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2.实际问题的解，不仅要满足所列方程，
还应符合具体题意，因此，求出方程的
解后，一定要
还应符合具体题意，因此，求出方程的
解后，一定要
检验
。答案
2.检验
解析
【分析】
解题时先回忆列方程解决实际问题的完整步骤：我们求出的方程的解只能保证满足数学等式，但不一定符合实际情境，比如人数不能是小数、长度不能为负数等，不符合要求的解需要舍去，因此求出方程解后必须对解进行验证，由此就能确定空缺处的内容。
【解析】
实际问题中，方程的解仅代表符合所列等式的数值，很可能出现不符合实际题意的情况，例如计算得到的人数为分数、商品价格为负数等，这类解都要舍去，因此求出方程的解后，一定要检验该解是否符合具体题意。
【答案】
检验
【知识点】
列方程解应用题 方程解的检验
【点评】
本题是基础概念类题目，考查实际问题解方程的注意事项，提醒同学们在解完方程后要养成检验解的合理性的习惯，避免出现不符合实际的错误。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆列方程解决实际问题的完整步骤：我们求出的方程的解只能保证满足数学等式，但不一定符合实际情境，比如人数不能是小数、长度不能为负数等，不符合要求的解需要舍去，因此求出方程解后必须对解进行验证，由此就能确定空缺处的内容。
【解析】
实际问题中，方程的解仅代表符合所列等式的数值，很可能出现不符合实际题意的情况，例如计算得到的人数为分数、商品价格为负数等，这类解都要舍去，因此求出方程的解后，一定要检验该解是否符合具体题意。
【答案】
检验
【知识点】
列方程解应用题 方程解的检验
【点评】
本题是基础概念类题目，考查实际问题解方程的注意事项，提醒同学们在解完方程后要养成检验解的合理性的习惯，避免出现不符合实际的错误。
【难度系数】
0.9
1.如图,在长 30 m、宽 20 m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地。若耕地面积为551 m²,则修建的路宽应为(
A.1 m
B.1.5 m
C.2 m
D.2.5 m
A
)。A.1 m
B.1.5 m
C.2 m
D.2.5 m
答案
1.A
解析
【分析】
这是一道面积类的一元二次方程应用题，解题时可采用平移法简化计算：将两条交叉的道路分别平移到矩形地面的边缘，余下耕地即可转化为规则的矩形，避免单独计算道路面积时重复减去重叠部分的问题。首先设路宽为未知数，再根据平移后耕地的长、宽与面积的等量关系列方程，最后求解方程并结合实际意义舍去不合理的根即可得到答案。
【解析】
设修建的路宽应为$ x \, \mathrm{m} $。
将两条道路向矩形边缘平移后，余下耕地为长$ (30-x) \, \mathrm{m} $、宽$ (20-x) \, \mathrm{m} $的矩形，根据耕地面积为$ 551 \, \mathrm{m}^2 $，列方程得：
$(30-x)(20-x) = 551$
展开整理方程：
$x^2 - 50x + 49 = 0$
因式分解得：
$(x-1)(x-49) = 0$
解得$ x_1=1 $，$ x_2=49 $。
由于路宽不可能超过矩形的宽20m，因此$ x=49 $不符合实际意义，舍去。
故路宽为1m，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；平移法求面积
【点评】
本题属于一元二次方程应用的基础题型，核心考查利用几何变换简化问题的能力，解题时需注意所得方程的根要符合实际场景的要求，避免出现不符合常识的解。
【难度系数】
0.7
这是一道面积类的一元二次方程应用题，解题时可采用平移法简化计算：将两条交叉的道路分别平移到矩形地面的边缘，余下耕地即可转化为规则的矩形，避免单独计算道路面积时重复减去重叠部分的问题。首先设路宽为未知数，再根据平移后耕地的长、宽与面积的等量关系列方程，最后求解方程并结合实际意义舍去不合理的根即可得到答案。
【解析】
设修建的路宽应为$ x \, \mathrm{m} $。
将两条道路向矩形边缘平移后，余下耕地为长$ (30-x) \, \mathrm{m} $、宽$ (20-x) \, \mathrm{m} $的矩形，根据耕地面积为$ 551 \, \mathrm{m}^2 $，列方程得：
$(30-x)(20-x) = 551$
展开整理方程：
$x^2 - 50x + 49 = 0$
因式分解得：
$(x-1)(x-49) = 0$
解得$ x_1=1 $，$ x_2=49 $。
由于路宽不可能超过矩形的宽20m，因此$ x=49 $不符合实际意义，舍去。
故路宽为1m，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；平移法求面积
【点评】
本题属于一元二次方程应用的基础题型，核心考查利用几何变换简化问题的能力，解题时需注意所得方程的根要符合实际场景的要求，避免出现不符合常识的解。
【难度系数】
0.7
2.用10 m长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6 m²。若设窗框的一条边长为x m，则根据题意可列出关于x的方程为(
A.$x(5+x)=6$
B.$x(5-x)=6$
C.$x(10-x)=6$
D.$x(10-2x)=6$
B
)。A.$x(5+x)=6$
B.$x(5-x)=6$
C.$x(10-x)=6$
D.$x(10-2x)=6$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先明确铝材总长就是矩形窗框的周长，我们可以分三步思考：第一步，利用矩形周长公式求出矩形相邻两边的长度和；第二步，结合已知的一边长$x$，表示出相邻的另一边长；第三步，根据矩形面积公式列出对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
已知铝材总长为10m，即矩形窗框的周长为10m。
根据矩形周长公式$C=2×(长+宽)$，可得矩形相邻两边的长度和为：$10÷2=5\ \mathrm{m}$。
设其中一条边长为$x\ \mathrm{m}$，则相邻的另一边长为$(5-x)\ \mathrm{m}$。
又已知矩形窗框的面积为$6\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式$S=长×宽$，可列方程：$x(5-x)=6$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形的周长与面积计算
【点评】
本题是基础的方程与几何结合的应用题，核心是先通过周长公式推导未知边的表达式，再结合面积公式列方程，熟练掌握矩形的周长、面积公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确铝材总长就是矩形窗框的周长，我们可以分三步思考：第一步，利用矩形周长公式求出矩形相邻两边的长度和；第二步，结合已知的一边长$x$，表示出相邻的另一边长；第三步，根据矩形面积公式列出对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
已知铝材总长为10m，即矩形窗框的周长为10m。
根据矩形周长公式$C=2×(长+宽)$，可得矩形相邻两边的长度和为：$10÷2=5\ \mathrm{m}$。
设其中一条边长为$x\ \mathrm{m}$，则相邻的另一边长为$(5-x)\ \mathrm{m}$。
又已知矩形窗框的面积为$6\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式$S=长×宽$，可列方程：$x(5-x)=6$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形的周长与面积计算
【点评】
本题是基础的方程与几何结合的应用题，核心是先通过周长公式推导未知边的表达式，再结合面积公式列方程，熟练掌握矩形的周长、面积公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，那么参加酒会的人数为（
A.9
B.10
C.11
D.12
C
）。A.9
B.10
C.11
D.12
答案
3.C
解析
【分析】
这是典型的单循环计数类实际问题，解题思路如下：首先设参加酒会的人数为x，每个人需要和除自己以外的(x-1)人碰杯，若直接用x乘以(x-1)会把每一次碰杯重复计算1次（甲和乙碰杯与乙和甲碰杯是同一次），因此总碰杯次数为$\frac{x(x-1)}{2}$，结合题目给出的总碰杯次数55次，即可列出一元二次方程，求解后根据人数为正整数的实际意义取舍根即可得到答案。
【解析】
解：设参加酒会的人数为$x$人。
根据每两人只碰一次杯，总碰杯次数为55次，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=55$
整理方程得：$x^2 - x - 110 = 0$
因式分解得：$(x-11)(x+10)=0$
解得：$x_1=11$，$x_2=-10$
∵ 参加酒会的人数不能为负数，
∴ $x_2=-10$不符合实际意义，舍去，即$x=11$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的求解
【点评】
本题属于单循环类实际应用题，解题的核心是找准数量关系，避免重复计数，求出方程的根后要注意检验根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
这是典型的单循环计数类实际问题，解题思路如下：首先设参加酒会的人数为x，每个人需要和除自己以外的(x-1)人碰杯，若直接用x乘以(x-1)会把每一次碰杯重复计算1次（甲和乙碰杯与乙和甲碰杯是同一次），因此总碰杯次数为$\frac{x(x-1)}{2}$，结合题目给出的总碰杯次数55次，即可列出一元二次方程，求解后根据人数为正整数的实际意义取舍根即可得到答案。
【解析】
解：设参加酒会的人数为$x$人。
根据每两人只碰一次杯，总碰杯次数为55次，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=55$
整理方程得：$x^2 - x - 110 = 0$
因式分解得：$(x-11)(x+10)=0$
解得：$x_1=11$，$x_2=-10$
∵ 参加酒会的人数不能为负数，
∴ $x_2=-10$不符合实际意义，舍去，即$x=11$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的求解
【点评】
本题属于单循环类实际应用题，解题的核心是找准数量关系，避免重复计数，求出方程的根后要注意检验根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
4.若2是关于$x$的方程$x^2 - (3 + k)x + 12 = 0$的一个实数根，则以2和$k$为两边长的等腰三角形的周长是
12
。答案
4.12
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步，根据方程根的定义，将x=2代入已知一元二次方程，即可求出k的值；第二步，已知等腰三角形两边长为2和k，需分腰长为2、腰长为k两种情况讨论，同时结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）排除无法构成三角形的情况，最后计算符合条件的等腰三角形周长即可。
【解析】
第一步：求k的值
∵2是方程$x^2 - (3 + k)x + 12 = 0$的实数根，
∴将$x=2$代入方程得：
$2^2 - (3 + k)×2 + 12 = 0$
化简得：$4 - 6 - 2k + 12 = 0$
即$10 - 2k = 0$，解得$k=5$。
第二步：求等腰三角形的周长
已知等腰三角形两边长为2和5，分两种情况讨论：
①若腰长为2，底边长为5：
∵$2+2=4＜5$，不满足三角形两边之和大于第三边，
∴该情况不成立，舍去；
②若腰长为5，底边长为2：
∵$5+5＞2$，$5+2＞5$，满足三角形三边关系，
此时周长为$5+5+2=12$。
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程的根；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题时需要注意分类讨论等腰三角形的腰长，同时要验证三边是否满足构成三角形的条件，避免忽略三边关系导致多解错误。
【难度系数】
0.7
解题时可分两步思考：第一步，根据方程根的定义，将x=2代入已知一元二次方程，即可求出k的值；第二步，已知等腰三角形两边长为2和k，需分腰长为2、腰长为k两种情况讨论，同时结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）排除无法构成三角形的情况，最后计算符合条件的等腰三角形周长即可。
【解析】
第一步：求k的值
∵2是方程$x^2 - (3 + k)x + 12 = 0$的实数根，
∴将$x=2$代入方程得：
$2^2 - (3 + k)×2 + 12 = 0$
化简得：$4 - 6 - 2k + 12 = 0$
即$10 - 2k = 0$，解得$k=5$。
第二步：求等腰三角形的周长
已知等腰三角形两边长为2和5，分两种情况讨论：
①若腰长为2，底边长为5：
∵$2+2=4＜5$，不满足三角形两边之和大于第三边，
∴该情况不成立，舍去；
②若腰长为5，底边长为2：
∵$5+5＞2$，$5+2＞5$，满足三角形三边关系，
此时周长为$5+5+2=12$。
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程的根；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题时需要注意分类讨论等腰三角形的腰长，同时要验证三边是否满足构成三角形的条件，避免忽略三边关系导致多解错误。
【难度系数】
0.7
5.如图，利用22 m长的墙为一边，用篱笆围成一个矩形养鸡场，中间用篱笆分割出两个小矩形，总共用去篱笆36 m，为了使这个矩形ABCD的面积为96 m²，AB和BC的长各应是多少？
答案
5.解:设 AB 的长为 x m,则 BC 的长为(36-3x)m，
根据题意得 x(36-3x)=96，
整理得 $x^2-12x+32=0$，
解得 $x_1=4,x_2=8$。
$\because BC＜22$，
$\therefore x=8$。
故 AB 的长为 8 m,BC 的长为 12 m。
根据题意得 x(36-3x)=96，
整理得 $x^2-12x+32=0$，
解得 $x_1=4,x_2=8$。
$\because BC＜22$，
$\therefore x=8$。
故 AB 的长为 8 m,BC 的长为 12 m。
解析
【分析】
这是一道一元二次方程的实际应用题，解题思路如下：1. 设垂直于墙的边长AB为x m，观察图形可知，垂直于墙的篱笆共有3段，总长度为3x m，因此平行于墙的边长BC = 总篱笆长度 - 3段垂直篱笆长度，即(36-3x)m；2. 矩形面积=长×宽，结合面积为96 m²可列出方程；3. 注意题目的隐含条件：墙长仅22 m，因此BC的长度必须小于22 m，求出方程的解后要验证是否符合该条件，舍去不合实际的解即可得到正确结果。
【解析】
解：设AB的长为x m，则BC的长为(36-3x)m，
根据矩形面积公式，列方程得：
$x(36-3x)=96$
整理得：$x^2-12x+32=0$
因式分解得$(x-4)(x-8)=0$，
解得：$x_1=4$，$x_2=8$。
$\because$ 墙长为22 m，要求$BC＜22$，
当$x=4$时，$BC=36-3×4=24\ m$，24＞22，不符合实际，舍去；
当$x=8$时，$BC=36-3×8=12\ m$，12＜22，符合条件。
【答案】
AB的长为8 m，BC的长为12 m
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，解的合理性检验
【点评】
本题是常见的篱笆围矩形的实际问题，解题的关键是结合图形正确表示出各边的长度，同时要注意挖掘题目中的隐含限制条件，对求出的方程解进行合理性验证，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程的实际应用题，解题思路如下：1. 设垂直于墙的边长AB为x m，观察图形可知，垂直于墙的篱笆共有3段，总长度为3x m，因此平行于墙的边长BC = 总篱笆长度 - 3段垂直篱笆长度，即(36-3x)m；2. 矩形面积=长×宽，结合面积为96 m²可列出方程；3. 注意题目的隐含条件：墙长仅22 m，因此BC的长度必须小于22 m，求出方程的解后要验证是否符合该条件，舍去不合实际的解即可得到正确结果。
【解析】
解：设AB的长为x m，则BC的长为(36-3x)m，
根据矩形面积公式，列方程得：
$x(36-3x)=96$
整理得：$x^2-12x+32=0$
因式分解得$(x-4)(x-8)=0$，
解得：$x_1=4$，$x_2=8$。
$\because$ 墙长为22 m，要求$BC＜22$，
当$x=4$时，$BC=36-3×4=24\ m$，24＞22，不符合实际，舍去；
当$x=8$时，$BC=36-3×8=12\ m$，12＜22，符合条件。
【答案】
AB的长为8 m，BC的长为12 m
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，解的合理性检验
【点评】
本题是常见的篱笆围矩形的实际问题，解题的关键是结合图形正确表示出各边的长度，同时要注意挖掘题目中的隐含限制条件，对求出的方程解进行合理性验证，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
6.如图,在长为100 m、宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路,若余下的部分全部种上花卉,且花圃的面积是3 600 m²,则小路的宽是(
A.5 m
B.70 m
C.5 m或70 m
D.10 m
A
)。A.5 m
B.70 m
C.5 m或70 m
D.10 m
答案
6.A
解析
【分析】
这是典型的矩形小路面积问题，解题时可以利用平移法，将分散的花圃拼接为一个完整的矩形，简化面积计算：首先明确横向小路共2条、纵向小路共2条，设小路宽为x，拼接后花圃的长为原长减去2倍小路宽，宽为原宽减去2倍小路宽，再根据花圃面积列方程求解，最后要结合实际意义检验方程的根是否合理。
【解析】
设小路的宽为$ x $米。
将四条小路向矩形边缘平移后，余下的花圃可拼接为一个长为$ (100-2x) $米，宽为$ (50-2x) $米的矩形。
根据花圃面积为$ 3600\ \mathrm{m}^2 $，列方程：
$(100-2x)(50-2x) = 3600$
展开整理方程：
$\begin{aligned}5000 - 200x -100x +4x^2 &= 3600\\4x^2 -300x +1400 &=0\\x^2 -75x +350 &=0\end{aligned}$
因式分解得：
$(x-5)(x-70)=0$
解得$ x_1=5 $，$ x_2=70 $。
检验：当$ x=70 $时，$ 50-2x=50-140=-90＜0 $，不符合实际意义，舍去；当$ x=5 $时，$ 100-2x=90＞0 $，$ 50-2x=40＞0 $，符合题意。
故小路的宽为5m。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；面积计算；方程根的检验
【点评】
本题是生活中常见的面积规划问题，通过平移法将不规则的花圃转化为规则矩形是解题的突破口，解题时要注意结合实际场景对求出的根进行取舍，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
这是典型的矩形小路面积问题，解题时可以利用平移法，将分散的花圃拼接为一个完整的矩形，简化面积计算：首先明确横向小路共2条、纵向小路共2条，设小路宽为x，拼接后花圃的长为原长减去2倍小路宽，宽为原宽减去2倍小路宽，再根据花圃面积列方程求解，最后要结合实际意义检验方程的根是否合理。
【解析】
设小路的宽为$ x $米。
将四条小路向矩形边缘平移后，余下的花圃可拼接为一个长为$ (100-2x) $米，宽为$ (50-2x) $米的矩形。
根据花圃面积为$ 3600\ \mathrm{m}^2 $，列方程：
$(100-2x)(50-2x) = 3600$
展开整理方程：
$\begin{aligned}5000 - 200x -100x +4x^2 &= 3600\\4x^2 -300x +1400 &=0\\x^2 -75x +350 &=0\end{aligned}$
因式分解得：
$(x-5)(x-70)=0$
解得$ x_1=5 $，$ x_2=70 $。
检验：当$ x=70 $时，$ 50-2x=50-140=-90＜0 $，不符合实际意义，舍去；当$ x=5 $时，$ 100-2x=90＞0 $，$ 50-2x=40＞0 $，符合题意。
故小路的宽为5m。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；面积计算；方程根的检验
【点评】
本题是生活中常见的面积规划问题，通过平移法将不规则的花圃转化为规则矩形是解题的突破口，解题时要注意结合实际场景对求出的根进行取舍，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
7.如图,在长为 20 m、宽为 12 m 的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为整个矩形面积的$\frac{3}{4}$,则道路的宽为
2
m。答案
7.2
解析
【分析】
遇到这类含折线道路的面积问题，我们可以利用平移法简化计算：将所有空白的草坪部分通过平移拼接成一个规则的矩形，拼接后矩形的长等于原矩形长减去道路宽，宽等于原矩形宽减去道路宽。接下来先计算出草坪的总面积，再根据矩形面积公式列出一元二次方程求解，最后对得到的根进行实际意义的检验，舍去不符合题意的解即可。
【解析】
解：设道路的宽为$ x $ m。
1. 计算原矩形地面的总面积：$ 20 × 12 = 240 \, \mathrm{m}^2 $
2. 由题意得草坪面积为总面积的$ \frac{3}{4} $，即草坪面积为：$ 240 × \frac{3}{4} = 180 \, \mathrm{m}^2 $
3. 平移拼接后草坪为矩形，长为$ (20 - x) \, \mathrm{m} $，宽为$ (12 - x) \, \mathrm{m} $，列方程得：
$(20 - x)(12 - x) = 180$
4. 展开整理方程：
$\begin{aligned}240 - 32x + x^2 &= 180 \\x^2 - 32x + 60 &= 0\end{aligned}$
5. 因式分解求解：
$(x - 2)(x - 30) = 0$
得$ x_1 = 2 $，$ x_2 = 30 $
6. 检验：$ x = 30 ＞ 20 $，不符合实际情况，舍去。
故$ x = 2 $。
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
3. 图形平移法
【点评】
本题是典型的面积类实际应用问题，核心解题技巧是通过平移将不规则空白区域转化为规则矩形，降低计算难度，解题时要注意对一元二次方程的根结合实际场景进行检验，避免出现不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.7
遇到这类含折线道路的面积问题，我们可以利用平移法简化计算：将所有空白的草坪部分通过平移拼接成一个规则的矩形，拼接后矩形的长等于原矩形长减去道路宽，宽等于原矩形宽减去道路宽。接下来先计算出草坪的总面积，再根据矩形面积公式列出一元二次方程求解，最后对得到的根进行实际意义的检验，舍去不符合题意的解即可。
【解析】
解：设道路的宽为$ x $ m。
1. 计算原矩形地面的总面积：$ 20 × 12 = 240 \, \mathrm{m}^2 $
2. 由题意得草坪面积为总面积的$ \frac{3}{4} $，即草坪面积为：$ 240 × \frac{3}{4} = 180 \, \mathrm{m}^2 $
3. 平移拼接后草坪为矩形，长为$ (20 - x) \, \mathrm{m} $，宽为$ (12 - x) \, \mathrm{m} $，列方程得：
$(20 - x)(12 - x) = 180$
4. 展开整理方程：
$\begin{aligned}240 - 32x + x^2 &= 180 \\x^2 - 32x + 60 &= 0\end{aligned}$
5. 因式分解求解：
$(x - 2)(x - 30) = 0$
得$ x_1 = 2 $，$ x_2 = 30 $
6. 检验：$ x = 30 ＞ 20 $，不符合实际情况，舍去。
故$ x = 2 $。
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
3. 图形平移法
【点评】
本题是典型的面积类实际应用问题，核心解题技巧是通过平移将不规则空白区域转化为规则矩形，降低计算难度，解题时要注意对一元二次方程的根结合实际场景进行检验，避免出现不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.7
8.《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”，意思是“一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”根据题意得，长比宽多
12
步。答案
8.12
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的实际应用，解题思路如下：①根据长与宽的和为60步，设其中一个量为未知数，用含未知数的代数式表示另一个量；②利用矩形面积=长×宽的等量关系列一元二次方程；③解方程后根据长大于宽的隐含条件对解进行取舍；④计算长与宽的差值得到最终结果。
【解析】
解：设矩形田地的长为$ x $步（长大于宽，故$ x＞30 $），则宽为$ (60-x) $步。
根据矩形面积公式列方程：
$ x(60-x)=864 $
整理得：$ x^2 - 60x + 864 = 0 $
判别式$ \Delta = (-60)^2 - 4×1×864 = 3600 - 3456 = 144 $
由求根公式得：$ x = \frac{60\pm\sqrt{144}}{2} = \frac{60\pm12}{2} $
解得$ x_1 = 36 $，$ x_2 = 24 $
因为$ x＞30 $，故舍去$ x_2=24 $，即长为36步。
则宽为$ 60 - 36 = 24 $步。
长比宽多的步数为：$ 36 - 24 = 12 $
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；一元二次方程的解法
【点评】
本题以我国古代数学问题为背景，兼具趣味性和实用性，核心考查学生利用一元二次方程解决实际问题的能力，解题的关键是找准面积等量关系正确列方程，同时注意长大于宽的隐含条件即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的实际应用，解题思路如下：①根据长与宽的和为60步，设其中一个量为未知数，用含未知数的代数式表示另一个量；②利用矩形面积=长×宽的等量关系列一元二次方程；③解方程后根据长大于宽的隐含条件对解进行取舍；④计算长与宽的差值得到最终结果。
【解析】
解：设矩形田地的长为$ x $步（长大于宽，故$ x＞30 $），则宽为$ (60-x) $步。
根据矩形面积公式列方程：
$ x(60-x)=864 $
整理得：$ x^2 - 60x + 864 = 0 $
判别式$ \Delta = (-60)^2 - 4×1×864 = 3600 - 3456 = 144 $
由求根公式得：$ x = \frac{60\pm\sqrt{144}}{2} = \frac{60\pm12}{2} $
解得$ x_1 = 36 $，$ x_2 = 24 $
因为$ x＞30 $，故舍去$ x_2=24 $，即长为36步。
则宽为$ 60 - 36 = 24 $步。
长比宽多的步数为：$ 36 - 24 = 12 $
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；一元二次方程的解法
【点评】
本题以我国古代数学问题为背景，兼具趣味性和实用性，核心考查学生利用一元二次方程解决实际问题的能力，解题的关键是找准面积等量关系正确列方程，同时注意长大于宽的隐含条件即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
