{1}{2})÷8=3+\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{8}=3+\dfrac{1}{16}=3\dfrac{1}{16}$
(2) 原式$=-4×(-\dfrac{3}{4})-(-\dfrac{1}{2})÷8=3+\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{8}=3+\dfrac{1}{16}=3\dfrac{1}{16}$
解析
【分析】
对于(1)问，我们按照有理数运算规则逐行核对小明的解题步骤即可：有理数乘法异号得负，因此$(-\frac{1}{2})×8$结果应为$-4$，小明算成$4$属于符号错误；括号内$(-\frac{5}{6}+\frac{1}{3})$通分计算结果为$-\frac{1}{2}$，小明算成正的$\frac{1}{2}$也属于计算错误，因此该步是最早出错的步骤。对于(2)问，遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的内容，同时注意每一步的符号判断，即可求出正确结果。
【解析】
(1) 逐行核对小明的计算过程：
第一步变形中，$(-\frac{1}{2})×8=-4$，小明错误算为$4$；括号内$(-\frac{5}{6}+\frac{1}{3})=-\frac{5}{6}+\frac{2}{6}=-\frac{1}{2}$，小明错误算为$\frac{1}{2}$，两个部分均计算错误。
(2) 正确计算过程如下：
先算乘方：$2^3=8$
再算乘法和括号内运算：
$(-\dfrac{1}{2})×8×(-\dfrac{3}{4})=-4×(-\dfrac{3}{4})=3$
$(-\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{3})=-\dfrac{1}{2}$
接着算除法：$(-\dfrac{1}{2})÷8=-\dfrac{1}{16}$
最后算加减：$3 - (-\dfrac{1}{16})=3+\dfrac{1}{16}=3\dfrac{1}{16}$
【答案】
(1) 最早开始出错的步骤是：$4 × (-\dfrac{3}{4})-\dfrac{1}{2}÷ 8$。错误原因是$(-\dfrac{1}{2})×8$和$(-\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{3})$计算错误
(2) 原式$=-4×(-\dfrac{3}{4})-(-\dfrac{1}{2})÷8=3+\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{8}=3+\dfrac{1}{16}=3\dfrac{1}{16}$
【知识点】
有理数混合运算，符号运算规则，分数运算
【点评】
本题是有理数混合运算的典型基础题，核心易错点是运算过程中的符号判断，解题时需严格遵循运算顺序，先确定每一步的运算符号，再计算绝对值，能有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
对于(1)问，我们按照有理数运算规则逐行核对小明的解题步骤即可：有理数乘法异号得负，因此$(-\frac{1}{2})×8$结果应为$-4$，小明算成$4$属于符号错误；括号内$(-\frac{5}{6}+\frac{1}{3})$通分计算结果为$-\frac{1}{2}$，小明算成正的$\frac{1}{2}$也属于计算错误，因此该步是最早出错的步骤。对于(2)问，遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的内容，同时注意每一步的符号判断，即可求出正确结果。
【解析】
(1) 逐行核对小明的计算过程：
第一步变形中，$(-\frac{1}{2})×8=-4$，小明错误算为$4$；括号内$(-\frac{5}{6}+\frac{1}{3})=-\frac{5}{6}+\frac{2}{6}=-\frac{1}{2}$，小明错误算为$\frac{1}{2}$，两个部分均计算错误。
(2) 正确计算过程如下：
先算乘方：$2^3=8$
再算乘法和括号内运算：
$(-\dfrac{1}{2})×8×(-\dfrac{3}{4})=-4×(-\dfrac{3}{4})=3$
$(-\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{3})=-\dfrac{1}{2}$
接着算除法：$(-\dfrac{1}{2})÷8=-\dfrac{1}{16}$
最后算加减：$3 - (-\dfrac{1}{16})=3+\dfrac{1}{16}=3\dfrac{1}{16}$
【答案】
(1) 最早开始出错的步骤是：$4 × (-\dfrac{3}{4})-\dfrac{1}{2}÷ 8$。错误原因是$(-\dfrac{1}{2})×8$和$(-\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{3})$计算错误
(2) 原式$=-4×(-\dfrac{3}{4})-(-\dfrac{1}{2})÷8=3+\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{8}=3+\dfrac{1}{16}=3\dfrac{1}{16}$
【知识点】
有理数混合运算，符号运算规则，分数运算
【点评】
本题是有理数混合运算的典型基础题，核心易错点是运算过程中的符号判断，解题时需严格遵循运算顺序，先确定每一步的运算符号，再计算绝对值，能有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
