1. 观察下图.书店在小玲家北偏西$30^{\circ }$方向距离800米处,书店应该在()

A. 点A处
B. 点B处
C. 点C处
D. 以上均可

B

2. 某军事行动中,对军队部署的方位,采用钟代码的方式来表示.例如,北偏东$30^{\circ }$方向45千米的位置,与钟面相结合,以钟面圆心为基准,时针指向北偏东$30^{\circ }的时刻是1:00$,那么这个地点就用代码010045来表示,按这种表示方式,南偏东$30^{\circ }$方向78千米的位置,可用代码表示为____.

050078 解析:南偏东 $30^{\circ}$ 方向,在钟面上的时刻为 $5:00$,因而代码前 4 位是 0500,78 千米的位置,则代码的后两位是 78,则代码是 050078.

3. 有一张地图,图上有A,B,C三地,但地图被墨迹污染,C地具体位置看不清楚了,但知道C地在A地的北偏东$30^{\circ }$方向上,在B地的南偏东$45^{\circ }$方向上,你能确定C地的位置吗?
(1)画出确定C地位置的图示方法,保留作图痕迹;
(2)画出C地到直线AB的最短距离路线图,保留作图痕迹.

(1)A 的北偏东 $30^{\circ}$ 方向线与 B 的南偏东 $45^{\circ}$ 方向线的交点就是所求 C 地。
(2)过点 C 作 AB 的垂线,交 AB 于点 D,则 CD 的长就是 C 地到直线 AB 的最短距离。

4. 如图①,将射线OX按逆时针方向旋转$\beta ^{\circ }$角,得到射线OY,如果点P为射线OY上的一点,且$OP= a$,那么我们规定用$(a,\beta )$表示点P在平面内的位置,并记为$P(a,\beta )$,例如,图②中,如果$OM= 8,∠XOM= 110^{\circ }$,那么点M在平面内的位置记为$M(8,110)$,根据图形,解答下面的问题:
(1)如图③,如果点N在平面内的位置记为$N(6,30)$,那么$ON= $____,$∠XON= $____;
(2)如果点A,B在平面内的位置分别记为$A(5,30),B(12,120)$,试求A,B两点之间的距离并画出图形;
(3)如图④,点A,点B在射线OX上,点A,B在平面内的位置分别记为$(a,0),(2a,0)$,点A,E,C在同一条直线上,且$OE= BC$.用等式表示$∠OEA与∠ACB$之间的数量关系,并证明.

(1)6 $30^{\circ}$
(2)如图①所示,∵ $A(5,30)$, $B(12,120)$,∴ $∠BOX = 120^{\circ}$, $∠AOX = 30^{\circ}$,∴ $∠AOB = 90^{\circ}$.∵ $OA = 5$, $OB = 12$,∴ 在 $Rt△AOB$ 中, $AB = \sqrt{5^{2}+12^{2}} = 13$.
　　　 　　
(3) $∠OEA = ∠ACB$. 证明:如图②,过点 O 作 BC 的平行线交 CA 的延长线于点 F,∴ $∠ACB = ∠F$. ∵ 点 A,B 在平面内的位置分别记为 $(a,0)$, $(2a,0)$,∴ $OB = 2OA$,∴ $OA = AB$. 在 $△AOF$ 和 $△ABC$ 中, $\left\{\begin{array}{l} ∠F = ∠ACB, \\ ∠OAF = ∠BAC, \\ OA = BA, \end{array}\right.$ ∴ $△AOF ≌ △ABC(AAS)$,∴ $OF = BC$. ∵ $OE = BC$,∴ $OE = OF$,∴ $∠F = ∠OEA$. 又∵ $∠ACB = ∠F$,∴ $∠OEA = ∠ACB$.