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2 二次函数的图象(第1课时)
课堂精要·梳理内容
| 二次函数 | $y=x^2$ | $y=-x^2$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 图象 | | |
| 顶点坐标 | 图1 | |
| 对称轴 | | |
| 开口方向 | | |
| 增减性 | | |
| 最值 | | |
课堂精要·梳理内容
| 二次函数 | $y=x^2$ | $y=-x^2$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 图象 | | |
| 顶点坐标 | 图1 | |
| 对称轴 | | |
| 开口方向 | | |
| 增减性 | | |
| 最值 | | |
答案
图象：
，左为y=x²图象，右为y=-x²图象y=x²：顶点坐标(0,0)，对称轴y轴，开口向上，增减性：x＞0时,递增；x＜0时,递减，最值：最小值0
y=-x²：顶点坐标(0,0)，对称轴y轴，开口向下，增减性：x＞0时,递减；x＜0时,递增，最值：最大值0
解析
【分析】
我们可按照“表达式→图象特征→对应性质”的思路分析本题：①先代入x=0计算y值，即可得到两个函数的顶点坐标；②根据两个函数都满足f(-x)=f(x)，可推出对称轴为y轴；③根据二次项系数a的正负判断开口方向：a＞0时开口向上，a＜0时开口向下；④结合开口方向分析图象的升降规律，即可得到增减性；⑤根据开口方向和顶点位置，就能确定函数的最值。
【解析】
1. 图象对应：左侧开口向上的抛物线是$y=x^2$的图象，右侧开口向下的抛物线是$y=-x^2$的图象。
2. 性质分析：
$y=x^2$的性质：
顶点坐标：当x=0时，y=0，且该点是抛物线的最低点，故顶点为$(0,0)$；
对称轴：对任意x都有$(-x)^2=x^2$，即点$(x,y)$和$(-x,y)$都在函数图象上，故对称轴为y轴（直线$x=0$）；
开口方向：二次项系数$a=1＞0$，故开口向上；
增减性：结合图象可得，$x＜0$时，y随x的增大而减小；$x＞0$时，y随x的增大而增大；
最值：开口向上，顶点是最低点，故$x=0$时，y有最小值0。
$y=-x^2$的性质：
顶点坐标：当x=0时，y=0，且该点是抛物线的最高点，故顶点为$(0,0)$；
对称轴：对任意x都有$-(-x)^2=-x^2$，即点$(x,y)$和$(-x,y)$都在函数图象上，故对称轴为y轴（直线$x=0$）；
开口方向：二次项系数$a=-1＜0$，故开口向下；
增减性：结合图象可得，$x＜0$时，y随x的增大而增大；$x＞0$时，y随x的增大而减小；
最值：开口向下，顶点是最高点，故$x=0$时，y有最大值0。
【答案】
图象：，左为$y=x^2$图象，右为$y=-x^2$图象
$y=x^2$：顶点坐标$(0,0)$，对称轴y轴，开口向上，增减性：x＞0时,递增；x＜0时,递减，最值：最小值0
$y=-x^2$：顶点坐标$(0,0)$，对称轴y轴，开口向下，增减性：x＞0时,递减；x＜0时,递增，最值：最大值0
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象；二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查$y=ax^2$型二次函数的图象特征与相关性质，采用数形结合的方法结合图象记忆性质会更清晰牢固，也为后续学习更复杂的二次函数打下基础。
【难度系数】
0.9
我们可按照“表达式→图象特征→对应性质”的思路分析本题：①先代入x=0计算y值，即可得到两个函数的顶点坐标；②根据两个函数都满足f(-x)=f(x)，可推出对称轴为y轴；③根据二次项系数a的正负判断开口方向：a＞0时开口向上，a＜0时开口向下；④结合开口方向分析图象的升降规律，即可得到增减性；⑤根据开口方向和顶点位置，就能确定函数的最值。
【解析】
1. 图象对应：左侧开口向上的抛物线是$y=x^2$的图象，右侧开口向下的抛物线是$y=-x^2$的图象。
2. 性质分析：
$y=x^2$的性质：
顶点坐标：当x=0时，y=0，且该点是抛物线的最低点，故顶点为$(0,0)$；
对称轴：对任意x都有$(-x)^2=x^2$，即点$(x,y)$和$(-x,y)$都在函数图象上，故对称轴为y轴（直线$x=0$）；
开口方向：二次项系数$a=1＞0$，故开口向上；
增减性：结合图象可得，$x＜0$时，y随x的增大而减小；$x＞0$时，y随x的增大而增大；
最值：开口向上，顶点是最低点，故$x=0$时，y有最小值0。
$y=-x^2$的性质：
顶点坐标：当x=0时，y=0，且该点是抛物线的最高点，故顶点为$(0,0)$；
对称轴：对任意x都有$-(-x)^2=-x^2$，即点$(x,y)$和$(-x,y)$都在函数图象上，故对称轴为y轴（直线$x=0$）；
开口方向：二次项系数$a=-1＜0$，故开口向下；
增减性：结合图象可得，$x＜0$时，y随x的增大而增大；$x＞0$时，y随x的增大而减小；
最值：开口向下，顶点是最高点，故$x=0$时，y有最大值0。
【答案】
图象：
，左为$y=x^2$图象，右为$y=-x^2$图象$y=x^2$：顶点坐标$(0,0)$，对称轴y轴，开口向上，增减性：x＞0时,递增；x＜0时,递减，最值：最小值0
$y=-x^2$：顶点坐标$(0,0)$，对称轴y轴，开口向下，增减性：x＞0时,递减；x＜0时,递增，最值：最大值0
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象；二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查$y=ax^2$型二次函数的图象特征与相关性质，采用数形结合的方法结合图象记忆性质会更清晰牢固，也为后续学习更复杂的二次函数打下基础。
【难度系数】
0.9
1.函数$y=-x^2$的图象大致为(
A
)。答案
1.A
解析
【分析】
解决本题需结合二次函数$y=ax^2$的图象性质逐步排查选项：第一步先根据二次项系数的正负判断抛物线的开口方向，排除不符合的选项；第二步再根据函数解析式确定顶点坐标，进一步筛选得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，可排除开口向上的选项B、C；
2. 该函数无一次项和常数项，因此顶点坐标为$(0,0)$（即原点），选项D的顶点在y轴正半轴，不符合要求，选项A的图象开口向下、顶点在原点，符合函数特征。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数开口方向判断；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数图象的基础题型，核心考查对最简二次函数$y=ax^2$图象特征的记忆与应用，熟练掌握相关性质即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
解决本题需结合二次函数$y=ax^2$的图象性质逐步排查选项：第一步先根据二次项系数的正负判断抛物线的开口方向，排除不符合的选项；第二步再根据函数解析式确定顶点坐标，进一步筛选得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，可排除开口向上的选项B、C；
2. 该函数无一次项和常数项，因此顶点坐标为$(0,0)$（即原点），选项D的顶点在y轴正半轴，不符合要求，选项A的图象开口向下、顶点在原点，符合函数特征。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数开口方向判断；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数图象的基础题型，核心考查对最简二次函数$y=ax^2$图象特征的记忆与应用，熟练掌握相关性质即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
2.观察二次函数$y=x^2$的图象，则下列判断正确的是（
A.若$a,b$互为相反数，则$x=a$与$x=b$的函数值相同
B.对于同一个自变量$x$，有两个函数值与它对应
C.对任意一个实数$y$，有两个$x$与它对应
D.对于任意实数$x$，都有$y＞0$
A
）。A.若$a,b$互为相反数，则$x=a$与$x=b$的函数值相同
B.对于同一个自变量$x$，有两个函数值与它对应
C.对任意一个实数$y$，有两个$x$与它对应
D.对于任意实数$x$，都有$y＞0$
答案
2.A
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=x^2$的图象与性质，解题时先回忆$y=x^2$的基本特征：图象是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,0)$，函数值$y≥0$，同时结合函数的定义（每个自变量$x$对应唯一的函数值$y$），逐一分析每个选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：若$a$、$b$互为相反数，则$b=-a$。当$x=a$时，函数值$y=a^2$；当$x=b=-a$时，函数值$y=(-a)^2=a^2$，二者函数值相同，该选项正确。
B选项：根据函数的定义，对于同一个自变量$x$，只能有唯一的函数值和它对应，该选项错误。
C选项：当$y=0$时，对应的$x$只有$0$这一个值，并非任意实数$y$都对应两个$x$，该选项错误。
D选项：当$x=0$时，$y=0^2=0$，所以不是所有实数$x$对应的$y$都大于$0$，该选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=x^2$的性质；函数的概念
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二次函数$y=x^2$基本性质的理解和运用，同时涉及函数定义的辨析，熟练掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=x^2$的图象与性质，解题时先回忆$y=x^2$的基本特征：图象是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,0)$，函数值$y≥0$，同时结合函数的定义（每个自变量$x$对应唯一的函数值$y$），逐一分析每个选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：若$a$、$b$互为相反数，则$b=-a$。当$x=a$时，函数值$y=a^2$；当$x=b=-a$时，函数值$y=(-a)^2=a^2$，二者函数值相同，该选项正确。
B选项：根据函数的定义，对于同一个自变量$x$，只能有唯一的函数值和它对应，该选项错误。
C选项：当$y=0$时，对应的$x$只有$0$这一个值，并非任意实数$y$都对应两个$x$，该选项错误。
D选项：当$x=0$时，$y=0^2=0$，所以不是所有实数$x$对应的$y$都大于$0$，该选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=x^2$的性质；函数的概念
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二次函数$y=x^2$基本性质的理解和运用，同时涉及函数定义的辨析，熟练掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3.关于抛物线$y=-x^2$的性质表述错误的是（
A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.与y轴不相交
D.最高点是原点
C
）。A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.与y轴不相交
D.最高点是原点
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题时先明确抛物线$y=-x^2$中$a=-1$，属于$y=ax^2$的最简形式，再结合$y=ax^2$的开口方向、对称轴、顶点、与坐标轴交点等性质，逐一判断每个选项的正误，最终选出表述错误的选项即可。
【解析】
对于抛物线$y=-x^2$，其中二次项系数$a=-1$：
1. 判断选项A：因为$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，A表述正确，不符合题意；
2. 判断选项B：形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴均为y轴（即直线$x=0$），B表述正确，不符合题意；
3. 判断选项C：求抛物线与y轴的交点，令$x=0$，代入得$y=0$，即抛物线与y轴交于点$(0,0)$，因此C表述错误，符合题意；
4. 判断选项D：由于抛物线开口向下，顶点为原点$(0,0)$，因此最高点是原点，D表述正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. $y=ax^2$的图象性质
2. 二次函数交点求解
3. 二次函数的顶点
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查最简二次函数的基本性质，只要熟记$y=ax^2$的相关性质，就能快速完成判断，是二次函数入门的典型基础题。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题时先明确抛物线$y=-x^2$中$a=-1$，属于$y=ax^2$的最简形式，再结合$y=ax^2$的开口方向、对称轴、顶点、与坐标轴交点等性质，逐一判断每个选项的正误，最终选出表述错误的选项即可。
【解析】
对于抛物线$y=-x^2$，其中二次项系数$a=-1$：
1. 判断选项A：因为$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，A表述正确，不符合题意；
2. 判断选项B：形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴均为y轴（即直线$x=0$），B表述正确，不符合题意；
3. 判断选项C：求抛物线与y轴的交点，令$x=0$，代入得$y=0$，即抛物线与y轴交于点$(0,0)$，因此C表述错误，符合题意；
4. 判断选项D：由于抛物线开口向下，顶点为原点$(0,0)$，因此最高点是原点，D表述正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. $y=ax^2$的图象性质
2. 二次函数交点求解
3. 二次函数的顶点
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查最简二次函数的基本性质，只要熟记$y=ax^2$的相关性质，就能快速完成判断，是二次函数入门的典型基础题。
【难度系数】
0.9
4.在二次函数$y=x^2$中，若$y＞0$，则自变量$x$的取值范围是（
A.可取一切实数
B.$x≠0$
C.$x＞0$
D.$x＜0$
B
）。A.可取一切实数
B.$x≠0$
C.$x＞0$
D.$x＜0$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=x^2$的函数值特征：任何实数的平方都是非负数，也就是$x^2≥0$。题目要求$y＞0$，只需要排除$y=0$的情况即可，先算出$y=0$时对应的$x$值，就能得到$y＞0$时$x$的取值范围。
【解析】
解：
∵ 对任意实数$x$，平方数具有非负性，即$x^2≥0$，
∴ 二次函数$y=x^2$的函数值恒大于等于0，当且仅当$x=0$时，$y=0$，
因此要满足$y＞0$，只需$x≠0$，故答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=x^2$的性质
2. 平方的非负性
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数$y=x^2$的取值特征，只要掌握平方的非负性和特殊点的函数值就能快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数$y=x^2$的函数值特征：任何实数的平方都是非负数，也就是$x^2≥0$。题目要求$y＞0$，只需要排除$y=0$的情况即可，先算出$y=0$时对应的$x$值，就能得到$y＞0$时$x$的取值范围。
【解析】
解：
∵ 对任意实数$x$，平方数具有非负性，即$x^2≥0$，
∴ 二次函数$y=x^2$的函数值恒大于等于0，当且仅当$x=0$时，$y=0$，
因此要满足$y＞0$，只需$x≠0$，故答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=x^2$的性质
2. 平方的非负性
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数$y=x^2$的取值特征，只要掌握平方的非负性和特殊点的函数值就能快速求解。
【难度系数】
0.9
5.若$A(4,b)$是抛物线$y=x^2$上的一点，则$b=$
16
；点$A$关于$y$轴的对称点$B$是(-4,16)
，它在
（填“在”或“不在”）抛物线$y=x^2$上。点$A$关于原点的对称点$C$是(-4,-16)
，它不在
抛物线$y=x^2$上（填“在”或“不在”）。答案
5.16 (-4,16) 在 (-4,-16) 不在
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：①点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，因此将点A的横坐标代入抛物线解析式即可求出b的值；②根据关于y轴对称的点“纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，可求出点B的坐标，再将点B的横坐标代入抛物线解析式，验证得到的纵坐标是否与点B的纵坐标一致，即可判断点B是否在抛物线上；③根据关于原点对称的点“横、纵坐标均互为相反数”的规律求出点C的坐标，同样代入解析式验证即可判断点C是否在抛物线上。
【解析】
1. 求b的值：
∵点A(4,b)在抛物线$y=x^2$上，将$x=4$代入解析式得：
$b = 4^2 = 16$，故A点坐标为$(4,16)$。
2. 求点A关于y轴的对称点B并判断是否在抛物线上：
关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，因此B点坐标为$(-4,16)$。
将$x=-4$代入$y=x^2$得：$y=(-4)^2=16$，与B点纵坐标相等，故点B在抛物线$y=x^2$上。
3. 求点A关于原点的对称点C并判断是否在抛物线上：
关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数，因此C点坐标为$(-4,-16)$。
将$x=-4$代入$y=x^2$得：$y=(-4)^2=16≠-16$，故点C不在抛物线$y=x^2$上。
【答案】
16；$(-4,16)$；在；$(-4,-16)$；不在
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 对称点的坐标变换规律
【点评】
本题是二次函数的基础题型，结合了坐标对称变换的知识点，核心是理解“函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式”这一判定依据，计算量小，掌握基础规律即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时可按以下步骤思考：①点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，因此将点A的横坐标代入抛物线解析式即可求出b的值；②根据关于y轴对称的点“纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，可求出点B的坐标，再将点B的横坐标代入抛物线解析式，验证得到的纵坐标是否与点B的纵坐标一致，即可判断点B是否在抛物线上；③根据关于原点对称的点“横、纵坐标均互为相反数”的规律求出点C的坐标，同样代入解析式验证即可判断点C是否在抛物线上。
【解析】
1. 求b的值：
∵点A(4,b)在抛物线$y=x^2$上，将$x=4$代入解析式得：
$b = 4^2 = 16$，故A点坐标为$(4,16)$。
2. 求点A关于y轴的对称点B并判断是否在抛物线上：
关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，因此B点坐标为$(-4,16)$。
将$x=-4$代入$y=x^2$得：$y=(-4)^2=16$，与B点纵坐标相等，故点B在抛物线$y=x^2$上。
3. 求点A关于原点的对称点C并判断是否在抛物线上：
关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数，因此C点坐标为$(-4,-16)$。
将$x=-4$代入$y=x^2$得：$y=(-4)^2=16≠-16$，故点C不在抛物线$y=x^2$上。
【答案】
16；$(-4,16)$；在；$(-4,-16)$；不在
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 对称点的坐标变换规律
【点评】
本题是二次函数的基础题型，结合了坐标对称变换的知识点，核心是理解“函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式”这一判定依据，计算量小，掌握基础规律即可快速解答。
【难度系数】
0.9
6.二次函数$y=(m+1)x^2$的图象过点$(-2,4)$，则$m=$
0
，这个二次函数的表达式为$y=x^2$
。当$x＜0$时，$y$的值随$x$值的增大而减小
（填“增大”或“减小”）；当$x＞0$时，$y$的值随$x$值的增大而增大
（填“增大”或“减小”）。答案
6.0 $y=x^2$ 减小 增大
解析
【分析】
解题思路如下：1. 函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将已知点(-2,4)的横、纵坐标代入二次函数表达式，即可得到关于m的一元一次方程，求解可得m的值，注意二次项系数不能为0，验证结果符合二次函数定义即可；2. 将求得的m代入原式，即可得到二次函数的完整表达式；3. 根据形如y=ax²（a＞0）的二次函数的图象性质：开口向上，对称轴为y轴，即可判断不同x取值范围内y随x的变化规律。
【解析】
1. 求m的值：
∵ 二次函数$y=(m+1)x^2$的图象过点$(-2,4)$
∴ 将$x=-2$，$y=4$代入解析式得：
$4=(m+1)×(-2)^2$
计算得$4=4(m+1)$
两边同时除以4得：$1=m+1$
解得$m=0$，此时二次项系数$m+1=1≠0$，符合二次函数定义。
2. 求二次函数表达式：
将$m=0$代入$y=(m+1)x^2$，得$y=x^2$。
3. 判断函数增减性：
二次函数$y=x^2$中$a=1＞0$，图象开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$）：
当$x＜0$时，图象在对称轴左侧，$y$的值随$x$值的增大而减小；
当$x＞0$时，图象在对称轴右侧，$y$的值随$x$值的增大而增大。
【答案】
$0$；$y=x^2$；减小；增大
【知识点】
二次函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查点是函数图象与解析式的对应关系，以及基础二次函数的图象性质，熟练掌握$y=ax^2$类函数的开口方向、对称轴、增减性规律是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：1. 函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将已知点(-2,4)的横、纵坐标代入二次函数表达式，即可得到关于m的一元一次方程，求解可得m的值，注意二次项系数不能为0，验证结果符合二次函数定义即可；2. 将求得的m代入原式，即可得到二次函数的完整表达式；3. 根据形如y=ax²（a＞0）的二次函数的图象性质：开口向上，对称轴为y轴，即可判断不同x取值范围内y随x的变化规律。
【解析】
1. 求m的值：
∵ 二次函数$y=(m+1)x^2$的图象过点$(-2,4)$
∴ 将$x=-2$，$y=4$代入解析式得：
$4=(m+1)×(-2)^2$
计算得$4=4(m+1)$
两边同时除以4得：$1=m+1$
解得$m=0$，此时二次项系数$m+1=1≠0$，符合二次函数定义。
2. 求二次函数表达式：
将$m=0$代入$y=(m+1)x^2$，得$y=x^2$。
3. 判断函数增减性：
二次函数$y=x^2$中$a=1＞0$，图象开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$）：
当$x＜0$时，图象在对称轴左侧，$y$的值随$x$值的增大而减小；
当$x＞0$时，图象在对称轴右侧，$y$的值随$x$值的增大而增大。
【答案】
$0$；$y=x^2$；减小；增大
【知识点】
二次函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查点是函数图象与解析式的对应关系，以及基础二次函数的图象性质，熟练掌握$y=ax^2$类函数的开口方向、对称轴、增减性规律是解题的关键。
【难度系数】
0.9
7.已知$A(-3,y_{1}),B(-2,y_{2})$是二次函数$y=x^{2}$的图象上的两点,则$y_{1}$与$y_{2}$的大小关系是
$y_1＞y_2$
。答案
7.$y_1＞y_2$
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一：代入求值法，已知两点均在二次函数$y=x^2$的图象上，将两点横坐标分别代入解析式，计算出$y_1$、$y_2$的具体数值后直接比较大小即可；思路二：增减性判断法，先明确二次函数$y=x^2$的开口方向、对称轴，判断两个点的横坐标所在的区间，结合该区间内函数的增减性，通过比较横坐标的大小推导函数值的大小关系。
【解析】
方法1（代入法）：
将点$A(-3,y_1)$代入$y=x^2$，得$y_1=(-3)^2=9$；
将点$B(-2,y_2)$代入$y=x^2$，得$y_2=(-2)^2=4$；
因为$9＞4$，所以$y_1＞y_2$。
方法2（增减性法）：
二次函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为$x=0$（y轴），当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；
已知两点横坐标$-3＜-2＜0$，均在对称轴左侧，因此横坐标更小的点对应的函数值更大，即$y_1＞y_2$。
【答案】
$y_1＞y_2$
【知识点】
1. 二次函数$y=x^2$的性质
2. 函数值大小比较
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解题方法灵活，既可以直接代入计算求解，也可以利用函数增减性快速得出结论，熟练掌握二次函数的图象与性质能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：思路一：代入求值法，已知两点均在二次函数$y=x^2$的图象上，将两点横坐标分别代入解析式，计算出$y_1$、$y_2$的具体数值后直接比较大小即可；思路二：增减性判断法，先明确二次函数$y=x^2$的开口方向、对称轴，判断两个点的横坐标所在的区间，结合该区间内函数的增减性，通过比较横坐标的大小推导函数值的大小关系。
【解析】
方法1（代入法）：
将点$A(-3,y_1)$代入$y=x^2$，得$y_1=(-3)^2=9$；
将点$B(-2,y_2)$代入$y=x^2$，得$y_2=(-2)^2=4$；
因为$9＞4$，所以$y_1＞y_2$。
方法2（增减性法）：
二次函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为$x=0$（y轴），当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；
已知两点横坐标$-3＜-2＜0$，均在对称轴左侧，因此横坐标更小的点对应的函数值更大，即$y_1＞y_2$。
【答案】
$y_1＞y_2$
【知识点】
1. 二次函数$y=x^2$的性质
2. 函数值大小比较
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解题方法灵活，既可以直接代入计算求解，也可以利用函数增减性快速得出结论，熟练掌握二次函数的图象与性质能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
8.已知正方形的边长为$ x $，面积为$ y $。
(1)求$ y $与$ x $之间的函数关系式，并在图中画出图象；
(2)根据图象，求出当$ y=1 $时，正方形的边长；
(3)根据图象，求出当$ x $取何值时，$ y≥4 $。
(1)求$ y $与$ x $之间的函数关系式，并在图中画出图象；
(2)根据图象，求出当$ y=1 $时，正方形的边长；
(3)根据图象，求出当$ x $取何值时，$ y≥4 $。
答案
8.解:(1)$y=x^2(x＞0)$,图象如图
。(2)当$y=1$时,正方形的边长为1。
(3)由图象可知,当$x≥2$时,$y≥4$。
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 求解函数关系式：结合正方形面积公式可直接得到y和x的关系，注意正方形边长为正数，因此自变量x的取值范围是x＞0，画图象时仅需要画出第一象限内的抛物线部分，原点处为空心点。
2. 求y=1时的边长：将y=1代入函数关系式，求解正数解即可，也可直接通过图象找y=1对应的横坐标值。
3. 求y≥4时x的范围：先解方程x²=4得到临界值，再结合函数图象的增减性（x＞0时y随x增大而增大）得到x的取值范围。
【解析】
(1) 根据正方形面积公式：面积=边长×边长，可得$y=x· x=x^2$。
由于正方形的边长为正数，因此自变量$x$的取值范围是$x＞0$，因此$y$与$x$的函数关系式为$y=x^2(x＞0)$，图象如下：
(2) 当$y=1$时，代入函数关系式得：
$x^2=1$
解得$x=1$或$x=-1$，
因为$x＞0$，因此$x=-1$不符合题意舍去，因此正方形的边长为1。
(3) 当$y≥4$时，代入得$x^2≥4$，
因为$x＞0$，对不等式两边同时开平方，不等号方向不变，解得$x≥2$，
结合函数图象（$x＞0$时$y$随$x$的增大而增大），可验证当$x≥2$时，$y≥4$。
【答案】
(1)$y=x^2(x＞0)$,图象如图。
(2)当$y=1$时,正方形的边长为1。
(3)由图象可知,当$x≥2$时,$y≥4$。
【知识点】
正方形面积计算，二次函数解析式，二次函数图象应用
【点评】
这道题将几何计算与二次函数知识相结合，解题时需注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免遗漏定义域导致错误，同时需要掌握利用函数图象求解对应方程、不等式的方法，渗透了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 求解函数关系式：结合正方形面积公式可直接得到y和x的关系，注意正方形边长为正数，因此自变量x的取值范围是x＞0，画图象时仅需要画出第一象限内的抛物线部分，原点处为空心点。
2. 求y=1时的边长：将y=1代入函数关系式，求解正数解即可，也可直接通过图象找y=1对应的横坐标值。
3. 求y≥4时x的范围：先解方程x²=4得到临界值，再结合函数图象的增减性（x＞0时y随x增大而增大）得到x的取值范围。
【解析】
(1) 根据正方形面积公式：面积=边长×边长，可得$y=x· x=x^2$。
由于正方形的边长为正数，因此自变量$x$的取值范围是$x＞0$，因此$y$与$x$的函数关系式为$y=x^2(x＞0)$，图象如下：
(2) 当$y=1$时，代入函数关系式得：
$x^2=1$
解得$x=1$或$x=-1$，
因为$x＞0$，因此$x=-1$不符合题意舍去，因此正方形的边长为1。
(3) 当$y≥4$时，代入得$x^2≥4$，
因为$x＞0$，对不等式两边同时开平方，不等号方向不变，解得$x≥2$，
结合函数图象（$x＞0$时$y$随$x$的增大而增大），可验证当$x≥2$时，$y≥4$。
【答案】
(1)$y=x^2(x＞0)$,图象如图
。(2)当$y=1$时,正方形的边长为1。
(3)由图象可知,当$x≥2$时,$y≥4$。
【知识点】
正方形面积计算，二次函数解析式，二次函数图象应用
【点评】
这道题将几何计算与二次函数知识相结合，解题时需注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免遗漏定义域导致错误，同时需要掌握利用函数图象求解对应方程、不等式的方法，渗透了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.7
