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5. 在平原上有一条笔直的公路,在公路同侧有 A,B 两个村庄.若以公路为 x 轴建立平面直角坐标系,如图,已知 A,B 两个村庄的坐标分别为$(2,2),(7,4)$,一辆汽车(看成点 P)在 x 轴上行驶.
(1)汽车行驶过程中到 A,B 两村距离之和最小为多少?
(2)汽车行驶过程中到 A,B 两村距离之差最大为多少?
(1)汽车行驶过程中到 A,B 两村距离之和最小为多少?
(2)汽车行驶过程中到 A,B 两村距离之差最大为多少?
答案
(1)如图①,作点A关于x轴的对称点A'(2,-2),连接A'B,交x轴于点P.则汽车行驶过程中到A,B两村距离之和最小为A'B的长.
延长A'A,过点B作A'A的垂线,交A'A的延长线于点C,易得C点坐标为(2,4),∴A'C = 6,BC = 5,∴在Rt△BCA'中,A'B = √(A'C² + BC²) = √(6² + 5²) = √61.则汽车行驶过程中到A,B两村距离之和最小为√61.
(2)如图②,延长BA,交x轴于点P,则此时汽车到A,B两村距离之差最大,为AB的长.
过点A作x轴的平行线,过点B作x轴的垂线,两线交点为D,易得D点坐标为(7,2),∴AD = 5,BD = 2,
∴在Rt△BDA中,AB = √(BD² + AD²) = √(2² + 5²) = √29.
则汽车行驶过程中到A,B两村距离之差最大为√29.
6. 新题型 新定义 【了解概念】
在平面直角坐标系 xOy 中,若$P(a,b),Q(c,d)$,式子$|a - c| + |b - d|$的值就叫作线段 PQ 的“勾股距”,记作$d_{PQ} = |a - c| + |b - d|$,同时,我们把两边的“勾股距”之和等于第三边的“勾股距”的三角形叫作“等距三角形”.
【理解运用】
在平面直角坐标系 xOy 中,$A(2,3),B(4,2),C(m,n).$
(1)线段 OA 的“勾股距”$d_{OA} = $____;
(2)若点 C 在第三象限,且$d_{OC} = 2d_{AB}$,求$d_{AC}并判断△ABC$是否为“等距三角形”；
【拓展提升】
(3)若点 C 在 x 轴上,$△ABC$是“等距三角形”,请直接写出 m 的取值范围.
在平面直角坐标系 xOy 中,若$P(a,b),Q(c,d)$,式子$|a - c| + |b - d|$的值就叫作线段 PQ 的“勾股距”,记作$d_{PQ} = |a - c| + |b - d|$,同时,我们把两边的“勾股距”之和等于第三边的“勾股距”的三角形叫作“等距三角形”.
【理解运用】
在平面直角坐标系 xOy 中,$A(2,3),B(4,2),C(m,n).$
(1)线段 OA 的“勾股距”$d_{OA} = $____;
(2)若点 C 在第三象限,且$d_{OC} = 2d_{AB}$,求$d_{AC}并判断△ABC$是否为“等距三角形”；
【拓展提升】
(3)若点 C 在 x 轴上,$△ABC$是“等距三角形”,请直接写出 m 的取值范围.
答案
(1)5
(2)∵dAB = |2 - 4| + |3 - 2| = 2 + 1 = 3,∴2dAB = 6.∵点C在第三象限,∴m ＜ 0,n ＜ 0.∴dOC = |0 - m| + |0 - n| = |m| + |n| = - m - n = -(m + n).∵dOC = 2dAB,∴-(m + n) = 6,即m + n = - 6.∴dAC = |2 - m| + |3 - n| = 2 - m + 3 - n = 5 - (m + n) = 5 + 6 = 11,dBC = |4 - m| + |2 - n| = 4 - m + 2 - n = 6 - (m + n) = 6 + 6 = 12.∵3 + 11 ≠ 12,11 + 12 ≠ 3,12 + 3 ≠ 11,∴△ABC不是“等距三角形”.
(3)m的取值范围是m ≥ 4且m ≠ 8. 解析:点C在x轴上时,点C(m,0),则dAC = |2 - m| + 3,dBC = |4 - m| + 2.①当m ＜ 2时,dAC = 2 - m + 3 = 5 - m,dBC = 4 - m + 2 = 6 - m.若△ABC是“等距三角形”,∴5 - m + 6 - m = 11 - 2m = 3,解得m = 4(不合题意).又∵5 - m + 3 = 8 - m ≠ 6 - m,6 - m + 3 = 9 - m ≠ 5 - m,∴当m ＜ 2时,△ABC不是“等距三角形”.
②当2 ≤ m ＜ 4时,dAC = m - 2 + 3 = m + 1,dBC = 4 - m + 2 = 6 - m,若△ABC是“等距三角形”,则m + 1 + 6 - m = 7 ≠ 3,6 - m + 3 = m + 1,解得m = 4(不合题意).又由m + 1 + 3 = 6 - m,解得m = 1(不合题意),∴当2 ≤ m ＜ 4时,△ABC不是“等距三角形”.
③当m ≥ 4时,dAC = m + 1,dBC = m - 2,若△ABC是“等距三角形”,则m + 1 + m - 2 = 3,解得m = 2(不合题意).又∵m + 1 + 3 = m + 4 ≠ m - 2(舍去),m - 2 + 3 = m + 1恒成立,∴当m ≥ 4时,△ABC是“等距三角形”.当m = 8时,点A,B,C在同一直线上,无法构成三角形,∴m ≠ 8.综上所述，当△ABC是“等距三角形”时,m的取值范围是m ≥ 4且m ≠ 8.
(2)∵dAB = |2 - 4| + |3 - 2| = 2 + 1 = 3,∴2dAB = 6.∵点C在第三象限,∴m ＜ 0,n ＜ 0.∴dOC = |0 - m| + |0 - n| = |m| + |n| = - m - n = -(m + n).∵dOC = 2dAB,∴-(m + n) = 6,即m + n = - 6.∴dAC = |2 - m| + |3 - n| = 2 - m + 3 - n = 5 - (m + n) = 5 + 6 = 11,dBC = |4 - m| + |2 - n| = 4 - m + 2 - n = 6 - (m + n) = 6 + 6 = 12.∵3 + 11 ≠ 12,11 + 12 ≠ 3,12 + 3 ≠ 11,∴△ABC不是“等距三角形”.
(3)m的取值范围是m ≥ 4且m ≠ 8. 解析:点C在x轴上时,点C(m,0),则dAC = |2 - m| + 3,dBC = |4 - m| + 2.①当m ＜ 2时,dAC = 2 - m + 3 = 5 - m,dBC = 4 - m + 2 = 6 - m.若△ABC是“等距三角形”,∴5 - m + 6 - m = 11 - 2m = 3,解得m = 4(不合题意).又∵5 - m + 3 = 8 - m ≠ 6 - m,6 - m + 3 = 9 - m ≠ 5 - m,∴当m ＜ 2时,△ABC不是“等距三角形”.
②当2 ≤ m ＜ 4时,dAC = m - 2 + 3 = m + 1,dBC = 4 - m + 2 = 6 - m,若△ABC是“等距三角形”,则m + 1 + 6 - m = 7 ≠ 3,6 - m + 3 = m + 1,解得m = 4(不合题意).又由m + 1 + 3 = 6 - m,解得m = 1(不合题意),∴当2 ≤ m ＜ 4时,△ABC不是“等距三角形”.
③当m ≥ 4时,dAC = m + 1,dBC = m - 2,若△ABC是“等距三角形”,则m + 1 + m - 2 = 3,解得m = 2(不合题意).又∵m + 1 + 3 = m + 4 ≠ m - 2(舍去),m - 2 + 3 = m + 1恒成立,∴当m ≥ 4时,△ABC是“等距三角形”.当m = 8时,点A,B,C在同一直线上,无法构成三角形,∴m ≠ 8.综上所述，当△ABC是“等距三角形”时,m的取值范围是m ≥ 4且m ≠ 8.
