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三、解答题(本大题共6个小题，满分60分)
16. (本小题满分12分)
(1)求下列各式的值：
①$-\sqrt[3]{0.216}$；
②$\pm\sqrt{\frac{4}{9}}$；
③$-\sqrt[3]{-\frac{512}{125}}$；
④$\sqrt{5\frac{1}{16}}$.
(2)计算：
①$\sqrt[3]{8} - |3 - \sqrt{2}| - \sqrt{25} - \sqrt{2}$；
②$\sqrt{(-5)^2} + \sqrt[3]{-27} - |\sqrt{7} - 4|$.
(3)求下列各式中$x$的值：
①$4x^2 = 25$；
②$(x + 1)^3 - 8 = 0$.
16. (本小题满分12分)
(1)求下列各式的值：
①$-\sqrt[3]{0.216}$；
②$\pm\sqrt{\frac{4}{9}}$；
③$-\sqrt[3]{-\frac{512}{125}}$；
④$\sqrt{5\frac{1}{16}}$.
(2)计算：
①$\sqrt[3]{8} - |3 - \sqrt{2}| - \sqrt{25} - \sqrt{2}$；
②$\sqrt{(-5)^2} + \sqrt[3]{-27} - |\sqrt{7} - 4|$.
(3)求下列各式中$x$的值：
①$4x^2 = 25$；
②$(x + 1)^3 - 8 = 0$.
答案
16. (1)①−0.6 ②$\pm \dfrac{2}{3}$ ③$\dfrac{8}{5}$ ④$\dfrac{9}{4}$
(2)①−6 ②$-2+\sqrt{7}$
(3)①$x=\pm \dfrac{5}{2}$ ②$x=1$
(2)①−6 ②$-2+\sqrt{7}$
(3)①$x=\pm \dfrac{5}{2}$ ②$x=1$
解析
【分析】
本题分为三个模块，解题思路如下：
1. 求开方值类题目：明确平方根、算术平方根、立方根的定义与符号规则：正数的算术平方根为正，平方根有正负两个；任意实数的立方根符号与被开方数一致，先找到对应平方/立方等于被开方数的数，再结合符号得出结果。
2. 实数混合运算类题目：运算顺序为先算开方，再化简绝对值（判断绝对值内式子的正负，正数去绝对值不变号，负数去绝对值变相反数），最后合并同类项计算。
3. 含乘方的方程类题目：先将式子整理为$x^2=a$或$(x+m)^3=b$的形式，开平方时注意取正负两个值，开立方时只有一个对应值，再求解$x$。
【解析】
(1) 求各式的值：
① 因为$0.6^3=0.216$，所以$\sqrt[3]{0.216}=0.6$，故$-\sqrt[3]{0.216}=-0.6$。
② 因为$(\pm\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，所以$\pm\sqrt{\frac{4}{9}}=\pm\frac{2}{3}$。
③ 因为$(-\frac{8}{5})^3=-\frac{512}{125}$，所以$\sqrt[3]{-\frac{512}{125}}=-\frac{8}{5}$，故$-\sqrt[3]{-\frac{512}{125}}=-(-\frac{8}{5})=\frac{8}{5}$。
④ 先将带分数化为假分数：$5\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$，因为$(\frac{9}{4})^2=\frac{81}{16}$，算术平方根为正，故$\sqrt{5\frac{1}{16}}=\frac{9}{4}$。
(2) 计算：
① 先化简各项：$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt{25}=5$，因为$3＞\sqrt{2}$，所以$|3-\sqrt{2}|=3-\sqrt{2}$，代入原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2-(3-\sqrt{2})-5-\sqrt{2}\\&=2-3+\sqrt{2}-5-\sqrt{2}\\&=-6\end{aligned}$
② 先化简各项：$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，因为$\sqrt{7}＜4$，所以$|\sqrt{7}-4|=4-\sqrt{7}$，代入原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=5+(-3)-(4-\sqrt{7})\\&=5-3-4+\sqrt{7}\\&=-2+\sqrt{7}\end{aligned}$
(3) 求$x$的值：
① 先将系数化为1：两边同时除以4，得$x^2=\frac{25}{4}$，开平方得$x=\pm\sqrt{\frac{25}{4}}=\pm\frac{5}{2}$。
② 先移项得$(x+1)^3=8$，开立方得$x+1=\sqrt[3]{8}=2$，解得$x=2-1=1$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{-0.6}$；②$\boldsymbol{\pm\frac{2}{3}}$；③$\boldsymbol{\frac{8}{5}}$；④$\boldsymbol{\frac{9}{4}}$
(2)①$\boldsymbol{-6}$；②$\boldsymbol{-2+\sqrt{7}}$
(3)①$\boldsymbol{x=\pm\frac{5}{2}}$；②$\boldsymbol{x=1}$
【知识点】
平方根与立方根运算，实数混合运算，含乘方的方程求解
【点评】
本题是实数章节的基础综合题，覆盖了开方运算、绝对值化简、解方程等核心考点，难度较低，主要考查学生对平方根、立方根性质的掌握程度，计算时需注意符号规则，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
本题分为三个模块，解题思路如下：
1. 求开方值类题目：明确平方根、算术平方根、立方根的定义与符号规则：正数的算术平方根为正，平方根有正负两个；任意实数的立方根符号与被开方数一致，先找到对应平方/立方等于被开方数的数，再结合符号得出结果。
2. 实数混合运算类题目：运算顺序为先算开方，再化简绝对值（判断绝对值内式子的正负，正数去绝对值不变号，负数去绝对值变相反数），最后合并同类项计算。
3. 含乘方的方程类题目：先将式子整理为$x^2=a$或$(x+m)^3=b$的形式，开平方时注意取正负两个值，开立方时只有一个对应值，再求解$x$。
【解析】
(1) 求各式的值：
① 因为$0.6^3=0.216$，所以$\sqrt[3]{0.216}=0.6$，故$-\sqrt[3]{0.216}=-0.6$。
② 因为$(\pm\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，所以$\pm\sqrt{\frac{4}{9}}=\pm\frac{2}{3}$。
③ 因为$(-\frac{8}{5})^3=-\frac{512}{125}$，所以$\sqrt[3]{-\frac{512}{125}}=-\frac{8}{5}$，故$-\sqrt[3]{-\frac{512}{125}}=-(-\frac{8}{5})=\frac{8}{5}$。
④ 先将带分数化为假分数：$5\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$，因为$(\frac{9}{4})^2=\frac{81}{16}$，算术平方根为正，故$\sqrt{5\frac{1}{16}}=\frac{9}{4}$。
(2) 计算：
① 先化简各项：$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt{25}=5$，因为$3＞\sqrt{2}$，所以$|3-\sqrt{2}|=3-\sqrt{2}$，代入原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2-(3-\sqrt{2})-5-\sqrt{2}\\&=2-3+\sqrt{2}-5-\sqrt{2}\\&=-6\end{aligned}$
② 先化简各项：$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，因为$\sqrt{7}＜4$，所以$|\sqrt{7}-4|=4-\sqrt{7}$，代入原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=5+(-3)-(4-\sqrt{7})\\&=5-3-4+\sqrt{7}\\&=-2+\sqrt{7}\end{aligned}$
(3) 求$x$的值：
① 先将系数化为1：两边同时除以4，得$x^2=\frac{25}{4}$，开平方得$x=\pm\sqrt{\frac{25}{4}}=\pm\frac{5}{2}$。
② 先移项得$(x+1)^3=8$，开立方得$x+1=\sqrt[3]{8}=2$，解得$x=2-1=1$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{-0.6}$；②$\boldsymbol{\pm\frac{2}{3}}$；③$\boldsymbol{\frac{8}{5}}$；④$\boldsymbol{\frac{9}{4}}$
(2)①$\boldsymbol{-6}$；②$\boldsymbol{-2+\sqrt{7}}$
(3)①$\boldsymbol{x=\pm\frac{5}{2}}$；②$\boldsymbol{x=1}$
【知识点】
平方根与立方根运算，实数混合运算，含乘方的方程求解
【点评】
本题是实数章节的基础综合题，覆盖了开方运算、绝对值化简、解方程等核心考点，难度较低，主要考查学生对平方根、立方根性质的掌握程度，计算时需注意符号规则，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
