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9.在半径为5 cm的圆上，挖去一个半径为x cm的圆，剩下一个面积为y cm²的圆环，则y与x之间的函数关系式为(
A.$y=π x^2 -5$
B.$y=π(5-x)^2$
C.$y=-(x^2 +5)$
D.$y=-π x^2 +25π$
D
)。A.$y=π x^2 -5$
B.$y=π(5-x)^2$
C.$y=-(x^2 +5)$
D.$y=-π x^2 +25π$
答案
D
解析
【分析】
要确定y与x的函数关系式，首先需明确圆环面积的计算逻辑：圆环面积等于外圆面积减去挖去的内圆面积。我们先分别计算外圆和内圆的面积，再根据两者的差列出表达式，最后整理为函数形式与选项对比即可。
【解析】
已知外圆半径为5cm，根据圆的面积公式$S=π r^2$：
1. 外圆面积为：$S_{\mathrm{外}}=π × 5^2=25π \ \mathrm{cm}^2$
2. 挖去的内圆半径为x cm，内圆面积为：$S_{\mathrm{内}}=π x^2 \ \mathrm{cm}^2$
3. 圆环面积y等于外圆面积减去内圆面积，因此：
$y = S_{\mathrm{外}} - S_{\mathrm{内}} = 25π - π x^2$
整理得：$y=-π x^2 +25π$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆环面积计算；根据实际问题列函数关系式
【点评】
本题是结合几何图形的基础函数应用题，核心是掌握圆环面积的推导逻辑，解题时注意区分圆的面积公式和其他易混公式，避免出现误选半径差平方形式的错误。
【难度系数】
0.85
要确定y与x的函数关系式，首先需明确圆环面积的计算逻辑：圆环面积等于外圆面积减去挖去的内圆面积。我们先分别计算外圆和内圆的面积，再根据两者的差列出表达式，最后整理为函数形式与选项对比即可。
【解析】
已知外圆半径为5cm，根据圆的面积公式$S=π r^2$：
1. 外圆面积为：$S_{\mathrm{外}}=π × 5^2=25π \ \mathrm{cm}^2$
2. 挖去的内圆半径为x cm，内圆面积为：$S_{\mathrm{内}}=π x^2 \ \mathrm{cm}^2$
3. 圆环面积y等于外圆面积减去内圆面积，因此：
$y = S_{\mathrm{外}} - S_{\mathrm{内}} = 25π - π x^2$
整理得：$y=-π x^2 +25π$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆环面积计算；根据实际问题列函数关系式
【点评】
本题是结合几何图形的基础函数应用题，核心是掌握圆环面积的推导逻辑，解题时注意区分圆的面积公式和其他易混公式，避免出现误选半径差平方形式的错误。
【难度系数】
0.85
10.已知二次函数$y=ax^2 + 3x$，当$x=2$时$y=14$，则$a=$
2
。答案
2
解析
【分析】
本题已知二次函数的解析式以及一组对应的x、y的值，解题核心思路为：函数图象上任意一点的坐标都满足函数的解析式，因此我们可以将x=2、y=14代入给定的二次函数解析式中，得到仅含未知数a的一元一次方程，解该方程即可求出a的值。
【解析】
将$x=2$，$y=14$代入二次函数$y=ax^2 + 3x$中，可得：
$\begin{aligned}14 &= a× 2^2 + 3× 2 \\14 &= 4a + 6 \\4a &= 14 - 6 \\4a &= 8 \\a &= 2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征 2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式的性质，通过代入法列方程求解即可，计算量小，易于掌握。
【难度系数】
0.9
本题已知二次函数的解析式以及一组对应的x、y的值，解题核心思路为：函数图象上任意一点的坐标都满足函数的解析式，因此我们可以将x=2、y=14代入给定的二次函数解析式中，得到仅含未知数a的一元一次方程，解该方程即可求出a的值。
【解析】
将$x=2$，$y=14$代入二次函数$y=ax^2 + 3x$中，可得：
$\begin{aligned}14 &= a× 2^2 + 3× 2 \\14 &= 4a + 6 \\4a &= 14 - 6 \\4a &= 8 \\a &= 2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征 2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式的性质，通过代入法列方程求解即可，计算量小，易于掌握。
【难度系数】
0.9
11.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到y万册，如果这两年图书数量的年平均增长率为x，那么y与x之间的函数关系式是
y=5(1+x)²
。答案
y=5(1+x)²
解析
【分析】
本题考查平均增长率类函数关系式的推导，解题思路如下：首先明确基期（去年年底）的图书数量，再根据年平均增长率先计算出今年年底的图书数量，接着以今年年底的数量为基础，按照相同增长率计算明年年底的图书数量，最终得到y与x的函数关系式。需注意从去年年底到明年年底共经历2次增长，不要搞错增长次数。
【解析】
已知去年年底图书有5万册，年平均增长率为x：
1. 计算今年年底的图书数量：在去年的基础上增长x，因此今年年底图书数为 $5(1+x)$ 万册；
2. 计算明年年底的图书数量：在今年的基础上再增长x，因此明年年底图书数为 $5(1+x) × (1+x) = 5(1+x)^2$ 万册；
由题知明年年底图书数量为y万册，因此可得函数关系式为 $y=5(1+x)^2$。
【答案】
$y=5(1+x)^2$
【知识点】
平均增长率问题、根据实际问题列二次函数关系式
【点评】
本题是增长率类基础题型，解题关键是明确连续增长的计算逻辑，准确判断增长的次数，避免因错算增长次数导致出错，掌握这类题型是解决后续更复杂的实际应用问题的基础。
【难度系数】
0.8
本题考查平均增长率类函数关系式的推导，解题思路如下：首先明确基期（去年年底）的图书数量，再根据年平均增长率先计算出今年年底的图书数量，接着以今年年底的数量为基础，按照相同增长率计算明年年底的图书数量，最终得到y与x的函数关系式。需注意从去年年底到明年年底共经历2次增长，不要搞错增长次数。
【解析】
已知去年年底图书有5万册，年平均增长率为x：
1. 计算今年年底的图书数量：在去年的基础上增长x，因此今年年底图书数为 $5(1+x)$ 万册；
2. 计算明年年底的图书数量：在今年的基础上再增长x，因此明年年底图书数为 $5(1+x) × (1+x) = 5(1+x)^2$ 万册；
由题知明年年底图书数量为y万册，因此可得函数关系式为 $y=5(1+x)^2$。
【答案】
$y=5(1+x)^2$
【知识点】
平均增长率问题、根据实际问题列二次函数关系式
【点评】
本题是增长率类基础题型，解题关键是明确连续增长的计算逻辑，准确判断增长的次数，避免因错算增长次数导致出错，掌握这类题型是解决后续更复杂的实际应用问题的基础。
【难度系数】
0.8
12.如图,一块长80 m、宽60 m的矩形草坪,计划在草坪中间修两条互相垂直的宽为x m的小路,修缮后草坪的面积为y m²,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。
答案
解:$y=x^2 -140x +4800(0＜x＜60)$。
解析
【分析】
求解本题可通过两种思路推导函数关系：①面积差法：用原矩形草坪的总面积减去两条小路的面积，注意两条小路交叉的重叠部分被重复减去了1次，需要补回重叠部分的面积；②平移法：将两条小路分别平移到矩形边缘，剩余草坪可拼成一个新的矩形，直接计算新矩形的面积即可。同时自变量x是小路宽度，要符合实际意义，需大于0且不能超过原矩形的宽，否则不存在有效草坪。
【解析】
1. 计算原矩形草坪总面积：
原矩形长80m、宽60m，总面积为 $80×60=4800\ \mathrm{m}^2$。
2. 推导草坪面积y的表达式：
用平移法简化计算：将横向小路向上平移、纵向小路向左平移后，剩余草坪可拼成长为$(80-x)\mathrm{m}$、宽为$(60-x)\mathrm{m}$的矩形，因此草坪面积为：
$y=(80-x)(60-x)$
展开整理得：$y=x^2-140x+4800$
3. 确定自变量x的取值范围：
小路宽度必须满足$x＞0$，同时小路宽度不能超过原矩形的宽（否则草坪宽度为负，不符合实际），即$x＜60$，因此取值范围为$0＜x＜60$。
【答案】
$y=x^2 -140x +4800(0＜x＜60)$
【知识点】
二次函数实际应用；矩形面积计算；自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数在几何实际场景中的基础应用题，解题的关键是避免重复扣除两条小路的重叠面积，也可通过平移法简化运算，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，不要忽略取值范围的书写。
【难度系数】
0.8
求解本题可通过两种思路推导函数关系：①面积差法：用原矩形草坪的总面积减去两条小路的面积，注意两条小路交叉的重叠部分被重复减去了1次，需要补回重叠部分的面积；②平移法：将两条小路分别平移到矩形边缘，剩余草坪可拼成一个新的矩形，直接计算新矩形的面积即可。同时自变量x是小路宽度，要符合实际意义，需大于0且不能超过原矩形的宽，否则不存在有效草坪。
【解析】
1. 计算原矩形草坪总面积：
原矩形长80m、宽60m，总面积为 $80×60=4800\ \mathrm{m}^2$。
2. 推导草坪面积y的表达式：
用平移法简化计算：将横向小路向上平移、纵向小路向左平移后，剩余草坪可拼成长为$(80-x)\mathrm{m}$、宽为$(60-x)\mathrm{m}$的矩形，因此草坪面积为：
$y=(80-x)(60-x)$
展开整理得：$y=x^2-140x+4800$
3. 确定自变量x的取值范围：
小路宽度必须满足$x＞0$，同时小路宽度不能超过原矩形的宽（否则草坪宽度为负，不符合实际），即$x＜60$，因此取值范围为$0＜x＜60$。
【答案】
$y=x^2 -140x +4800(0＜x＜60)$
【知识点】
二次函数实际应用；矩形面积计算；自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数在几何实际场景中的基础应用题，解题的关键是避免重复扣除两条小路的重叠面积，也可通过平移法简化运算，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，不要忽略取值范围的书写。
【难度系数】
0.8
13. 如图，矩形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么剩下的小矩形AB'C'D'的面积为y(cm²)。
(1)写出y与x之间的函数关系式。
(2)上述函数是什么函数？
(3)自变量x的取值范围是什么？
(1)写出y与x之间的函数关系式。
(2)上述函数是什么函数？
(3)自变量x的取值范围是什么？
答案
解:(1)根据矩形的面积公式,得
$y=(5-x)·(4-x)=x^2 -9x +20$,
所以 y 与 x 之间的函数关系式为 $y=x^2 -9x +20$。
(2)上述函数是二次函数。
(3)自变量 x 的取值范围是 0＜x＜4。
$y=(5-x)·(4-x)=x^2 -9x +20$,
所以 y 与 x 之间的函数关系式为 $y=x^2 -9x +20$。
(2)上述函数是二次函数。
(3)自变量 x 的取值范围是 0＜x＜4。
解析
【分析】
解题思路：(1) 要推导y与x的函数关系式，先确定剩余小矩形的长和宽：原矩形长为5cm，减去x后剩余长为$(5-x)\mathrm{cm}$，原宽为4cm，减去x后剩余宽为$(4-x)\mathrm{cm}$，再根据矩形面积=长×宽的公式代入化简即可。(2) 观察化简后的函数式，对照二次函数的定义即可判断函数类型。(3) 自变量x的取值要符合实际意义：x是被减去的长度，需大于0，同时剩余小矩形的长和宽都必须为正，联立不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得，小矩形$AB'C'D'$的长为$(5-x)\mathrm{cm}$，宽为$(4-x)\mathrm{cm}$，根据矩形面积公式：
$\begin{aligned}y&=(5-x)(4-x)\\&=x^2-9x+20\end{aligned}$
即y与x的函数关系式为$y=x^2-9x+20$。
(2) 所得函数最高次项为二次项，且二次项系数为$1≠0$，符合二次函数的定义，因此该函数是二次函数。
(3) 结合实际意义，x需满足：
$\begin{cases}x＞0\\5-x＞0\\4-x＞0\end{cases}$
解得$0＜x＜4$，即自变量x的取值范围是$0＜x＜4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2 -9x +20}$
(2) $\boldsymbol{二次函数}$
(3) $\boldsymbol{0＜x＜4}$
【知识点】
矩形面积计算，二次函数的定义，自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，核心是结合几何性质找到数量关系列函数式，解题时要注意结合实际场景的限制条件确定自变量范围，避免忽略实际意义出现错误。
【难度系数】
0.8
解题思路：(1) 要推导y与x的函数关系式，先确定剩余小矩形的长和宽：原矩形长为5cm，减去x后剩余长为$(5-x)\mathrm{cm}$，原宽为4cm，减去x后剩余宽为$(4-x)\mathrm{cm}$，再根据矩形面积=长×宽的公式代入化简即可。(2) 观察化简后的函数式，对照二次函数的定义即可判断函数类型。(3) 自变量x的取值要符合实际意义：x是被减去的长度，需大于0，同时剩余小矩形的长和宽都必须为正，联立不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得，小矩形$AB'C'D'$的长为$(5-x)\mathrm{cm}$，宽为$(4-x)\mathrm{cm}$，根据矩形面积公式：
$\begin{aligned}y&=(5-x)(4-x)\\&=x^2-9x+20\end{aligned}$
即y与x的函数关系式为$y=x^2-9x+20$。
(2) 所得函数最高次项为二次项，且二次项系数为$1≠0$，符合二次函数的定义，因此该函数是二次函数。
(3) 结合实际意义，x需满足：
$\begin{cases}x＞0\\5-x＞0\\4-x＞0\end{cases}$
解得$0＜x＜4$，即自变量x的取值范围是$0＜x＜4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2 -9x +20}$
(2) $\boldsymbol{二次函数}$
(3) $\boldsymbol{0＜x＜4}$
【知识点】
矩形面积计算，二次函数的定义，自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，核心是结合几何性质找到数量关系列函数式，解题时要注意结合实际场景的限制条件确定自变量范围，避免忽略实际意义出现错误。
【难度系数】
0.8
14.小明想送给妈妈一个礼物,已知礼品盒是一个长方体,长比宽多2 cm,高比宽多1 cm,现在要给礼品盒包一层包装纸进行装饰(重叠的部分不计)。
(1)礼品盒的宽用$x$(cm)表示,请写出需要的包装纸的最小面积$S$(cm²)与$x$之间的关系式;
(2)小明量得礼品盒的宽度为10 cm,如果包装纸每平方米10元,且包装手工费1元,而他只有2元钱,那么对礼品盒进行包装,他的钱够吗?
(1)礼品盒的宽用$x$(cm)表示,请写出需要的包装纸的最小面积$S$(cm²)与$x$之间的关系式;
(2)小明量得礼品盒的宽度为10 cm,如果包装纸每平方米10元,且包装手工费1元,而他只有2元钱,那么对礼品盒进行包装,他的钱够吗?
答案
解:(1)因为礼品盒的宽是 x cm,所以长是(x+2)cm,高是(x+1)cm。根据题意得
S=2[x(x+2)+(x+2)(x+1)+x(x+1)]。
即 S=6x²+12x+4。
(2)当 x=10 时,S=6×10²+12×10+4=724(cm²)。
724 cm²=0.072 4 m²,0.072 4×10+1=1.724(元)。
因为 1.724＜2,所以对礼品盒进行包装,他的钱够。
S=2[x(x+2)+(x+2)(x+1)+x(x+1)]。
即 S=6x²+12x+4。
(2)当 x=10 时,S=6×10²+12×10+4=724(cm²)。
724 cm²=0.072 4 m²,0.072 4×10+1=1.724(元)。
因为 1.724＜2,所以对礼品盒进行包装,他的钱够。
解析
【分析】
(1) 包装纸的最小面积就是长方体礼品盒的表面积，首先根据题意用含x的代数式分别表示出长方体的长和高，再代入长方体表面积公式，展开化简即可得到S与x的关系式；(2) 先将x=10代入第一问得到的关系式求出表面积，注意将面积单位从平方厘米换算为平方米，再计算包装所需的总费用（包装纸费用+手工费），最后和小明拥有的2元比较大小，即可判断钱是否足够。
【解析】
(1) 已知礼品盒的宽为$x$cm，由题意得长为$(x+2)$cm，高为$(x+1)$cm。
长方体表面积公式为$S=2(长×宽 + 长×高 + 宽×高)$，代入得：
$\begin{aligned}S&=2[x(x+2)+(x+2)(x+1)+x(x+1)]\\&=2(x^2+2x+x^2+3x+2+x^2+x)\\&=2(3x^2+6x+2)\\&=6x^2+12x+4\end{aligned}$
(2) 当$x=10$时，代入上述关系式得：
$S=6×10^2 +12×10 +4=600+120+4=724(\mathrm{cm}^2)$
单位换算：$724\ \mathrm{cm}^2=724÷10000=0.0724\ \mathrm{m}^2$
总费用为：$0.0724×10 +1=0.724+1=1.724$（元）
因为$1.724＜2$，所以小明的钱够包装礼品盒。
【答案】
(1) $S=6x^2+12x+4$；(2) 他的钱够。
【知识点】
长方体表面积计算；二次函数的应用；代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景命题，既考查了几何公式的应用，也考查了函数关系式的建立和计算，解题时要注意单位统一的细节，避免因单位换算错误失分。
【难度系数】
0.8
(1) 包装纸的最小面积就是长方体礼品盒的表面积，首先根据题意用含x的代数式分别表示出长方体的长和高，再代入长方体表面积公式，展开化简即可得到S与x的关系式；(2) 先将x=10代入第一问得到的关系式求出表面积，注意将面积单位从平方厘米换算为平方米，再计算包装所需的总费用（包装纸费用+手工费），最后和小明拥有的2元比较大小，即可判断钱是否足够。
【解析】
(1) 已知礼品盒的宽为$x$cm，由题意得长为$(x+2)$cm，高为$(x+1)$cm。
长方体表面积公式为$S=2(长×宽 + 长×高 + 宽×高)$，代入得：
$\begin{aligned}S&=2[x(x+2)+(x+2)(x+1)+x(x+1)]\\&=2(x^2+2x+x^2+3x+2+x^2+x)\\&=2(3x^2+6x+2)\\&=6x^2+12x+4\end{aligned}$
(2) 当$x=10$时，代入上述关系式得：
$S=6×10^2 +12×10 +4=600+120+4=724(\mathrm{cm}^2)$
单位换算：$724\ \mathrm{cm}^2=724÷10000=0.0724\ \mathrm{m}^2$
总费用为：$0.0724×10 +1=0.724+1=1.724$（元）
因为$1.724＜2$，所以小明的钱够包装礼品盒。
【答案】
(1) $S=6x^2+12x+4$；(2) 他的钱够。
【知识点】
长方体表面积计算；二次函数的应用；代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景命题，既考查了几何公式的应用，也考查了函数关系式的建立和计算，解题时要注意单位统一的细节，避免因单位换算错误失分。
【难度系数】
0.8
