17.（本小题满分8分）
已知正实数$ x $的平方根是$ m $和$ m+b $.
(1)当$ b=8 $时，求$ m $的值.
(2)若$ m^2+(m+b)^2=8 $，求$ m $与$ b $的值.

17. 解：(1)当$b=8$时，根据题意，得
$m+(m+8)=0$.
解得$m=-4$.
(2)$\because$正实数$ x $的平方根是$ m $和$ m+b $，
$\therefore m^2=(m+b)^2=x$.
$\because m^2+(m+b)^2=8$，
$\therefore 2x=8$.
解得$x=4$.
易知4的平方根为$\pm2$，
当$m=2$时，$m+b=-2$.
解得$b=-4$.
当$m=-2$时，$m+b=2$.
解得$b=4$.
综上所述，$m=2$，$b=-4$或$m=-2$，$b=4$.

【分析】
本题围绕平方根的性质求解，解题思路清晰：
1. 第(1)问：依据正实数的两个平方根互为相反数的性质，可得两个平方根的和为0，将b=8代入该等量关系列一元一次方程，即可求出m的值。
2. 第(2)问：首先根据平方根的定义，每个平方根的平方都等于原正实数x，因此可将已知等式转化为关于x的方程，先求出x的值；再求出x的两个平方根，分两种情况对应m和m+b的取值，分别求解b即可，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵正实数$ x $的平方根是$ m $和$ m+b $，正数的两个平方根互为相反数，
∴$m + (m + b) = 0$，
当$b=8$时，代入得：$m+(m+8)=0$，
整理得$2m+8=0$，
解得$m=-4$。
(2) 根据平方根的定义可知：$m^2=x$，$(m+b)^2=x$，
∵$m^2+(m+b)^2=8$，
∴$x+x=8$，即$2x=8$，
解得$x=4$，
∴4的平方根为$\pm2$，分两种情况讨论：
①当$m=2$时，$m+b=-2$，代入得$2+b=-2$，解得$b=-4$；
②当$m=-2$时，$m+b=2$，代入得$-2+b=2$，解得$b=4$。
【答案】
(1) $\boxed{m=-4}$；
(2) $\boxed{m=2,b=-4}$或$\boxed{m=-2,b=4}$
【知识点】
正数的平方根性质；平方根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于平方根章节的基础考查题型，解题关键是熟练掌握正实数平方根的相关性质，分情况讨论时注意不要遗漏任意一种平方根的对应关系，即可顺利解答。
【难度系数】
0.8