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1. (2024·锦州期中)如图所示,把长方形纸片 ABCD 放在平面直角坐标系中,折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合,点 B 落在点 F 处,折痕为 AE,且 EF = 4,C 点坐标为(9,0).求 D 点坐标.
答案
∵EF = 4,∴BE = EF = 4.∵C点坐标为(9,0),∴EC = 9 - 4 = 5,由勾股定理得，CF = 3.
在直角三角形ABC中,设AB = x,由折叠可知AF = AB = x,则AC = x + 3,由勾股定理得,x² + 9² = (x + 3)²,解得x = 12,∴AB = 12 = CD,∴D点坐标为(9,12).
在直角三角形ABC中,设AB = x,由折叠可知AF = AB = x,则AC = x + 3,由勾股定理得,x² + 9² = (x + 3)²,解得x = 12,∴AB = 12 = CD,∴D点坐标为(9,12).
2. 如图,在平面直角坐标系中,$△ABO的顶点分别为O(0,0),A(2a,0),B(0,-a)$,线段 EF 两端点分别为$E(-m,a+1),F(-m,1)(2a＞m＞a)$;直线$l// y$轴交x轴于$P(a,0)$,且线段 EF 与 CD 关于 y 轴对称,线段 CD 与 MN 关于直线 l 对称.
(1)求点 N,M 的坐标(用含 m,a 的代数式表示).
(2)$△ABO与△MFE$通过平移能重合吗? 能与不能都要说明其理由.若能,请你写出一个平移方案.(平移的单位数用 m,a 表示)
(1)求点 N,M 的坐标(用含 m,a 的代数式表示).
(2)$△ABO与△MFE$通过平移能重合吗? 能与不能都要说明其理由.若能,请你写出一个平移方案.(平移的单位数用 m,a 表示)
答案
(1)∵EF与CD关于y轴对称,EF两端点分别为E(-m,a + 1),F(-m,1),∴C(m,a + 1),D(m,1).设CD与直线l之间的距离为x,∵CD与MN关于直线l对称,l与y轴之间的距离为a,∴MN与y轴之间的距离为a - x.∵x = m - a,∴M的横坐标为a - (m - a) = 2a - m,∴M(2a - m,a + 1),N(2a - m,1).
(2)能重合.理由:∵EM = 2a - m - (-m) = 2a = OA,EF = a + 1 - 1 = a = OB.又∵EF//y轴,EM//x轴,∴∠MEF = ∠AOB = 90°.易证△ABO≌△MFE.∴△ABO与△MFE通过平移能重合.平移方案:将△ABO向上平移(a + 1)个单位后,再向左平移m个单位,即可重合.(平移方案不唯一)
(2)能重合.理由:∵EM = 2a - m - (-m) = 2a = OA,EF = a + 1 - 1 = a = OB.又∵EF//y轴,EM//x轴,∴∠MEF = ∠AOB = 90°.易证△ABO≌△MFE.∴△ABO与△MFE通过平移能重合.平移方案:将△ABO向上平移(a + 1)个单位后,再向左平移m个单位,即可重合.(平移方案不唯一)
3. 在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,点 A 的坐标是$(a,-a)$,点 B 的坐标是$(b,c)$,且 a,b,c 满足$\left\{\begin{array}{l} 3a - b + 2c = 6,\\ a - 2b - c = - 3.\end{array}\right.$
(1)若 a 为不等式$2x + 8 ≤ 0$的最大整数解,判断点 A 在第几象限,说明理由.
(2)在(1)的条件下,求点 B 的坐标.
(3)在(2)的条件下,若有两个动点$M(k - 1,k),N(-3h + 10,h)$,请探索是否存在以两个动点 M,N 为端点的线段$MN// AB$,且$MN = AB$,若存在,求 M,N 两点的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)若 a 为不等式$2x + 8 ≤ 0$的最大整数解,判断点 A 在第几象限,说明理由.
(2)在(1)的条件下,求点 B 的坐标.
(3)在(2)的条件下,若有两个动点$M(k - 1,k),N(-3h + 10,h)$,请探索是否存在以两个动点 M,N 为端点的线段$MN// AB$,且$MN = AB$,若存在,求 M,N 两点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)点A在第二象限,理由:∵a为不等式2x + 8 ≤ 0的最大整数解，解不等式得x ≤ - 4,∴a = - 4.∵点A的坐标是(a,-a),∴A(-4,4),∴点A在第二象限.
(2)∵a,b,c满足{3a - b + 2c = 6,a - 2b - c = - 3},由(1)可得a = - 4,∴方程组为{-12 - b + 2c = 6,-4 - 2b - c = - 3},解得{b = - 4,c = 7}.∵点B的坐标是(b,c),∴点B的坐标为(-4,7).
(3)存在.∵M(k - 1,k),N(-3h + 10,h),MN//AB,且MN = AB,又A(-4,4),B(-4,7),∴AB = 3,且AB//y轴,
∴{k - 1 = - 3h + 10,k - h = 3}或{k - 1 = - 3h + 10,h - k = 3},解得{k = 5,h = 2}或{k = 1/2,h = 7/2},∴M(4,5),N(4,2)或M(1/2,1/2),N(1/2,7/2).
(2)∵a,b,c满足{3a - b + 2c = 6,a - 2b - c = - 3},由(1)可得a = - 4,∴方程组为{-12 - b + 2c = 6,-4 - 2b - c = - 3},解得{b = - 4,c = 7}.∵点B的坐标是(b,c),∴点B的坐标为(-4,7).
(3)存在.∵M(k - 1,k),N(-3h + 10,h),MN//AB,且MN = AB,又A(-4,4),B(-4,7),∴AB = 3,且AB//y轴,
∴{k - 1 = - 3h + 10,k - h = 3}或{k - 1 = - 3h + 10,h - k = 3},解得{k = 5,h = 2}或{k = 1/2,h = 7/2},∴M(4,5),N(4,2)或M(1/2,1/2),N(1/2,7/2).
4. 如图,已知点$A(0,2),B(3,0).$
(1)在第二象限有一点$P(m,\frac {1}{2})$,请用含 m 的代数式表示四边形 ABOP 的面积:____.
(2)在(1)的条件下,是否存在点 P,使四边形 ABOP 的面积为$△AOP$的面积的 2 倍? 若存在,求出点 P 的坐标,若不存在,说明理由.
(3)若$C(3,4)$,在 x 轴上确定一点 P,使$△OCP$为等腰三角形,求出点 P 的坐标.
(1)在第二象限有一点$P(m,\frac {1}{2})$,请用含 m 的代数式表示四边形 ABOP 的面积:____.
(2)在(1)的条件下,是否存在点 P,使四边形 ABOP 的面积为$△AOP$的面积的 2 倍? 若存在,求出点 P 的坐标,若不存在,说明理由.
(3)若$C(3,4)$,在 x 轴上确定一点 P,使$△OCP$为等腰三角形,求出点 P 的坐标.
答案
(1)3 - m 解析:∵A(0,2),B(3,0),∴OA = 2,OB = 3,∴S△AOB = 1/2×2×3 = 3.∵P(m,1/2)在第二象限,∴m ＜ 0,∴S△AOP = 1/2OA·|m| = 1/2×2×(-m) = - m,∴S四边形ABOP = S△AOB + S△AOP = 3 - m.
(2)存在.∵S四边形ABOP = 2S△AOP,∴3 - m = 2(-m),∴m = - 3,∴存在点P,使得四边形ABOP的面积为△AOP面积的2倍,P(-3,1/2).
(3)∵C(3,4),∴OC = √(3² + 4²) = 5,当OC = OP = 5时,点P的坐标为(5,0)或(-5,0);当CO = CP时,过点C作CH⊥OP于点H,∴OH = HP = 3,∴点P的坐标为(6,0);当PC = PO时,设点P的坐标为(t,0),∴PC² = (t - 3)² + 4²,∴t² = (t - 3)² + 4²,解得t = 25/6,∴点P的坐标为(25/6,0).综上,点P的坐标为(5,0)或(-5,0)或(6,0)或(25/6,0).
(2)存在.∵S四边形ABOP = 2S△AOP,∴3 - m = 2(-m),∴m = - 3,∴存在点P,使得四边形ABOP的面积为△AOP面积的2倍,P(-3,1/2).
(3)∵C(3,4),∴OC = √(3² + 4²) = 5,当OC = OP = 5时,点P的坐标为(5,0)或(-5,0);当CO = CP时,过点C作CH⊥OP于点H,∴OH = HP = 3,∴点P的坐标为(6,0);当PC = PO时,设点P的坐标为(t,0),∴PC² = (t - 3)² + 4²,∴t² = (t - 3)² + 4²,解得t = 25/6,∴点P的坐标为(25/6,0).综上,点P的坐标为(5,0)或(-5,0)或(6,0)或(25/6,0).
