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1.二次函数:一般地,如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
的形式,那么称y是x的二次函数。答案
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
解析
【分析】
本题考查二次函数的基本定义，解题思路如下：首先回忆二次函数的核心特征：①函数表达式是关于x的整式；②x的最高次数为2；③二次项系数不能为0（若a=0，表达式将没有二次项，不属于二次函数），结合教材给出的标准定义形式即可直接作答。
【解析】
根据二次函数的定义，若y是x的二次函数，则两个变量x、y之间的对应关系需满足：右边为关于x的二次整式，且二次项系数不为0，因此标准形式为$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）。
【答案】
$y=ax^2+bx+c$($a,b,c$是常数,$a≠0$)
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点要注意不要遗漏“$a≠0$”这个关键限定条件，这是二次函数概念里的常见易错点。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数的基本定义，解题思路如下：首先回忆二次函数的核心特征：①函数表达式是关于x的整式；②x的最高次数为2；③二次项系数不能为0（若a=0，表达式将没有二次项，不属于二次函数），结合教材给出的标准定义形式即可直接作答。
【解析】
根据二次函数的定义，若y是x的二次函数，则两个变量x、y之间的对应关系需满足：右边为关于x的二次整式，且二次项系数不为0，因此标准形式为$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）。
【答案】
$y=ax^2+bx+c$($a,b,c$是常数,$a≠0$)
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点要注意不要遗漏“$a≠0$”这个关键限定条件，这是二次函数概念里的常见易错点。
【难度系数】
0.9
2. 对于二次函数 y
ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，当a,b,c一定时，可以根据
ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，当a,b,c一定时，可以根据x
的值求出y的值，也可以根据y的值列一元二次方程求出x的值。答案
x
解析
【分析】
首先明确二次函数的基本构成：在二次函数表达式$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$）中，$x$是自变量，$y$是随$x$变化的因变量。当$a,b,c$确定时，$x$和$y$的对应关系就固定了，因此只要知道自变量$x$的取值，代入表达式就能算出对应的$y$值，反过来知道$y$的值也能反求$x$，由此可确定空内应填的内容。
【解析】
二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$a\ne0$）中，$x$是自变量，$y$是$x$的函数。当$a,b,c$确定后，函数的对应关系就唯一确定，此时给出自变量$x$的取值，代入函数表达式即可计算得到对应的$y$值，因此空格处填$x$。
【答案】
$x$
【知识点】
二次函数的定义；自变量与因变量
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对二次函数中自变量和因变量对应关系的理解，难度较低，只要熟练掌握二次函数的基本概念就能快速作答。
【难度系数】
0.9
首先明确二次函数的基本构成：在二次函数表达式$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$）中，$x$是自变量，$y$是随$x$变化的因变量。当$a,b,c$确定时，$x$和$y$的对应关系就固定了，因此只要知道自变量$x$的取值，代入表达式就能算出对应的$y$值，反过来知道$y$的值也能反求$x$，由此可确定空内应填的内容。
【解析】
二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$a\ne0$）中，$x$是自变量，$y$是$x$的函数。当$a,b,c$确定后，函数的对应关系就唯一确定，此时给出自变量$x$的取值，代入函数表达式即可计算得到对应的$y$值，因此空格处填$x$。
【答案】
$x$
【知识点】
二次函数的定义；自变量与因变量
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对二次函数中自变量和因变量对应关系的理解，难度较低，只要熟练掌握二次函数的基本概念就能快速作答。
【难度系数】
0.9
1. 给出下列函数:①$y=ax^2$；②$y=3(x-1)^2+2$；③$y=(x+3)^2-2x^2$；④$y=\frac{1}{x^2}+x$。其中，二次函数的个数为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
要判断所给函数是否为二次函数，首先明确二次函数的判定标准：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，需同时满足三个条件：①函数是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。接下来按照这个标准逐一判断四个函数即可。
【解析】
逐个分析所给函数：
1. 对于①$y=ax^2$：题目未明确说明$a≠0$，若$a=0$，函数变为常数函数，不满足二次项系数不为0的要求，故①不是二次函数；
2. 对于②$y=3(x-1)^2+2$：展开化简得$y=3x^2-6x+5$，是整式，二次项系数为$3≠0$，自变量最高次数为2，符合二次函数定义，故②是二次函数；
3. 对于③$y=(x+3)^2-2x^2$：展开化简得$y=-x^2+6x+9$，是整式，二次项系数为$-1≠0$，自变量最高次数为2，符合二次函数定义，故③是二次函数；
4. 对于④$y=\frac{1}{x^2}+x$：式中$\frac{1}{x^2}$属于分式，函数不是整式，不符合二次函数要求，故④不是二次函数。
综上，是二次函数的有②和③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是二次函数判定的基础题，解题时需注意两个易错点：一是不要忽略二次项系数不为0的前提条件，二是遇到形式复杂的函数要先化简再判断，同时注意只有整式函数才可能是二次函数。
【难度系数】
0.8
要判断所给函数是否为二次函数，首先明确二次函数的判定标准：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，需同时满足三个条件：①函数是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。接下来按照这个标准逐一判断四个函数即可。
【解析】
逐个分析所给函数：
1. 对于①$y=ax^2$：题目未明确说明$a≠0$，若$a=0$，函数变为常数函数，不满足二次项系数不为0的要求，故①不是二次函数；
2. 对于②$y=3(x-1)^2+2$：展开化简得$y=3x^2-6x+5$，是整式，二次项系数为$3≠0$，自变量最高次数为2，符合二次函数定义，故②是二次函数；
3. 对于③$y=(x+3)^2-2x^2$：展开化简得$y=-x^2+6x+9$，是整式，二次项系数为$-1≠0$，自变量最高次数为2，符合二次函数定义，故③是二次函数；
4. 对于④$y=\frac{1}{x^2}+x$：式中$\frac{1}{x^2}$属于分式，函数不是整式，不符合二次函数要求，故④不是二次函数。
综上，是二次函数的有②和③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是二次函数判定的基础题，解题时需注意两个易错点：一是不要忽略二次项系数不为0的前提条件，二是遇到形式复杂的函数要先化简再判断，同时注意只有整式函数才可能是二次函数。
【难度系数】
0.8
2.把一根长60 cm的铁丝弯成一个矩形，设这个矩形的一边长为x(cm)，它的面积为y(cm²)，则y与x之间的函数表达式为(
A.$y=-x^2+60x$
B.$y=x^2-60x$
C.$y=-x^2+30x$
D.$y=-2x^2+30x$
C
)。A.$y=-x^2+60x$
B.$y=x^2-60x$
C.$y=-x^2+30x$
D.$y=-2x^2+30x$
答案
C
解析
【分析】
要推导y与x的函数表达式，我们可以按以下思路思考：首先，矩形的面积公式为“面积=长×宽”，已知一边长为x，只需要先表示出矩形的另一边长即可。题中60cm是矩形的周长，根据矩形周长公式“周长=2×(长+宽)”，可先算出长与宽的和，再减去已知边长x就能得到另一边长，最后代入面积公式整理即可得到函数式。
【解析】
已知矩形周长为60cm，一边长为x cm：
1. 求矩形另一边长：根据周长公式，长+宽=$60÷2=30$cm，因此另一边长为$(30-x)$cm；
2. 代入面积公式：矩形面积$y=x×(30-x)$；
3. 展开整理得：$y=-x^2+30x$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.矩形周长与面积计算
2.列二次函数关系式
【点评】
本题是基础的函数关系式列解题，核心是结合几何图形的周长公式先表示出未知边，再代入对应面积公式化简即可，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
要推导y与x的函数表达式，我们可以按以下思路思考：首先，矩形的面积公式为“面积=长×宽”，已知一边长为x，只需要先表示出矩形的另一边长即可。题中60cm是矩形的周长，根据矩形周长公式“周长=2×(长+宽)”，可先算出长与宽的和，再减去已知边长x就能得到另一边长，最后代入面积公式整理即可得到函数式。
【解析】
已知矩形周长为60cm，一边长为x cm：
1. 求矩形另一边长：根据周长公式，长+宽=$60÷2=30$cm，因此另一边长为$(30-x)$cm；
2. 代入面积公式：矩形面积$y=x×(30-x)$；
3. 展开整理得：$y=-x^2+30x$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.矩形周长与面积计算
2.列二次函数关系式
【点评】
本题是基础的函数关系式列解题，核心是结合几何图形的周长公式先表示出未知边，再代入对应面积公式化简即可，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
3.二次函数$y=x^2 - 2(3x - 2)+(x + 1)$化为一般形式是（
A.$y=x^2 -5x +5$
B.$y=x^2 +5x +5$
C.$y=x^2 +5x -5$
D.$y=x^2 +5$
A
）。A.$y=x^2 -5x +5$
B.$y=x^2 +5x +5$
C.$y=x^2 +5x -5$
D.$y=x^2 +5$
答案
A
解析
【分析】
本题考查二次函数一般形式的化简，解题思路如下：首先明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），因此需要对给定的函数表达式先去括号，去括号时注意括号前的系数和符号规则，再合并同类项，最终整理为一般形式后对照选项选择即可。
【解析】
先对原式去括号：
$\begin{aligned}y&=x^2 - 2(3x - 2)+(x + 1)\\&=x^2 - 6x + 4 + x + 1\end{aligned}$
再合并同类项：
二次项：$x^2$
一次项：$-6x + x = -5x$
常数项：$4 + 1 = 5$
因此化简后为$y=x^2 -5x +5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数一般形式，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考察整式化简规则在二次函数形式转化中的应用，计算时重点注意去括号时的符号变化，熟练掌握整式运算规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数一般形式的化简，解题思路如下：首先明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），因此需要对给定的函数表达式先去括号，去括号时注意括号前的系数和符号规则，再合并同类项，最终整理为一般形式后对照选项选择即可。
【解析】
先对原式去括号：
$\begin{aligned}y&=x^2 - 2(3x - 2)+(x + 1)\\&=x^2 - 6x + 4 + x + 1\end{aligned}$
再合并同类项：
二次项：$x^2$
一次项：$-6x + x = -5x$
常数项：$4 + 1 = 5$
因此化简后为$y=x^2 -5x +5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数一般形式，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考察整式化简规则在二次函数形式转化中的应用，计算时重点注意去括号时的符号变化，熟练掌握整式运算规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
4.如果二次函数$y=x^2+2x-7$的函数值是8，那么对应的x的值是（
A.5
B.3
C.3或-5
D.-3或5
C
）。A.5
B.3
C.3或-5
D.-3或5
答案
C
解析
【分析】
本题已知二次函数的函数值求对应的自变量x的值，解题思路如下：首先根据函数值的定义，当函数值为8时，即y=8，将其代入二次函数的解析式中，就可以把问题转化为求解关于x的一元二次方程，最后解出一元二次方程的根就是对应的x的值。
【解析】
根据题意，二次函数的函数值为8，即$y=8$，将其代入解析式$y=x^2+2x-7$可得：
$x^2+2x-7=8$
移项整理得一元二次方程：
$x^2+2x-15=0$
对该方程因式分解得：
$(x-3)(x+5)=0$
则$x-3=0$或$x+5=0$，解得：
$x_1=3$，$x_2=-5$
因此对应的x的值为3或-5。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的函数值；一元二次方程的解法
【点评】
本题是基础题型，核心是理解二次函数中函数值与自变量的对应关系，将二次函数的函数值问题转化为一元二次方程求解即可，掌握一元二次方程的常规解法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题已知二次函数的函数值求对应的自变量x的值，解题思路如下：首先根据函数值的定义，当函数值为8时，即y=8，将其代入二次函数的解析式中，就可以把问题转化为求解关于x的一元二次方程，最后解出一元二次方程的根就是对应的x的值。
【解析】
根据题意，二次函数的函数值为8，即$y=8$，将其代入解析式$y=x^2+2x-7$可得：
$x^2+2x-7=8$
移项整理得一元二次方程：
$x^2+2x-15=0$
对该方程因式分解得：
$(x-3)(x+5)=0$
则$x-3=0$或$x+5=0$，解得：
$x_1=3$，$x_2=-5$
因此对应的x的值为3或-5。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的函数值；一元二次方程的解法
【点评】
本题是基础题型，核心是理解二次函数中函数值与自变量的对应关系，将二次函数的函数值问题转化为一元二次方程求解即可，掌握一元二次方程的常规解法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
5.当m
≠2
时，函数$y=(m-2)x^2+4x-5$（m是常数）是二次函数。答案
≠2
解析
【分析】
要判断函数是否为二次函数，需依据二次函数的定义思考：二次函数需满足自变量最高次数为2，且二次项系数不为0。本题给出的函数中已存在x²项，因此只需保证二次项系数不等于0即可，据此列不等式求解就能得到m的取值范围。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数为二次函数。
在函数$y=(m-2)x^2+4x-5$中，二次项系数为$m-2$，要使该函数为二次函数，需满足二次项系数不为0，即：
$m-2≠0$
解得：$m≠2$
【答案】
≠2
【知识点】
二次函数的定义、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是牢记二次函数定义中“二次项系数不为0”的隐含要求，易错点是容易忽略该限制条件，只要准确掌握定义就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
要判断函数是否为二次函数，需依据二次函数的定义思考：二次函数需满足自变量最高次数为2，且二次项系数不为0。本题给出的函数中已存在x²项，因此只需保证二次项系数不等于0即可，据此列不等式求解就能得到m的取值范围。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数为二次函数。
在函数$y=(m-2)x^2+4x-5$中，二次项系数为$m-2$，要使该函数为二次函数，需满足二次项系数不为0，即：
$m-2≠0$
解得：$m≠2$
【答案】
≠2
【知识点】
二次函数的定义、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是牢记二次函数定义中“二次项系数不为0”的隐含要求，易错点是容易忽略该限制条件，只要准确掌握定义就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
6.若$y=(m-1)x^{m^2 + 2m -1} + 2mx -1$是二次函数，则$m=$
-3
。答案
-3
解析
【分析】
要确定m的值，需结合二次函数的定义分析。二次函数需满足两个核心条件：①自变量的最高次数为2；②二次项的系数不为0。解题时先根据最高次数为2列方程求出m的可能取值，再根据二次项系数不为0排除不符合要求的解，最终得到m的正确值。
【解析】
解：
∵函数$y=(m-1)x^{m^2 + 2m -1} + 2mx -1$是二次函数
∴需同时满足以下两个条件：
1. 自变量x的最高次数为2，即：
$m^2 + 2m - 1 = 2$
整理得：$m^2 + 2m - 3 = 0$
因式分解得：$(m + 3)(m - 1) = 0$
解得：$m_1 = -3$，$m_2 = 1$
2. 二次项系数不为0，即：
$m - 1 ≠ 0$，解得$m ≠ 1$
综上，舍去$m=1$，故$m=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程的求解
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，解题的关键是牢记二次函数需同时满足最高次项次数为2、二次项系数不为0两个条件，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，导致多解出错。
【难度系数】
0.7
要确定m的值，需结合二次函数的定义分析。二次函数需满足两个核心条件：①自变量的最高次数为2；②二次项的系数不为0。解题时先根据最高次数为2列方程求出m的可能取值，再根据二次项系数不为0排除不符合要求的解，最终得到m的正确值。
【解析】
解：
∵函数$y=(m-1)x^{m^2 + 2m -1} + 2mx -1$是二次函数
∴需同时满足以下两个条件：
1. 自变量x的最高次数为2，即：
$m^2 + 2m - 1 = 2$
整理得：$m^2 + 2m - 3 = 0$
因式分解得：$(m + 3)(m - 1) = 0$
解得：$m_1 = -3$，$m_2 = 1$
2. 二次项系数不为0，即：
$m - 1 ≠ 0$，解得$m ≠ 1$
综上，舍去$m=1$，故$m=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程的求解
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，解题的关键是牢记二次函数需同时满足最高次项次数为2、二次项系数不为0两个条件，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，导致多解出错。
【难度系数】
0.7
7.生物兴趣小组的每名学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了$y$件，如果全组有$x$名同学，那么$y$与$x$之间的函数关系式是$y=$
x(x-1)
。答案
x(x-1)
解析
【分析】
解题时先明确每名同学赠送标本的数量：全组共x名同学，每名同学不能给自己赠送标本，因此每人需要向其余(x-1)名同学各送1件；再计算总赠送量：互赠场景下，甲赠送给乙和乙赠送给甲是2件不同的标本，无需除以2，总件数等于总人数乘以每人赠送的数量，即可推出y与x的关系式。
【解析】
已知全组有x名同学，每名同学需要向除自己之外的(x-1)名成员各赠送1件标本，即每名同学赠送(x-1)件标本。
全组互赠的总件数 = 总人数 × 每名同学赠送的件数，因此可得：
$y = x(x-1)$
【答案】
$x(x-1)$
【知识点】
列函数关系式；互赠问题模型
【点评】
本题考查实际问题中函数关系式的建立，解题关键是理清单人赠送的标本数量，注意区分互赠问题和握手问题的计数差异，避免错误除以2，掌握基础计数逻辑即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先明确每名同学赠送标本的数量：全组共x名同学，每名同学不能给自己赠送标本，因此每人需要向其余(x-1)名同学各送1件；再计算总赠送量：互赠场景下，甲赠送给乙和乙赠送给甲是2件不同的标本，无需除以2，总件数等于总人数乘以每人赠送的数量，即可推出y与x的关系式。
【解析】
已知全组有x名同学，每名同学需要向除自己之外的(x-1)名成员各赠送1件标本，即每名同学赠送(x-1)件标本。
全组互赠的总件数 = 总人数 × 每名同学赠送的件数，因此可得：
$y = x(x-1)$
【答案】
$x(x-1)$
【知识点】
列函数关系式；互赠问题模型
【点评】
本题考查实际问题中函数关系式的建立，解题关键是理清单人赠送的标本数量，注意区分互赠问题和握手问题的计数差异，避免错误除以2，掌握基础计数逻辑即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8.如图，正方形ABCD的边长为5，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且BE=DF=x，四边形AEGF是矩形，求矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式。
答案
解:因为 BE=DF=x，
所以 AE=5-x,AF=5+x，
所以 y=AE·AF=(5-x)(5+x)=25-x²(0＜x＜5)。
所以 AE=5-x,AF=5+x，
所以 y=AE·AF=(5-x)(5+x)=25-x²(0＜x＜5)。
解析
【分析】
要推导矩形面积y与x的函数关系式，首先需找到矩形AEGF相邻两边的长度表达式：先利用正方形边长为5的条件，结合BE=DF=x，分别表示出矩形的两边AE、AF的长度；再根据矩形面积公式，将两边长度相乘并化简即可得到函数关系式，最后结合点E的位置确定x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 正方形ABCD的边长为5，BE=DF=x，
∴ AE = AB - BE = 5 - x，
AF = AD + DF = 5 + x，
∵ 四边形AEGF是矩形，矩形面积为相邻两边的乘积，
∴ $y = AE · AF = (5-x)(5+x)$，
利用平方差公式展开得：$y=25-x^2$，
又
∵ E是AB上的点，因此x的取值范围为$0＜x＜5$。
【答案】
$y=25-x^2(0＜x＜5)$
【知识点】
1. 列函数关系式
2. 正方形的性质
3. 矩形面积计算
【点评】
本题属于结合几何图形的基础函数应用题，解题核心是正确用含x的代数式表示出矩形的两条边长，再结合面积公式推导关系式，解题时需注意自变量的取值范围要符合图形的实际意义，避免遗漏取值范围导致错误。
【难度系数】
0.7
要推导矩形面积y与x的函数关系式，首先需找到矩形AEGF相邻两边的长度表达式：先利用正方形边长为5的条件，结合BE=DF=x，分别表示出矩形的两边AE、AF的长度；再根据矩形面积公式，将两边长度相乘并化简即可得到函数关系式，最后结合点E的位置确定x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 正方形ABCD的边长为5，BE=DF=x，
∴ AE = AB - BE = 5 - x，
AF = AD + DF = 5 + x，
∵ 四边形AEGF是矩形，矩形面积为相邻两边的乘积，
∴ $y = AE · AF = (5-x)(5+x)$，
利用平方差公式展开得：$y=25-x^2$，
又
∵ E是AB上的点，因此x的取值范围为$0＜x＜5$。
【答案】
$y=25-x^2(0＜x＜5)$
【知识点】
1. 列函数关系式
2. 正方形的性质
3. 矩形面积计算
【点评】
本题属于结合几何图形的基础函数应用题，解题核心是正确用含x的代数式表示出矩形的两条边长，再结合面积公式推导关系式，解题时需注意自变量的取值范围要符合图形的实际意义，避免遗漏取值范围导致错误。
【难度系数】
0.7
