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9. 下列说法中，正确的是 （
A.4 的平方根是 2
B.平方根是它本身的数只有 0
C.－8 没有立方根
D.立方根是它本身的数只有 0 和 1
B
）A.4 的平方根是 2
B.平方根是它本身的数只有 0
C.－8 没有立方根
D.立方根是它本身的数只有 0 和 1
答案
9. B
解析
【分析】
本题考查平方根与立方根的相关性质，解题时需结合平方根、立方根的定义及特殊取值，逐一分析每个选项的正误即可。首先明确核心性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；所有实数都有唯一的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0，再对应验证各选项。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：因为$(±2)^2=4$，所以4的平方根是$±2$，不是只有2，故A错误；
B选项：正数有两个平方根，负数没有平方根，只有0的平方根是它本身，故B正确；
C选项：负数也存在立方根，因为$(-2)^3=-8$，所以-8的立方根是-2，故C错误；
D选项：立方根是它本身的数有0、1、-1三个，不只有0和1，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
平方根的性质；立方根的性质；特殊数的方根
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对平方根、立方根概念的理解，易错点是混淆平方根和立方根的取值范围，或漏记-1的立方根也是它本身，学习时要重点区分平方根与立方根的性质差异，牢记特殊值的方根特征。
【难度系数】
0.8
本题考查平方根与立方根的相关性质，解题时需结合平方根、立方根的定义及特殊取值，逐一分析每个选项的正误即可。首先明确核心性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；所有实数都有唯一的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0，再对应验证各选项。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：因为$(±2)^2=4$，所以4的平方根是$±2$，不是只有2，故A错误；
B选项：正数有两个平方根，负数没有平方根，只有0的平方根是它本身，故B正确；
C选项：负数也存在立方根，因为$(-2)^3=-8$，所以-8的立方根是-2，故C错误；
D选项：立方根是它本身的数有0、1、-1三个，不只有0和1，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
平方根的性质；立方根的性质；特殊数的方根
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对平方根、立方根概念的理解，易错点是混淆平方根和立方根的取值范围，或漏记-1的立方根也是它本身，学习时要重点区分平方根与立方根的性质差异，牢记特殊值的方根特征。
【难度系数】
0.8
10. 用四舍五入法按要求对0.050 19分别取近似值，其中不正确的是（
A.0.1（精确到十分位）
B.0.05（精确到百分位）
C.0.05（精确到0.001）
D.0.050 2（精确到0.000 1）
C
）A.0.1（精确到十分位）
B.0.05（精确到百分位）
C.0.05（精确到0.001）
D.0.050 2（精确到0.000 1）
答案
10. C
解析
【分析】
解题时首先要明确四舍五入取近似值的规则：要将数精确到某一位时，只需看这一位的后一位数字，若数字≥5则向前一位进1，若数字＜5则直接舍去；接下来逐一验证每个选项的近似值是否符合对应的精确度要求，即可找出错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 精确到十分位（即小数点后第一位），看百分位上的数字是5，需向十分位进1，因此$0.05019≈0.1$，该选项正确，不符合题意；
B. 精确到百分位（即小数点后第二位），看千分位上的数字是0，直接舍去，因此$0.05019≈0.05$，该选项正确，不符合题意；
C. 精确到0.001（即千分位，小数点后第三位），看万分位上的数字是1，直接舍去，因此$0.05019≈0.050$，而非选项中的0.05（0.05是精确到百分位的结果），该选项错误，符合题意；
D. 精确到0.0001（即万分位，小数点后第四位），看十万分位上的数字是9，需向万分位进1，因此$0.05019≈0.0502$，该选项正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 近似数的精确度
2. 四舍五入法取近似值
【点评】
本题是近似数的基础考题，解题关键是明确不同精确度的要求，注意近似值末尾用来表示精确度的0不能随意省略，否则会改变近似值的精确程度。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确四舍五入取近似值的规则：要将数精确到某一位时，只需看这一位的后一位数字，若数字≥5则向前一位进1，若数字＜5则直接舍去；接下来逐一验证每个选项的近似值是否符合对应的精确度要求，即可找出错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 精确到十分位（即小数点后第一位），看百分位上的数字是5，需向十分位进1，因此$0.05019≈0.1$，该选项正确，不符合题意；
B. 精确到百分位（即小数点后第二位），看千分位上的数字是0，直接舍去，因此$0.05019≈0.05$，该选项正确，不符合题意；
C. 精确到0.001（即千分位，小数点后第三位），看万分位上的数字是1，直接舍去，因此$0.05019≈0.050$，而非选项中的0.05（0.05是精确到百分位的结果），该选项错误，符合题意；
D. 精确到0.0001（即万分位，小数点后第四位），看十万分位上的数字是9，需向万分位进1，因此$0.05019≈0.0502$，该选项正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 近似数的精确度
2. 四舍五入法取近似值
【点评】
本题是近似数的基础考题，解题关键是明确不同精确度的要求，注意近似值末尾用来表示精确度的0不能随意省略，否则会改变近似值的精确程度。
【难度系数】
0.8
11. 已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为27 cm²，则这个长方形的周长为
24
cm.答案
11. 24
解析
【分析】
解题时我们可以先设未知数表示长方形的宽，结合长是宽的3倍的关系表示出长，再利用长方形面积公式列方程求出宽的长度，进一步计算出长，最后代入长方形周长公式即可得到结果。要注意边长为正数，开平方时需取正的平方根。
【解析】
解：设长方形的宽为$ x \, \mathrm{cm} $，则长为$ 3x \, \mathrm{cm} $。
根据长方形面积公式$ S=长×宽 $，可列方程：
$ 3x · x = 27 $
整理得：$ 3x^2 = 27 $
两边同时除以3得：$ x^2 = 9 $
因为边长为正数，所以$ x = \sqrt{9} = 3 $
则长方形的长为$ 3x = 3×3 = 9 \, \mathrm{cm} $
再根据长方形周长公式$ C=2×(长+宽) $，计算得：
$ C = 2×(3+9) = 2×12 = 24 \, \mathrm{cm} $
【答案】
24
【知识点】
平方根的应用，长方形周长与面积计算，列方程解应用题
【点评】
本题属于基础题，将代数运算与几何图形性质相结合，解题核心是通过设未知数利用面积公式求出边长，要注意开平方时结合实际意义取正根。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以先设未知数表示长方形的宽，结合长是宽的3倍的关系表示出长，再利用长方形面积公式列方程求出宽的长度，进一步计算出长，最后代入长方形周长公式即可得到结果。要注意边长为正数，开平方时需取正的平方根。
【解析】
解：设长方形的宽为$ x \, \mathrm{cm} $，则长为$ 3x \, \mathrm{cm} $。
根据长方形面积公式$ S=长×宽 $，可列方程：
$ 3x · x = 27 $
整理得：$ 3x^2 = 27 $
两边同时除以3得：$ x^2 = 9 $
因为边长为正数，所以$ x = \sqrt{9} = 3 $
则长方形的长为$ 3x = 3×3 = 9 \, \mathrm{cm} $
再根据长方形周长公式$ C=2×(长+宽) $，计算得：
$ C = 2×(3+9) = 2×12 = 24 \, \mathrm{cm} $
【答案】
24
【知识点】
平方根的应用，长方形周长与面积计算，列方程解应用题
【点评】
本题属于基础题，将代数运算与几何图形性质相结合，解题核心是通过设未知数利用面积公式求出边长，要注意开平方时结合实际意义取正根。
【难度系数】
0.8
12. 若一个正数的平方根是$a+3$和$2a-12$，则这个数为
36
。答案
12. 36
解析
【分析】
解题时首先回忆正数平方根的性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数之和为0。因此我们可以先根据这一性质列出关于a的一元一次方程，求解得到a的值后，代入任意一个平方根，再对其求平方即可得到原来的正数。
【解析】
解：
∵正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0
∴可得方程：$(a+3)+(2a-12)=0$
合并同类项得：$3a-9=0$
移项解得：$a=3$
将$a=3$代入$a+3$得：$3+3=6$
则这个正数为：$6^2=36$
【答案】
36
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程；乘方运算
【点评】
本题是基础类题目，核心考查对正数平方根性质的理解与应用，解题的关键是明确正数的两个平方根互为相反数，通过列方程求出参数后即可计算得到原数，做题时要注意计算的准确性，避免解方程或平方运算时出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正数平方根的性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数之和为0。因此我们可以先根据这一性质列出关于a的一元一次方程，求解得到a的值后，代入任意一个平方根，再对其求平方即可得到原来的正数。
【解析】
解：
∵正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0
∴可得方程：$(a+3)+(2a-12)=0$
合并同类项得：$3a-9=0$
移项解得：$a=3$
将$a=3$代入$a+3$得：$3+3=6$
则这个正数为：$6^2=36$
【答案】
36
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程；乘方运算
【点评】
本题是基础类题目，核心考查对正数平方根性质的理解与应用，解题的关键是明确正数的两个平方根互为相反数，通过列方程求出参数后即可计算得到原数，做题时要注意计算的准确性，避免解方程或平方运算时出错。
【难度系数】
0.8
13. 比较大小：$\frac{\sqrt{5}-1}{3}$
＜
$\frac{1}{2}$.（填“＞”“＜”或“=”）答案
13. ＜
解析
【分析】
要比较两个含无理数的分数的大小，首先想到分数比较大小的常用方法：通分，将两个分数转化为同分母分数后，只需比较分子的大小即可。分子中含有二次根式，由于正数的平方越大，原数越大，因此可以通过平方的方式去掉根号，把带根号的数的比较转化为有理数的比较，就能得出最终的大小关系。
【解析】
解：将两个分数通分，最简公分母为6：
$\frac{\sqrt{5}-1}{3} = \frac{2(\sqrt{5}-1)}{6} = \frac{2\sqrt{5} - 2}{6}$，$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$
现在比较分子$2\sqrt{5} - 2$和3的大小，即比较$2\sqrt{5}$和$3+2=5$的大小。
∵$2\sqrt{5}＞0$，$5＞0$，
且$(2\sqrt{5})^2 = 4×5 = 20$，$5^2 = 25$，
又
∵20 ＜ 25，
∴$2\sqrt{5} ＜ 5$，
∴$2\sqrt{5} - 2 ＜ 5 - 2 = 3$，
∴$\frac{2\sqrt{5} - 2}{6} ＜ \frac{3}{6}$，
即$\frac{\sqrt{5}-1}{3} ＜ \frac{1}{2}$。
【答案】
＜
【知识点】
实数大小比较；二次根式的性质；无理数估算
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，核心是将含二次根式的数的比较通过通分、平方的操作转化为有理数的比较，掌握实数比较大小的常用转化技巧就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要比较两个含无理数的分数的大小，首先想到分数比较大小的常用方法：通分，将两个分数转化为同分母分数后，只需比较分子的大小即可。分子中含有二次根式，由于正数的平方越大，原数越大，因此可以通过平方的方式去掉根号，把带根号的数的比较转化为有理数的比较，就能得出最终的大小关系。
【解析】
解：将两个分数通分，最简公分母为6：
$\frac{\sqrt{5}-1}{3} = \frac{2(\sqrt{5}-1)}{6} = \frac{2\sqrt{5} - 2}{6}$，$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$
现在比较分子$2\sqrt{5} - 2$和3的大小，即比较$2\sqrt{5}$和$3+2=5$的大小。
∵$2\sqrt{5}＞0$，$5＞0$，
且$(2\sqrt{5})^2 = 4×5 = 20$，$5^2 = 25$，
又
∵20 ＜ 25，
∴$2\sqrt{5} ＜ 5$，
∴$2\sqrt{5} - 2 ＜ 5 - 2 = 3$，
∴$\frac{2\sqrt{5} - 2}{6} ＜ \frac{3}{6}$，
即$\frac{\sqrt{5}-1}{3} ＜ \frac{1}{2}$。
【答案】
＜
【知识点】
实数大小比较；二次根式的性质；无理数估算
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，核心是将含二次根式的数的比较通过通分、平方的操作转化为有理数的比较，掌握实数比较大小的常用转化技巧就能快速解题。
【难度系数】
0.8
14. 把下列各数的序号填在相应的括号内.
①1；②$-\dfrac{3}{5}$；③0；④π；⑤0.25；⑥$-\sqrt{2}$.
整数：{
分数：{
无理数：{
①1；②$-\dfrac{3}{5}$；③0；④π；⑤0.25；⑥$-\sqrt{2}$.
整数：{
①③
…}.分数：{
②⑤
…}.无理数：{
④⑥
…}.答案
14. ①③，②⑤，④⑥
解析
【分析】
解题前首先要明确三类数的定义：1. 整数包括正整数、0、负整数；2. 分数包括正分数、负分数，有限小数和无限循环小数都可以转化为分数形式，因此都属于分数范畴；3. 无理数是无限不循环小数，初中阶段常见的无理数有含π的数、开方开不尽的数等。接下来依次判断给出的6个数所属类别，再对应填入括号即可。
【解析】
首先逐个分析各数：
①1是正整数，属于整数；
②$-\dfrac{3}{5}$是负分数，属于分数；
③0是整数；
④π是无限不循环小数，属于无理数；
⑤0.25是有限小数，可化为$\dfrac{1}{4}$，属于分数；
⑥$-\sqrt{2}$是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数。
因此：
整数：{①③…}
分数：{②⑤…}
无理数：{④⑥…}
【答案】
①③，②⑤，④⑥
【知识点】
实数的分类；整数的概念；无理数的识别
【点评】
本题是实数分类的基础题，核心是准确掌握不同类型实数的定义，尤其要注意有限小数属于分数，不要误将0排除在整数之外，同时牢记常见的无理数类型即可正确解题。
【难度系数】
0.85
解题前首先要明确三类数的定义：1. 整数包括正整数、0、负整数；2. 分数包括正分数、负分数，有限小数和无限循环小数都可以转化为分数形式，因此都属于分数范畴；3. 无理数是无限不循环小数，初中阶段常见的无理数有含π的数、开方开不尽的数等。接下来依次判断给出的6个数所属类别，再对应填入括号即可。
【解析】
首先逐个分析各数：
①1是正整数，属于整数；
②$-\dfrac{3}{5}$是负分数，属于分数；
③0是整数；
④π是无限不循环小数，属于无理数；
⑤0.25是有限小数，可化为$\dfrac{1}{4}$，属于分数；
⑥$-\sqrt{2}$是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数。
因此：
整数：{①③…}
分数：{②⑤…}
无理数：{④⑥…}
【答案】
①③，②⑤，④⑥
【知识点】
实数的分类；整数的概念；无理数的识别
【点评】
本题是实数分类的基础题，核心是准确掌握不同类型实数的定义，尤其要注意有限小数属于分数，不要误将0排除在整数之外，同时牢记常见的无理数类型即可正确解题。
【难度系数】
0.85
15. 如图，半径为1个单位长度的圆，沿着数轴正方向从实数－1对应的点开始向右无滑动滚动一周，这时圆上的点A恰好与数轴上的点B重合，则点B对应的实数为
2π−1
。答案
15. 2π−1
解析
【分析】
解题时首先要明确：圆沿数轴无滑动滚动一周，前进的距离等于该圆的周长；其次数轴上点向右移动时，对应的数值等于初始数值加上移动的距离。第一步先根据圆的半径计算周长，第二步再结合初始点的数值计算点B对应的实数即可。
【解析】
首先计算圆的周长：已知圆的半径$r=1$，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得周长$C=2π × 1=2π$，即圆向右滚动一周前进的距离为$2π$。
已知圆初始时点A在数轴上对应的数是$-1$，向右滚动一周后点A与点B重合，因此点B对应的实数为初始值加上滚动的距离，即$-1 + 2π = 2π -1$。
【答案】
$2π -1$
【知识点】
圆的周长计算；数轴的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题，将圆的滚动问题转化为数轴上点的平移问题求解，解题关键是准确理解无滑动滚动一周的距离等于圆的周长，再结合数轴上点的移动规律计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确：圆沿数轴无滑动滚动一周，前进的距离等于该圆的周长；其次数轴上点向右移动时，对应的数值等于初始数值加上移动的距离。第一步先根据圆的半径计算周长，第二步再结合初始点的数值计算点B对应的实数即可。
【解析】
首先计算圆的周长：已知圆的半径$r=1$，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得周长$C=2π × 1=2π$，即圆向右滚动一周前进的距离为$2π$。
已知圆初始时点A在数轴上对应的数是$-1$，向右滚动一周后点A与点B重合，因此点B对应的实数为初始值加上滚动的距离，即$-1 + 2π = 2π -1$。
【答案】
$2π -1$
【知识点】
圆的周长计算；数轴的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题，将圆的滚动问题转化为数轴上点的平移问题求解，解题关键是准确理解无滑动滚动一周的距离等于圆的周长，再结合数轴上点的移动规律计算即可。
【难度系数】
0.7
